2019-2020学年高中数学 第2章 推理与证明 2-1-1 合情推理——归纳推理课件 新人教A版

02推理与证明“推理与证明”是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式．推理一般包括合情推理和演绎推理．合情推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程，归纳、类比是合情推理常用的思维方法．在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养．演绎推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程，培养和提高学生的演绎推理或逻辑证明的能力是高中数学课程的重要目标．在本章中，学生将通过对已学知识的回顾，进一步体会合情推理、演绎推理以及二者之间的联系与差异；体会数学证明的特点，了解数学证明的基本方法，包括直接证明的方法(如分析法、综合法、数学归纳法)和间接证明的方法(如反证法)；感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，养成言之有理、论证有据的习惯．教学中应通过实例，引导学生运用合情推理去探索、猜测一些数学结论，并用演绎推理确认所得结论的正确性，或者用反例推翻错误的猜想．教学的重点在于通过具体实例理解合情推理与演绎推理，而不追求对概念的抽象表述．应借助具体实例了解数学归纳法的原理，对证明的问题要控制难度．本章中设置的证明内容是对学生已学过的基本证明方法的总结提升．在教学中，应通过实例，引导学生认识各种证明方法的特点，体会证明的必要性．对证明的技巧性不宜作过高的要求．推理与证明是中学数学的重要内容，是进一步学习高等数学的基础知识和重要工具，也是高考重点考查的内容之一．1．结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用．2．结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理．3．通过具体实例，了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异．4．结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思维过程、特点．5．结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思维过程、特点．6．了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．由近三年的高考题，可以发现考查合情推理和演绎推理多借助于其他数学知识(如不等式、立体几何、三角、数列等)，通过类比、猜想、归纳，或运用三段式的推理形式，得出某些结论．直接证明与间接证明的考查主要体现在其他知识的问题背景中，各种题型均有所体现，尤其是大题，几年来一直是考查的热点和重点．数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法，在高等数学中有着重要的用途，因而也成为高考的热点之一．“观察——归纳——猜想——证明”是考查数学归纳法的基本模式．学习本章内容时，需要注意以下几个问题1．强调推理与证明与其他学科以及实际生活的联系，提倡通过生活实例与数学实例认识、体会推理与证明的意义及其重要性，通过生活实例与数学实例体会数学与其他学科以及实际生活的联系．2．将合情推理作为推理与证明的重要内容，有助于学生认识到数学既是演绎的科学，又是归纳的科学，数学不单是现成结论的体系，结论的发现过程也是数学的重要内容，从而形成对数学较为完整的认识．而且学习合情推理有助于培养学生进行归纳时的严谨作风，从而形成实事求是、力戒浮夸的思维习惯．3．在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养，但数学结论的正确性必须通过演绎推理或逻辑证明来保证，即在前提正确的基础上，通过正确使用推理规则得出结论．在证明的过程中，分析法、综合法体现了转化的数学思想，有时需用到分类讨论的思想，反证法则体现了正难则反的思想．4．逻辑思维能力是数学能力的核心，是人们进行思维活动的基础，是一个人基本素质的主要标志．逻辑思维能力在数学中是使用数学素材进行训练和培养的，但这种思维具有思维的一般性，完全可以脱离数学内容而适用于思维的一切领域．因此，学习中应把逻辑思维的培养放在重要的位置.§2.1合情推理与演绎推理第一课时合情推理——归纳推理目标导向1．知识与技能了解归纳推理的含义，能利用归纳推理进行简单的推理，了解归纳推理在数学发现中的作用．2．过程与方法(1)要引导学生分析哥德巴赫猜想的推理过程，总结出归纳推理的一般概念．(2)通过具体实例加深对归纳推理的理解，让学生明确归纳推理包括不完全归纳法和完全归纳法，用不完全归纳法得到的结论未必是可靠的，但应用方便并具有发现的功能．(3)让学生明确完全归纳法，由于穷尽了被考查对象的一切特例以后才作出结论，因而结论是确凿可靠的．完全归纳法是一种必然性的推理，但是，因为要无一遗漏地考查所有特例，完全归纳法的发现功能是不强大的．3．情感、态度与价值观通过学生自主学习，观察、实验，找出规律，展示科学研究的基本方法．知识导学知识点1归纳推理的定义一般地，由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．知识点2归纳推理的分类归纳推理包括不完全归纳法和完全归纳法．重点导析重点1归纳推理有以下几个特点(1)归纳是依据特殊现象推断一般现象，因而，由归纳所得的结论超越了前提所包括的范围；(2)归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象，因而结论具有猜测的性质；(3)归纳的前提是特殊的情况，所以归纳是立足于观察、经验或实验的基础上的．重点2运用归纳推理时的一般步骤首先，通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律)；然后，把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题(猜想)；最后，对所得出的一般性命题进行检验．在数学上，检验的标准是能否进行严格的证明．思维导悟导悟1应用归纳推理可以获得一般性结论．【例1】(2015年高考·陕西卷)观察下列等式1－12＝121－12＋13－14＝13＋141－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16…据此规律，第n个等式可为________．【解析】观察等式知：第n个等式的左边有2n个数相加减，奇数项为正，偶数项为负，且分子为1，分母是1到2n的连续正整数，等式的右边是1n＋1＋1n＋2＋…＋12n.故填1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n.【答案】1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n导悟2归纳的正确性必须进行证明．【例2】由11×3＝12(1－13)11×3＋12×4＝12(1＋12－13－14)11×3＋12×4＋13×5＝12(1＋12－14－15)…归纳猜想第n个等式，并证明你的结论．【解析】第n个等式为11×3＋12×4＋13×5＋…＋1nn＋2＝12(1＋12－1n＋1－1n＋2)证明如下：∵1nn＋2＝12(1n－1n＋2)∴11×3＋12×4＋13×5＋…＋1nn＋2＝12＋(1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n－1－1n＋1＋1n－1n＋2)＝12(1＋12－1n＋1－1n＋2)【点评】归纳的正确性必须进行证明．方法导拨导拨1归纳常常从观察开始，着眼点一致(如数表的相应位置，归纳的同一方法等)有利于发现其规律性．【例1】数一数图1所示中的凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E，然后用归纳推理得出它们之间的关系．图1【分析】先根据所给的图形将各多面体的面数F、顶点数V和棱数E一一列出，探求其规律性，然后归纳出一般结论．【解析】各多面体的面数F、顶点数V、棱数E如下表所示.多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱锥446四棱锥558三棱柱569五棱锥6610立方体6812正八面体8612五棱柱71015截角正方体71015尖顶塔9916观察：4＋4－6＝2；5＋5－8＝2；5＋6－9＝2；6＋6－10＝2；6＋8－12＝2；8＋6－12＝2；7＋10－15＝2；9＋9－16＝2.通过观察发现，它们的顶点数V、棱数E及面数F有共同的关系式：V＋F－E＝2.导拨2要善于从过程与方法中发现结论诞生的规律性．【例2】图2中的④为2011西安世园会徽“长安花”的线徽图案。已知图中四个图案①、②、③、④的“花瓣”数依次为3,7,12,18，…，按照以上的构图规律，第五个图的“花瓣”数为__________，第n个图(n≥3)的“花瓣”数为__________。(用n表示)图2【解析】第①、②、③、④个图案的“花瓣”数其实分别为：3,3＋4,3＋4＋5,3＋4＋5＋6，所以第5个图案的花瓣数为3＋4＋5＋6＋7＝25.第n个图的“花瓣”数为3＋4＋5＋…＋(n＋2)＝nn＋52.【答案】25nn＋52【点评】题中给出的数据不易找到规律，回到产生这些数据的过程和方法当中，更容易发现数据规律．导拨3由“小数”推出“大数”的规律通常借助周期性．【例3】观察下列各式：55＝3125,56＝15625,57＝78125，…，则52011的末四位数字为()A．3125B．5625C．0625D．8125【解析】∵55的末四位数为3125,56的末四位数为5625，57的末四位数为8125,58的末四位数为0625,59的末四位数为3125,510的末四位数为5625，…由以上可观察出5n(n∈Z且n≥5)的末四位数呈周期性变化且周期T＝4∵2011＝4×502＋3∴52011的末四位数与57的末四位数相同为8125，故选D.【答案】D【点评】多算几个“小数”情形，是发现周期性的关键．导拨4在归纳的结论勿需证明的情况下，要学会检验．【例4】设N＝2n(n∈N*，n≥2)，将N个数x1，x2，…，xN依次放入编号为1,2，…，N的N个位置，得到排列P0＝x1x2…xN.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前N2和后N2个位置，得到排列P1＝x1x3…xN－1x2x4…xN，将此操作称为C变换．将P1分成两段，每段N2个数，并对每段作C变换，得到P2；当2≤i≤n－2时，将Pi分成2i段，每段N2i个数，并对每段作C变换，得到Pi＋1.例如，当N＝8时，P2＝x1x5x3x7x2x6x4x8，此时x7位于P2中的第4个位置．(1)当N＝16时，x7位于P2中的第________个位置；(2)当N＝2n(n≥8)时，x173位于P4中的第________个位置．【解析】(1)当N＝16时，P0＝x1x2x3x4x5x6…x16，可设为(1,2,3,4,5,6，…，16)，P1＝x1x3x5x7…x15x2x4x6…x16，即为(1,3,5,7,9，…15,2,4,6,8，…，16)，P2＝x1x5x9x13x3x7x11x15x2x6…x16，即(1,5,9,13,3,7,11,15,2,6，…，16),x7位于P2中的第6个位置．(2)方法同(1)，归纳推理知x173位于P4中的第3×2n－4＋11个位置．【答案】(1)6(2)3×2n－4＋11