2019-2020学年高中数学 第2章 推理与证明 2.1.2 演绎推理课件 新人教B版选修1-2

第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.2演绎推理学习目标核心素养1．理解演绎推理的意义．(重点)2．掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理．(难点)3．了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系．(易混点)通过学习演绎推理及利用演绎推理证明数学问题，提升学生的逻辑推理素养.自主预习探新知一、演绎推理1．含义由概念的定义或一些，依照一定的得到正确结论的过程，叫做演绎推理．2．特点当前提为真时，结论必然为真．逻辑规则真命题二、三段论一般模式常用格式大前提已知的_____________M是P小前提所研究的__________S是M结论根据一般性原理，对特殊对象_____________S是P做出的判断一般性原理特殊对象1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)演绎推理一般模式是“三段论”形式．()(2)演绎推理的结论是一定正确的．()(3)演绎推理是由特殊到一般再到特殊的推理．()[解析](1)正确．演绎推理一般模式是“三段论”形式，即大前提、小前提和结论．(2)错误．在演绎推理中，只有“大前提”“小前提”及推理形式都正确的情况下，其结论才是正确的．(3)错误．演绎推理是由一般到特殊的推理．[答案](1)√(2)×(3)×2．锐角三角形ABC中，求证sinA＋sinB＋sinCcosA＋cosB＋cosC.[证明]∵△ABC为锐角三角形，∴A＋Bπ2，∴Aπ2－B.∵y＝sinx在0，π2上是增函数，∴sinAsinπ2－B＝cosB.同理可得sinBcosC，sinCcosA，∴sinA＋sinB＋sinCcosA＋cosB＋cosC.合作探究提素养把演绎推理写成三段论的形式【例1】将下列演绎推理写成三段论的形式．(1)一切奇数都不能被2整除，75不能被2整除，所以75是奇数．(2)三角形的内角和为180°，Rt△ABC的内角和为180°.(3)菱形的对角线互相平分．(4)通项公式为an＝3n＋2(n≥2)的数列{an}为等差数列．[思路探究]三段论推理是演绎推理的主要模式，推理形式为“如果b⇒c，a⇒b，则a⇒c.”其中，b⇒c为大前提，提供了已知的一般性原理；a⇒b为小前提，提供了一个特殊情况；a⇒c为大前提和小前提联合产生的逻辑结果．[解](1)一切奇数都不能被2整除．(大前提)75不能被2整除．(小前提)75是奇数．(结论)(2)三角形的内角和为180°.(大前提)Rt△ABC是三角形．(小前提)Rt△ABC的内角和为180°.(结论)(3)平行四边形的对角线互相平分．(大前提)菱形是平行四边形．(小前提)菱形的对角线互相平分．(结论)(4)数列{an}中，如果当n≥2时，an－an－1为常数，则{an}为等差数列．(大前提)通项公式an＝3n＋2，n≥2时，an－an－1＝3n＋2－[3(n－1)＋2]＝3(常数)．(小前提)通项公式为an＝3n＋2(n≥2)的数列{an}为等差数列．(结论)1．三段论推理的根据，从集合的观点来讲，若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P.2．演绎推理最常用的模式是三段论，在大前提和小前提正确，推理形式也正确时，其结论一定是正确的．1．(1)三段论：“①只有船准时起航，才能准时到达目的港，②这艘船是准时到达目的港的，③这艘船是准时起航的”中的“小前提”是()A．①B．②C．①②D．③(2)将推断“若两个角是对顶角，则这两个角相等，所以若∠1和∠2是对顶角，则∠1和∠2相等”改写三段论的形式．[解析](1)大前提为①，小前提为③，结论为②.[答案]D(2)两个角是对顶角，则这两个角相等，(大前提)∠1和∠2是对顶角，(小前提)∠1和∠2相等．(结论)演绎推理的应用【例2】证明f(x)＝x3＋x在R上为增函数，并指出证明过程中所运用的“三段论”．[思路探究]可利用函数单调性定义证明．[解]在R上任取x1，x2，且x1x2，则x2－x10.因为f(x)＝x3＋x，所以f(x2)－f(x1)＝(x32＋x2)－(x31＋x1)＝(x32－x31)＋(x2－x1)＝(x2－x1)(x22＋x2x1＋x21＋1)＝(x2－x1)·x2＋x122＋34x21＋1，因为x2＋x122＋34x21＋10，所以f(x2)－f(x1)0，即f(x2)f(x1)，所以f(x)＝x3＋x在R上是增函数．在证明过程中所用到的“三段论”：大前提是“增函数的定义”，小前提是“题中的f(x)经过正确的推理满足增函数的定义”，结论是“f(x)是增函数”．1．应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，但为了叙述的简洁，如果前提是显然的，则可以省略．2．数学问题的解决与证明都蕴含着演绎推理，即一连串的三段论，关键是找到每一步推理的依据——大前提、小前提，注意前一个推理的结论会作为下一个三段论的前提．2．如图所示，D，E，F分别是BC，CA，AB边上的点，∠BFD＝∠A，DE∥BA，求证：DE＝AF.写出“三段论”形式的演绎推理．[证明]①因为同位角相等，两直线平行，(大前提)∠BFD和∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，(小前提)所以DF∥AE.(结论)②因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，(大前提)DE∥BA且DF∥EA，(小前提)所以四边形AFDE为平行四边形．(结论)③因为平行四边形的对边相等，(大前提)DE和AF为平行四边形的对边，(小前提)所以DE＝AF.(结论)合情推理与演绎推理的综合应用[探究问题]1．我们已经学过了等比数列，你有没有想到是否也有等积数列呢？类比“等比数列”，请你给出“等积数列”的定义．[提示]如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的乘积是同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，其中，这个常数叫做公积．2．若{an}是等积数列，且首项a1＝2，公积为6，试写出{an}的通项公式及前n项和公式．[提示]由于{an}是等积数列，且首项a1＝2，公积为6，所以a2＝3，a3＝2，a4＝3，a5＝2，a6＝3，…，即{an}的所有奇数项都等于2，所有偶数项都等于3，因此{an}的通项公式为an＝2，n为奇数，3，n为偶数.其前n项和公式Sn＝5n2，n为偶数，5n－12＋2＝5n－12，n为奇数.3．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市．由此可判断乙去过的城市为A，B，C三个城市中的哪一个？[提示]由题意可推断：甲没去过B城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市”，说明甲去过A，C城市，而乙“没去过C城市”，说明乙去过城市A，由此可知，乙去过的城市为A.【例3】如图所示，三棱锥A­BCD的三条侧棱AB，AC，AD两两互相垂直，O为点A在底面BCD上的射影．(1)求证：O为△BCD的垂心；(2)类比平面几何的勾股定理，猜想此三棱锥侧面与底面间的一个关系，并给出证明．[思路探究](1)利用线面垂直与线线垂直的转化证明O为△BCD的重心．(2)先利用类比推理猜想出一个结论，再用演绎推理给出证明．[解](1)证明：∵AB⊥AD，AC⊥AD，AB∩AC＝A，∴AD⊥平面ABC.又∵BC⊂平面ABC，∴AD⊥BC，又∵AO⊥平面BCD，∴AO⊥BC，∵AD∩AO＝A，∴BC⊥平面AOD，∴BC⊥DO，同理可证CD⊥BO，∴O为△BCD的垂心．(2)猜想：S2△ABC＋S2△ACD＋S2△ABD＝S2△BCD.证明如下：连接DO并延长交BC于E，连接AE，BO，CO，由(1)知AD⊥平面ABC，AE⊂平面ABC，∴AD⊥AE，又AO⊥ED，∴AE2＝EO·ED，12BC·AE2＝12BC·EO·12BC·ED，即S2△ABC＝S△BOC·S△BCD.同理可证：S2△ACD＝S△COD·S△BCD，S2△ABD＝S△BOD·S△BCD.∴S2△ABC＋S2△ACD＋S2△ABD＝S△BCD·(S△BOC＋S△COD＋S△BOD)＝S△BCD·S△BCD＝S2△BCD.合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定真.但合情推理常常帮助我们猜测和发现新的规律，为我们提供证明的思路和方法，而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下).3．已知命题：“若数列{an}是等比数列，且an0，则数列bn＝na1a2…an(n∈N＋)也是等比数列”．类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论．[解]类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：若数列{an}是等差数列，则数列bn＝a1＋a2＋…＋ann也是等差数列．证明如下：设等差数列{an}的公差为d，则bn＝a1＋a2＋…＋ann＝na1＋nn－1d2n＝a1＋d2(n－1)，所以数列{bn}是以a1为首项，d2为公差的等差数列．当堂达标固双基1．演绎推理中的“一般性原理”包括()①已有的事实；②定义、定理、公理等；③个人积累的经验．A．①②B．①③C．②③D．①②③[解析]演绎推理中的“一般性原理”包括“已有的事实”“定义、定理、公理等”．[答案]A2．下面几种推理过程是演绎推理的是()A．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A＋∠B＝180°B．某校高三(1)班有55人，(2)班有54人，(3)班有52人，由此得出高三所有班级中的人数都超过50人C．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质D．在数列{an}中，a1＝1，an＝12an－1＋1an－1(n≥2)，通过计算a2，a3，a4猜想出an的通项公式[解析]A是演绎推理，B，D是归纳推理，C是类比推理．[答案]A3．用三段论证明命题：“任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a20”，你认为这个推理()A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．是正确的[解析]这个三段论推理的大前提是“任何实数的平方大于0”，小前提是“a是实数”，结论是“a20”．显然结论错误，原因是大前提错误．[答案]A4．函数y＝2x＋5的图象是一条直线，用三段论表示为：大前提：____________________________________________；小前提：____________________________________________；结论：_______________________________________________.[答案]一次函数的图象是一条直线函数y＝2x＋5是一次函数函数y＝2x＋5的图象是一条直线5．用三段论的形式写出下列演绎推理．(1)矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以正方形的对角线相等；(2)y＝cosx(x∈R)是周期函数．[解](1)因为矩形的对角线相等，(大前提)而正方形是矩形，(小前提)所以正方形的对角线相等．(结论)(2)因为三角函数是周期函数，(大前提)而y＝cosx(x∈R)是三角函数，(小前提)所以y＝cosx(x∈R)是周期函数．(结论)