2019-2020学年高中数学 第2章 推理与证明本章整合提升课件 新人教A版选修2-2

第二章推理与证明本章整合提升1合情推理与演绎推理专题合情推理包括归纳推理和类比推理，归纳推理是由部分特殊的对象得到一般性的结论的推理方法，类比推理是由特殊到特殊的推理．合情推理的结论不一定正确，也就是说合情不一定合理．演绎推理是由一般到特殊的推理方法，又叫逻辑推理，在前提和推理形式均正确的前提下，得到的结论一定正确，演绎推理的内容一般是通过合情推理获取．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1,3,6,10，…记为数列{an}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn}，可以推测：(1)b2012是数列{an}中的第________项；(2)b2k－1＝________.(用k表示)【解析】由以上规律可知三角形数1,3,6,10，…的一个通项公式为an＝nn＋12，写出其若干项有：1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,110，发现其中能被5整除的为10,15,45,55,105,110，故b1＝a4，b2＝a5，b3＝a9，b4＝a10，b5＝a14，b6＝a15.从而由上述规律可猜想：b2k＝a5k＝5k5k＋12(k为正整数)，b2k－1＝a5k－1＝5k－15k－1＋12＝5k5k－12，故b2012＝b2×1006＝a5×1006＝a5030，即b2012是数列{an}中的第5030项．【答案】(1)5030(2)5k5k－12平面内直角三角形两直角边长分别为a，b，则斜边长为a2＋b2，直角顶点到斜边的距离为aba2＋b2，空间中三棱锥的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别为S1，S2，S3，类比推理可得底面积为S21＋S22＋S23，则三棱锥顶点到底面的距离为()A.3S1S2S3S21＋S22＋S23B．S1S2S3S21＋S22＋S23C.2S1S2S3S21＋S22＋S23D.3S1S2S3S21＋S22＋S23【解析】设三棱锥的三条侧棱长分别为a、b、c，则V＝16abc，S1＝12ab，S2＝12ac，S3＝12bc，∴S1S2S3＝18a2b2c2，∴abc＝22S1S2S3，∴V＝132S1S2S3，设三棱锥的顶点到底面的距离为h，则V＝13S21＋S22＋S23·h，∴132S1S2S3＝13S21＋S22＋S23·h，∴h＝2S1S2S3S21＋S22＋S23，故选C.【答案】C2直接证明与间接证明专题综合法和分析法是直接证明中的两种最基本的证明方法，但两种证明方法的思路截然相反，分析法既可用于寻找解题思路，也可以是完整的证明过程．分析法和综合法相互转换，相互渗透，在解题中综合法和分析法联合运用，可转化解题思路，增加解题途径．反证法是一种间接证明命题的方法，它的理论基础是互为逆否命题的两个命题为等价命题，反证法反映了“正难则反”的证明思想．用反证法证明问题时要注意以下三点：(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种可能结论，缺少任何一种可能，反证都是不完全的；(2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法；(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实矛盾等等，推导出的矛盾必须是明显的．已知实数a，b满足|a|2，|b|2，证明：2|a＋b||4＋ab|.【证明】证法一：∵|a|2，|b|2，∴a24，b24，∴4－a20,4－b20.∴(4－a2)(4－b2)0，即16－4a2－4b2＋a2b20，∴4a2＋4b216＋a2b2，∴4a2＋8ab＋4b216＋8ab＋a2b2，即(2a＋2b)2(4＋ab)2，∴2|a＋b||4＋ab|.证法二：要证2|a＋b||4＋ab|，只需证4a2＋4b2＋8ab16＋a2b2＋8ab，只需证4a2＋4b216＋a2b2，只需证16＋a2b2－4a2－4b20，即(4－a2)(4－b2)0.∵|a|2，|b|2，∴a24，b24，∴(4－a2)(4－b2)0成立．∴要证明的不等式成立．即2|a＋b||4＋ab|.用反证法证明：如果x＜－1，那么x2－6x－4≠0.【证明】假设x2－6x－4＝0，则x＝3±13.容易看出3＋13＞－1，与x－1矛盾．下面证明3－13＞－1.∵3－13－(－1)＝4－13＝16－13＞0，∴3－13＞－1，这也与已知条件x＜－1矛盾．因此假设不成立，即原命题成立．3数学归纳法专题数学归纳法是证明与整数有关的命题常用的方法，它的第一步为奠基步骤，是论证的基础保证，它的第二步为递推，是命题具有后续传递性的保证，两步合在一起为完全归纳步骤，这两步缺一不可．正项数列{an}的前n项和Sn满足an－Sn＝n－1.(1)求a1、a2、a3；(2)猜想{an}的通项公式，并用数学归纳法证明．【解】(1)令n＝1，则a1－S1＝0，解得a1＝1；令n＝2，则a2－S2＝1，即a2－a1＋a2＝1，解得a2＝3；令n＝3，则a3－S3＝2，即a3－a1＋a2＋a3＝2，解得a3＝5.(2)由(1)猜想an＝2n－1，下面用数学归纳法证明an＝2n－1.由(1)知当n＝1时，an＝2×1－1＝1成立；假设当n＝k(k∈N*)时，ak＝2k－1，则2k－1－Sk＝k－1，∴Sk＝k2，那么当n＝k＋1时，ak＋1－Sk＋1＝k，∴Sk＋1＝(ak＋1－k)2，∵ak＋1＝Sk＋1－Sk＝(ak＋1－k)2－k2＝a2k＋1－2kak＋1，∴a2k＋1＝(2k＋1)ak＋1，∵an0，∴ak＋1＝2k＋1＝2(k＋1)－1.∴n＝k＋1时等式成立．综上所述，an＝2n－1对一切n∈N*都成立．