2019-2020学年高中数学 第2章 随机变量及其分布 3.1 离散型随机变量的均值课件 新人教A

第二章随机变量及其分布2．3离散型随机变量的均值与方差2．3.1离散型随机变量的均值梳理知识夯实基础自主学习导航1．理解离散型随机变量均值的概念和意义．2．能计算简单离散型随机变量的均值，并能解决一些实际问题．3．会求两点分布和二项分布的均值．‖知识梳理‖1．一般地，若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn则称E(X)＝________________________________为随机变量X的均值或数学期望．离散型随机变量X的均值或数学期望反映了离散型随机变量取值的__________．x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn平均水平2．若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝__________；若X～B(n，p)，则E(X)＝__________.3．若Y＝aX＋b，则E(Y)＝E(aX＋b)＝__________.pnpaE(X)＋b解剖难点探究提高重点难点突破随机变量的均值E(X)是一个数值，是随机变量X本身所固有的一个数字特征．它不依赖于样本的抽取，不具有随机性，反映的是随机变量取值的平均水平．求离散型随机变量均值的步骤：(1)理解随机变量X的意义，写出X的可能取得的全部值；(2)写出X的每个值的概率；(3)写出X的分布列；(4)由均值的定义求出E(X)．归纳透析触类旁通课堂互动探究题型一求离散型随机变量的均值已知随机变量X的分布列：X－1012P1438m18(1)求m的值；(2)求E(X)；(3)求E(3X＋2)．【思路探索】利用分布列的性质可求出m的值；由均值的定义可求出E(X)；利用期望的性质可求出E(3X＋2)的值．【解】(1)由分布列的性质可知14＋38＋m＋18＝1，得m＝14.∴m的值为14.(2)由均值的定义可知E(X)＝(－1)×14＋0×38＋1×14＋2×18＝－14＋14＋14＝14.(3)由(2)知E(X)＝14.又E(3X＋2)＝3E(X)＋2＝34＋2＝114.[名师点拨](1)随机变量的均值表示随机变量在随机试验中的取值的平均水平．它是概率意义下的平均值，不同于相应数值的算术平均值．(2)在均值的性质E(aX＋b)＝aE(X)＋b中，若a＝0，则E(b)＝b，即常数的期望是它本身；若a＝1，则E(X＋b)＝E(X)＋b；若b＝0，则E(aX)＝aE(X)，这些特殊情况也要掌握.设随机变量X的分布列如下表，且E(X)＝1.6，则a－b＝()X0123P0.1ab0.1A．0.2B．0.1C．－0.2D．－0.4解析：依题意，a＋b＝1－0.1－0.1＝0.8，E(X)＝0×0.1＋a＋2b＋3×0.1＝a＋2b＋0.3＝1.6，解得a＝0.3，b＝0.5，∴a－b＝－0.2，故选C.答案：C题型二两点分布与二项分布的均值某运动员投篮命中率为0.6.(1)求一次投篮时命中次数ξ的均值；(2)求重复5次投篮时，命中次数η的均值．【思路探索】由于(1)中的ξ只有0,1两个结果，服从两点分布；对于(2)η服从二项分布，利用二项分布的均值公式求解．【解】(1)投篮一次，命中次数ξ的分布列为ξ01P0.40.6则E(ξ)＝0.6.(2)由题意得，重复5次投篮，命中次数η服从二项分布，即η～B(5,0.6)，∴E(η)＝np＝5×0.6＝3.[名师点拨]若随机变量ξ服从两点分布，则其均值E(ξ)＝p；若ξ服从二项分布，则其均值E(ξ)＝np.阳澄湖大闸蟹的上市规格为：特级雄蟹≥200g，雌蟹≥150g；一级雄蟹≥150g，雌蟹≥125g；二级雄蟹≥125g，雌蟹≥100g．现从某批上市的大闸蟹中随机抽取100只，得到的数据如下：雄蟹雌蟹等级特级一级二级特级一级二级只数30a102010b(1)根据雌雄按分层抽样的方法从这100只大闸蟹中抽取20只，若雌蟹有8只，求a，b的值；(2)按样本估计总体的方法从这批上市的大闸蟹中有放回地随机抽取3只，记特级雄蟹的只数为X，求X的分布列与数学期望．解：(1)按分层抽样的方法从这100只大闸蟹中抽取20只，雌蟹有8只，∴20＋10＋b100×20＝8，解得b＝10，30＋a＋10100×20＝12，解得a＝20.(2)从这批上市的大闸蟹中有放回地随机抽取3只，每次取到特级雄蟹的概率P＝0.3，则X～B(3,0.3)，∴P(X＝0)＝C030.73＝0.343，P(X＝1)＝C130.3·0.72＝0.441，P(X＝2)＝C230.32·0.7＝0.189，P(X＝3)＝C330.33＝0.027，X的分布列为X0123P0.3430.4410.1890.027∴E(X)＝3×0.3＝0.9，∴数学期望为E(X)＝910.题型三均值的应用(2018·全国卷Ⅰ)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p(0p1)，且各件产品是否为不合格品相互独立．(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p0；(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p0作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．①若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求E(X)；②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？【解】(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)＝C220p2(1－p)18.因此f′(p)＝C220[2p(1－p)18－18p2·(1－p)17]＝2C220p(1－p)17(1－10p)．令f′(p)＝0，得p＝0.1.当p∈(0,0.1)时，f′(p)0；当p∈(0.1,1)时，f′(p)0.所以f(p)的最大值点为p0＝0.1.(2)由(1)知，p＝0.1.①令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知Y～B(180,0.1)，X＝20×2＋25Y，即X＝40＋25Y.所以E(X)＝E(40＋25Y)＝40＋25E(Y)＝490.②如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元．由于E(X)400，故应该对余下的产品作检验．[名师点拨]正确理解事件发生的情况是解决本题的关键.某仪器经过检验合格才能出厂，初检合格率为34；若初检不合格，则需要进行调试，经调试后再次对其进行检验；若仍不合格，作为废品处理，再检合格率为45，每台仪器各项费用如下表：项目生产成本检验费/次调试费出厂价金额(元)10001002003000(1)求每台仪器能出厂的概率；(2)求生产一台仪器所获得的利润为1600元的概率(注：利润＝出厂价－生产成本－检验费－调试费)；(3)假设每台仪器是否合格相互独立，记X为生产两台仪器所获得的利润，求X的分布列和数学期望．解：(1)记每台仪器不能出厂为事件A，则P(A)＝1－341－45＝120，所以每台仪器能出厂的概率P(A)＝1－120＝1920.(2)生产一台仪器利润为1600元，即初检不合格，调试后再检合格，故所求为P＝1－34×45＝15.(3)X可取3800,3500,3200,500,200，－2800.P(X＝3800)＝34×34＝916，P(X＝3500)＝C12×15×34＝310，P(X＝3200)＝152＝125，P(X＝500)＝C12×34×14×15＝340，P(X＝200)＝C12×15×14×15＝150，P(X＝－2800)＝14×152＝1400，X的分布列为X380035003200500200－2800P9163101253401501400E(X)＝3800×916＋3500×310＋3200×125＋500×340＋200×150＋(－2800)×1400＝3350.即学即练稳操胜券课堂基础达标1．射击中每次击中目标得1分，未击中目标得0分，已知某运动员每次射击击中目标的概率是0.7，假设每次射击击中目标与否互不影响，则他射击3次的得分的数学期望是()A．2.1B．2C．0.9D．0.63解析：依题意，该运动员的射击服从二项分布X～B(3，0.7)，所以他射击3次的得分的数学期望E(X)＝3×0.7＝2.1，故选A.答案：A2．若随机变量ξ的分布列为ξ123P0.2m0.5则ξ的数学期望为()A．2.3B．1.7C．2D．随m的变化而变化解析：由0.2＋m＋0.5＝1，得m＝0.3，∴E(ξ)＝1×0.2＋2×0.3＋3×0.5＝2.3.答案：A3．已知两台独立工作的电脑产生故障的概率分别为a，b，则产生故障的电脑台数的均值为()A．abB．a＋bC．1－abD．1－a－b解析：设产生故障的电脑台数为随机变量X，则X的所有可能取值为0,1,2，其分布列为X012P(1－a)(1－b)a(1－b)＋(1－a)bab所以E(X)＝a(1－b)＋(1－a)b＋2ab＝a－ab＋b－ab＋2ab＝a＋b，故选B.答案：B4．一次英语测试由50道选择题构成，每道题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，每个选对得3分，选错或不选均不得分，满分150.某学生选对每一道题的概率均为0.7，则该生在这次测试中的成绩的期望是________．解析：依题意，该学生的测试服从二项分布X～B(50，0.7)，所以该生在这次测试中的成绩的期望E(3X)＝50×0.7×3＝105.答案：1055．一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)，设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立．(1)设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列和数学期望E(X)；(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？解：(1)X可能的取值为10,20,100，－200.根据题意，有P(X＝10)＝C13×121×1－122＝38，P(X＝20)＝C23×122×1－121＝38，P(X＝100)＝C33×123×1－120＝18，P(X＝－200)＝C03×120×1－123＝18，所以X的分布列为X1020100－200P38381818X的数学期望为E(X)＝10×38＋20×38＋100×18－200×18＝－54.(2)设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件Ai(i＝1,2,3)，则P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2)P(A3)＝183，所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为1－P(A1A2A3)＝1－183＝1－1512＝511512.因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是511512.