2019-2020学年高中数学 第2章 推理与证明 2.3.1 数学归纳法 2.3.2 数学归纳法应

第二章推理与证明2.3数学归纳法2.3.1数学归纳法2.3.2数学归纳法应用举例学习目标核心素养1．了解数学归纳法的原理．(重点、易混点)2．掌握数学归纳法的步骤．(难点)3．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．(难点)1．通过数学归纳法的学习，培养学生数学抽象、逻辑推理素养.2．通过利用数学归纳法证明数学命题，提升学生数学运算素养.自主预习探新知数学归纳法数学归纳法的定义一个与相关的命题，如果(1)；(2)在假设当n＝k(k∈N＋，且k≥n0)时命题也成立的前提下，推出当n＝k＋1时命题也成立，那么可以断定，这个命题对n取第一个值后面的所有正整数成立．自然数当n取第一个值n0时命题成立1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法．()(2)数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1．()(3)数学归纳法的两个步骤缺一不可．()[答案](1)×(2)×(3)√2．用数学归纳法证明：首项是a1，公差是d的等差数列的前n项和公式是Sn＝na1＋nn－12d时，假设当n＝k时，公式成立，则Sk＝()A．a1＋(k－1)dB.ka1＋ak2C．ka1＋kk－12dD．(k＋1)a1＋kk＋12d[解析]假设当n＝k时，公式成立，只需把公式中的n换成k即可，即Sk＝ka1＋kk－12d.[答案]C3．下列说法正确的是________．(填序号)①数学归纳法主要用于研究与正整数有关的数学问题，但并不是所有与正整数有关的问题都能用数学归纳法证明；②证明当n＝k＋1时命题成立用到归纳假设，即n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立；③不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项．[答案]①②合作探究提素养用数学归纳法证明等式【例1】(1)用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝n＋3n＋42(n∈N＋)时，第一步验证n＝1时，左边应取的项是()A．1B．1＋2C．1＋2＋3D．1＋2＋3＋4(2)用数学归纳法证明(n＋1)·(n＋2)·…·(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)(n∈N＋)，“从k到k＋1”左端增乘的代数式为__________．[解析](1)当n＝1时，左边应为1＋2＋3＋4，故选D.(2)令f(n)＝(n＋1)(n＋2)…(n＋n)，则f(k)＝(k＋1)·(k＋2)…(k＋k)，f(k＋1)＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)，所以fk＋1fk＝2k＋12k＋2k＋1＝2(2k＋1)．[答案](1)D(2)2(2k＋1)数学归纳法证题的三个关键点1．验证是基础找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1．2．递推是关键数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k＋1”的过程中，要正确分析式子项数的变化．关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项、增加怎样的项．3．利用假设是核心在第二步证明n＝k＋1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“n＝k时命题成立”作为条件来导出“n＝k＋1”，在书写f(k＋1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k)中的最后一项，这是数学归纳法的核心，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法．1．下面四个判断中，正确的是()A．式子1＋k＋k2＋…＋kn(n∈N＋)中，当n＝1时，式子的值为1B．式子1＋k＋k2＋…＋kn－1(n∈N＋)中，当n＝1时，式子的值为1＋kC．式子1＋12＋13＋…＋12n＋1(n∈N＋)中，当n＝1时，式子的值为1＋12＋13D．设f(n)＝1n＋1＋1n＋2＋…＋13n＋1(n∈N＋)，则f(k＋1)＝f(k)＋13k＋2＋13k＋3＋13k＋4[解析]A中，n＝1时，式子＝1＋k；B中，n＝1时，式子＝1；C中，n＝1时，式子＝1＋12＋13；D中，f(k＋1)＝f(k)＋13k＋2＋13k＋3＋13k＋4－1k＋1.故正确的是C.[答案]C用数学归纳法证明不等式【例2】(1)用数学归纳法证明不等式1n＋1＋1n＋2＋…＋1n＋n1324(n≥2，n∈N＋)的过程中，由n＝k推导n＝k＋1时，不等式的左边增加的式子是__________．(2)证明：不等式1＋12＋13＋…＋1n2n(n∈N＋)．[思路探究](1)写出当n＝k时左边的式子，和当n＝k＋1时左边的式子，比较即可．(2)在由n＝k到n＝k＋1推导过程中利用放缩法，在利用放缩时，注意放缩的度．[解析](1)当n＝k＋1时左边的代数式是1k＋2＋1k＋3＋…＋12k＋1＋12k＋2，增加了两项12k＋1与12k＋2，但是少了一项1k＋1，故不等式的左边增加的式子是12k＋1＋12k＋2－1k＋1＝12k＋12k＋2.[答案]12k＋12k＋2(2)证明：①当n＝1时，左边＝1，右边＝2，左边右边，不等式成立．②假设当n＝k(k≥1且k∈N＋)时，不等式成立，即1＋12＋13＋…＋1k2k.则当n＝k＋1时，1＋12＋13＋…＋1k＋1k＋12k＋1k＋1＝2k·k＋1＋1k＋1k2＋k＋12＋1k＋1＝2k＋1k＋1＝2k＋1.∴当n＝k＋1时，不等式成立．由①②可知，原不等式对任意n∈N＋都成立．试用数学归纳法证明上例(1)中的不等式．[证明]①当n＝2时，12＋1＋12＋2＝7121324.②假设当n＝k(k≥2且k∈N＋)时不等式成立，即1k＋1＋1k＋2＋…＋12k1324，那么当n＝k＋1时，1k＋2＋1k＋3＋…＋12k＋1＝1k＋2＋1k＋3＋…＋12k＋12k＋1＋12k＋2＋1k＋1－1k＋1＝1k＋1＋1k＋2＋1k＋3＋…＋12k＋12k＋1＋12k＋2－1k＋11324＋12k＋1＋12k＋2－1k＋1＝1324＋12k＋1－12k＋2＝1324＋122k＋1k＋11324.这就是说，当n＝k＋1时，不等式也成立．由①②可知，原不等式对任意大于1的正整数都成立．用数学归纳法证明不等式应注意的2个问题1．当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法．2．用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k成立，推证n＝k＋1时也成立，证明时运用归纳假设后，可采用分析法、综合法、作差(作商)比较法、放缩法等证明．运用放缩法时，要注意放缩的“度”．归纳——猜想——证明【例3】已知数列{an}的前n项和为Sn，其中an＝Snn2n－1且a1＝13.(1)求a2，a3；(2)猜想数列{an}的通项公式，并证明．[思路探究](1)令n＝2,3可分别求a2，a3.(2)根据a1，a2，a3的值，找出规律，猜想an，再用数学归纳法证明．[解](1)a2＝S222×2－1＝a1＋a26，a1＝13，则a2＝115，类似地求得a3＝135.(2)由a1＝11×3，a2＝13×5，a3＝15×7，…，猜得：an＝12n－12n＋1.证明：①当n＝1时，由(1)可知等式成立；②假设当n＝k时猜想成立，即ak＝12k－12k＋1，那么，当n＝k＋1时，由题设an＝Snn2n－1，得ak＝Skk2k－1，ak＋1＝Sk＋1k＋12k＋1，所以Sk＝k(2k－1)ak＝k(2k－1)12k－12k＋1＝k2k＋1，Sk＋1＝(k＋1)(2k＋1)ak＋1，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝(k＋1)(2k＋1)ak＋1－k2k＋1.因此，k(2k＋3)ak＋1＝k2k＋1，所以ak＋1＝12k＋12k＋3＝1[2k＋1－1][2k＋1＋1].这就证明了当n＝k＋1时命题成立．由①②可知命题对任何n∈N＋都成立．1．“归纳—猜想—证明”的一般环节2．“归纳—猜想—证明”的主要题型(1)已知数列的递推公式，求通项或前n项和．(2)由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在．(3)给出一些简单的命题(n＝1,2,3，…)，猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题．2．已知函数y＝f(n)(n∈N＋)，设f(1)＝2，且任意的n1，n2∈N＋，有f(n1＋n2)＝f(n1)·f(n2)．(1)求f(2)，f(3)，f(4)的值；(2)试猜想f(n)的解析式，并用数学归纳法给出证明．[解](1)因为f(1)＝2，f(n1＋n2)＝f(n1)·f(n2)，所以f(2)＝f(1＋1)＝f(1)·f(1)＝22＝4，f(3)＝f(2＋1)＝f(2)·f(1)＝22·2＝23＝8.f(4)＝f(3＋1)＝f(3)·f(1)＝23·2＝24＝16.(2)猜想：f(n)＝2n(n∈N＋)．用数学归纳法证明如下：①当n＝1时，f(1)＝21＝2，所以猜想正确．②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时猜想正确，即f(k)＝2k，那么当n＝k＋1时，f(k＋1)＝f(k)·f(1)＝2k·2＝2k＋1，所以，当n＝k＋1时，猜想正确．由①②知，对任意的n∈N＋，都有f(n)＝2n.用数学归纳法证明整除性问题[探究问题]1．数学归纳法的第一步n的初始值是否一定为1?提示：不一定，如证明n边形的内角和为(n－2)·180°时，第一个值为n0＝3.2．数学归纳法两个步骤之间有怎样的联系？提示：第一步是验证命题递推的基础，第二步是论证命题递推的依据，这两个步骤缺一不可，只完成步骤(1)而缺少步骤(2)就作出判断，可能得出不正确的结论．因为单靠步骤(1)，无法递推下去，即n取n0以后的数列命题是否正确，我们无法判定，同样只有步骤(2)而缺少步骤(1)时，也可能得出不正确的结论，缺少步骤(1)这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤(2)也就没有意义了．【例4】用数学归纳法证明：n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3能被9整除(n∈N＋)．[思路探究]在第二步时注意根据归纳假设进行拼凑．[解](1)当n＝1时，13＋23＋33＝36能被9整除，所以结论成立；(2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥1)时结论成立，即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除．则当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋[(k＋3)3－k3]＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋9k2＋27k＋27＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋9(k2＋3k＋3)．因为k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，9(k2＋3k＋3)也能被9整除，所以(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3也能被9整除，即n＝k＋1时结论也成立．由(1)(2)知命题对一切n∈N＋成立．与正整数有关的整除性问题常用数学归纳法证明，证明的关键在于第二步中，根据归纳假设，将n＝k＋1时的式子进行增减项、倍数调整等变形，使之能与归纳假设联系起来.3．用数学归纳法证明“n3＋5n能被6整除”的过程中，当n＝k＋1时，对式子(k＋1)3＋5(k＋1)应变形为__________．[解析]由n＝k成立推证n＝k＋1成立时必须用上归纳假设，∴(k＋1)3＋5(k＋1)＝(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6.[答案](k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6当堂达标固双基1．用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于(n－2)π”时，归纳奠基中n0的取值应为()A．1B．2C．3D．4[解析]边数最少的凸n边形为三角形，故n0＝3.[答案]C2．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝1－an＋21－a(n∈N＋，a≠1)，在验证n＝1成立时，左边所得的项为()A．1B．1＋a＋a2C．1＋aD．1＋a＋a2＋a3[解析]当n＝1时，n＋1＝2，故左边所得的项为1＋a＋a2.[答案]B3．用数学归纳法证明关于n的恒等式时，当n＝k时，表达式为1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，则当n＝k＋1时，表达式为________．[解析]当n＝k＋1时，应将表