2019-2020学年高中数学 第2章 统计 2.3 总体特征数的估计课件 苏教版必修3

第2章统计2.3总体特征数的估计学习目标核心素养1.通过实例理解样本的数字特征，如平均数、方差、标准差．2．会计算所给样本的平均数、方差、标准差．(重点)3．能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征，并作出合理的解释．(难点)1.通过求平均数、方差、标准差，提高学生的数学运算核心素养．2．通过对平均数、方差、标准差的分析比较来解决问题，培养学生的数据分析核心素养.自主预习探新知1．众数一组数据中重复出现次数_____的数称为这组数的众数．2．中位数把一组数据按从小到大的顺序排列，把处于_____位置的那个数称为这组数据的中位数．当数据个数为奇数时，中位数是按从小到大的顺序排列的_____的那个数．当数据个数为偶数时，中位数是按从小到大的顺序排列的最中间两个数的_______．最多中间中间平均数3．平均数(1)若给定一组数据a1，a2，…，an，则称a＝1ni＝1nai＝______________为这n个数据的平均数或均值．(2)若一组数据中取值为a1，a2，…，an的频率分别为p1，p2，…，pn，则其平均数为____________________.a1＋a2＋…＋anna1p1＋a2p2＋…＋anpn4．方差与标准差一般地，设样本数据分别是x1，x2，…，xn，样本的平均数为x，则称s2＝________________________________为这个样本的方差，其算术平方根s＝_____________________________________为样本的标准差，分别简称_________、___________．5．极差一组数据的________与_______的差称为极差．1n[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2]1n[x1－x2＋x2－x2＋…＋xn－x2]样本方差样本标准差最大值最小值98[将这组数据从小到大排列为73,82,84,91,98,98,99,101,110,118，则最中间的两个数为98,98，故中位数为98.]1．下面是高一(8)班十位同学的数学测试成绩：82,91,73,84,98,99,101,118,98,110，则该组数据的中位数是________．68[平均每天所需时间为80×2＋70×4＋60×410＝68.]2．在一段时间里，一个学生记录了其中10天他每天完成家庭作业所需要的时间(单位：分钟)，结果如下：80,70,70,70,60,60,80,60,60,70.在这段时间里，该学生平均每天完成家庭作业所需时间是________分钟．3．2[5个数据的平均数x＝10＋6＋8＋5＋65＝7.所以s2＝15[(10－7)2＋(6－7)2＋(8－7)2＋(5－7)2＋(6－7)2]＝3.2.]3．某老师从星期一到星期五收到的信息数分别为10,6,8,5,6，则该组数据的方差s2＝________.2[平均数x＝15(1＋2＋3＋4＋5)＝3，所以s＝15[1－32＋2－32＋3－32＋4－32＋5－32]＝2.]4．已知一个样本中的数据为1,2,3,4,5，则该样本的标准差为________．合作探究提素养平均数、众数、中位数【例1】(1)一个球队所有队员的身高如下(单位：cm)：178,178,182,182,178,180,178,180,181,180,181,180,180,182.则这个球队的队员平均身高是________cm(精确到1cm)．(2)有容量为100的样本，数据分组及各组的频数、频率如下：[12.5,14.5)，6,0.06；[14.5,16.5)，16,0.16；[16.5，18.5)，18,0.18；[18.5,20.5)，22,0.22；[20.5,22.5)，20,0.20；[22.5,24.5)，10,0.10；[24.5,26.5]，8,0.08.则该样本数据的平均数为________．(1)180(2)19.42[(1)法一：利用平均数的定义计算：平均身高x＝114(178＋178＋182＋182＋178＋180＋178＋180＋181＋180＋181＋180＋180＋182)＝114×2520＝180(cm)．法二：利用加权平均数公式计算：平均身高x＝114(178×4＋182×3＋180×5＋181×2)＝114×2520＝180(cm)．法三：利用新数据法进行计算：取a＝180，将各数据同时减去180，得到一组新数据：－2，－2,2,2，－2,0，－2,0,1,0,1,0,0,2.这组新数据的平均数为x′＝114(－2×4＋2×3＋0×5＋1×2)＝0，所以平均身高x＝a＋x′＝180＋0＝180(cm)．(2)利用频率平均数公式计算：样本数据平均数x＝13.5×0.06＋15.5×0.16＋17.5×0.18＋19.5×0.22＋21.5×0.20＋23.5×0.10＋25.5×0.08＝19.42.]1．一般情况下，要计算一组数据的平均数，可使用平均数公式x＝1n(x1＋x2＋…＋xn)来计算．2．如果x1，x2，…，xn的平均数为x，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均数是mx＋A．当数据较大，且大部分数据在某一常数左右波动时，本例中“法三”可以减少运算量，故此法比较简便．3．一般地，如果在n个数中，x1出现的频数为f1，x2出现的频数为f2，…，xk出现的频数为fk(其中f1＋f2＋…＋fk＝n)，那么x＝1n(x1f1＋x2f2＋…＋xkfk)＝1ni＝1kxifi叫做这n个数的频数平均数，也称加权平均数，其中f1，f2，…，fk叫做权．4．一般地，若取值为x1，x2，…，xn的频率分别为p1，p2，…，pn，那么其平均数为x＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn.如本例(2)中求平均数方法．提醒：当条件给出某几个范围内的数据的频率或频数时，可用组中值求平均数．149．8克[平均数为x＝150＋152＋153＋149＋148＋146＋151＋150＋152＋14710＝149.8(克)．]1．某商场买来一车苹果，从中随机抽取了10个苹果，其重量(单位：克)分别为150,152,153,149,148,146,151,150,152,147，由此估计这车苹果单个重量的平均值是________．x－3.1[设原来数据为a1，a2，…，an，则a1＋a2＋…＋an＝nx，从而新数据的平均数为a1－3.1＋a2－3.1＋…＋an－3.1n＝nx－3.1nn＝x－3.1.]2．将一组数据同时减去3.1，得到一组新数据，若原数据的平均数为x，则新数据的平均数是________．极差、方差与标准差【例2】求一组数据7,6,8,8,5,9,7,7,6,7的：(1)极差；(2)方差；(3)标准差．[解](1)该组数据中最大值为9，最小值为5，故该组数据的极差为9－5＝4.(2)求方差可以有三种方法：法一：因为x＝110(7×4＋6×2＋8×2＋5＋9)＝7，所以s2＝110×[(7－7)2＋(6－7)2＋…＋(7－7)2]＝1.2，法二：同“法一”，求得x＝7，所以s2＝110[(72＋62＋82＋…＋72)－10×72]＝1.2，法三：将各数据减去7，得一组新数据：0，－1,1,1，－2,2,0,0，－1,0，则x′＝0，所以x＝x′＋7＝7.所以s2＝110[02＋(－1)2＋12＋…＋02]－10×02＝1.2.(3)由(2)知，标准差s＝s2＝1.2＝305.1．极差是数据的最大值与最小值的差，它反映了一组数据变化的最大幅度，它对一组数据中的极端值非常敏感．2．方差的计算(1)s2＝1n[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2]；(2)s2＝1n(x21＋x22＋…＋x2n－nx2)；(3)s2＝1n(x21＋x22＋…＋x2n)－x2.3．方差的性质(1)数据x1，x2，…，xn与数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差相等．(2)若数据x1，x2，…，xn的方差为s2，则数据ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为a2s2(a，b∈R)．(3)标准差、方差的范围为[0，＋∞)．4．标准差的计算方差的算术平方根即标准差，要求标准差先求出方差，再开方取其算术平方根即可．提醒：方差、标准差的单位不一致要注意区别．1305[由平均数为5，得a＝5×5－(2＋3＋7＋8)＝5，则s2＝15(32＋22＋22＋32＋02)＝265，s＝265＝1305.]3．若一组样本数据2,3,7,8，a的平均数为5，则该组数据的标准差s＝________.43[根据方差的性质知4x1＋1,4x2＋1,4x3＋1,4x4＋1,4x5＋1的方差为42×3＝48.所以其标准差为48＝43.]4．已知样本x1，x2，x3，x4，x5的方差为3，则样本4x1＋1,4x2＋1,4x3＋1,4x4＋1,4x5＋1的标准差是________．平均数、方差与标准差的应用【例3】某校拟派一名跳高运动员参加一项校际比赛，对甲、乙两名跳高运动员进行了8次选拔比赛，他们的成绩(单位：m)如下：甲：1.70,1.65,1.68,1.69,1.72,1.73,1.68,1.67；乙：1.60,1.73,1.72,1.61,1.62,1.71,1.70,1.75.经预测，成绩超过1.65m就很有可能获得冠军，该校为了获取冠军，可能选哪位选手参赛？若预测成绩超过了1.70m方可获得冠军呢？思路点拨：[解]甲的平均成绩和方差：x甲＝18×(1.70＋1.65＋…＋1.67)＝1.69，s2甲＝18×[(1.70－1.69)2＋(1.65－1.69)2＋…＋(1.67－1.69)2]＝0.0006.乙的平均成绩和方差：x乙＝18×(1.60＋1.73＋…＋1.75)＝1.68，s2乙＝18×[(1.60－1.68)2＋(1.73－1.68)2＋…＋(1.75－1.68)2]＝0.00315.显然，甲的平均成绩高于乙的平均成绩，而且甲的方差小于乙的方差，说明甲的成绩比乙稳定，由于甲的平均成绩高于乙，且成绩稳定，所以若成绩超过1.65m就很可能获得冠军，应派甲参赛．在这8次选拔比赛中乙有5次成绩在1.70m以上，虽然乙的平均成绩不如甲，成绩的稳定性也不如甲，但当成绩超过1.70m方可获得冠军时，应派乙参加比赛．在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究其偏离平均值的离散程度(方差或标准差)，方差(标准差)越大，说明取值分散性越大，方差(标准差)越小，说明取值分散性越小，取值比较集中、稳定．5．假定以下数据是甲、乙两个供货商的交货天数：甲：10,9,10,10,11,11,9,11,10,10；乙：8,10,14,7,10,11,10,8,15,12.根据以上数据估计两个供货商的交货情况：哪个供货商交货时间短一些？哪个供货商是比较具有一致性与可靠性的供货商？思路点拨：先分别计算出甲、乙两组数据的平均数及方差，再作判断．[解]x甲＝110(10＋9＋…＋10)＝10.1，s2甲＝110(102＋92＋…＋102)－10.12＝0.49；x乙＝110(8＋10＋…＋12)＝10.5，s2乙＝110(82＋102＋…＋122)－10.52＝6.05s2甲.从交货天数的平均值来看，甲供货商的交货时间短一些；从方差来看，甲供货商的交货时间较稳定．因此甲供货商是比较具有一致性与可靠性的供货商．6．从甲、乙两种玉米中各抽10株，分别测得它们的株高如下(单位：cm)：甲：25,41,40,37,22,14,19,39,21,42；乙：27,16,44,27,44,16,40,40,16,40.问：(1)哪种玉米的苗长得高？(2)哪种玉米的苗长得齐？思路点拨：看哪种玉米的苗长得高，只要比较甲、乙两种玉米的平均高度即可；要比较哪种玉米的苗长得齐，只要看两种玉米高的方差即可，因为方差是体现一组数据波动大小的特征数．[解](1)x甲＝110(25＋41＋40＋37＋22＋14＋1