2019-2020学年高中数学 第2章 随机变量及其分布 2.4 正态分布课件 新人教A版选修2-3

第二章随机变量及其分布2.4正态分布学习目标核心素养1.利用实际问题的直方图，了解正态曲线的特征和正态曲线所表示的意义．(重点)2．能借助正态曲线的图象理解正态曲线的性质及意义．(重点)3．会根据正态曲线的性质求随机变量在某一区间的概率．(难点)1.通过学习正态分布，体会数学抽象和直观想象的素养．2．借助“3σ”原则解题，提升数学运算的素养.自主预习探新知1．正态曲线若φμ，σ(x)＝___________，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ0)为参数，我们称φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称_________．正态曲线2．正态分布如果对于任何实数a，b(ab)，随机变量X满足P(aX≤b)＝_________，则称随机变量X服从正态分布．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作N(μ，σ2)．如果随机变量X服从正态分布，则记为____________．X～N(μ，σ2)abφμ，σ(x)思考：如何估计参数μ，σ的值？[提示]参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计．3．正态曲线的特点(1)曲线位于x轴______，与x轴不相交；(2)曲线是单峰的，它关于____________对称；(3)曲线在______处达到峰值1σ2π；(4)曲线与x轴之间的面积为___；上方直线x＝μx＝μ1(5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿______平移；(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越______；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越______．x轴集中分散4．3σ原则(1)若X～N(μ，σ2)，则对于任何实数a0，P(μ－aX≤μ＋a)＝μ－aμ＋aφμ，σ(x)dx.(2)正态分布在三个特殊区间内取值的概率：P(μ－σX≤μ＋σ)≈________，P(μ－2σX≤μ＋2σ)≈________，P(μ－3σX≤μ＋3σ)≈________.(3)通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值，并简称之为3σ原则．0.68270.95450.9973D[由题意知X的均值为2，因此P(X2)＝12.]1．已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，则P(X2)＝()A.15B.14C.13D.12C[由正态曲线性质知均值为0.]2．正态曲线关于y轴对称，则它所对应的正态总体均值为()A．1B．－1C．0D．不确定0．6827[由题意可知X～N(5,4)，且μ＝5，σ＝2，所以P(3X≤7)＝P(μ－σX≤μ＋σ)＝0.6827.]3．正态分布的概率密度函数P(x)＝122πe－x－528在(3,7]内取值的概率为________．合作探究提素养正态曲线及其性质【例1】某次我市高三教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如图所示(由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布)，则由如图所示曲线可得下列说法中正确的一项是()A．甲科总体的标准差最小B．丙科总体的平均数最小C．乙科总体的标准差及平均数都居中D．甲、乙、丙的总体的平均数不相同A[由题中图象可知三科总体的平均数(均值)相等，由正态密度曲线的性质，可知σ越大，正态曲线越扁平；σ越小，正态曲线越尖陡，故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙．故选A.]利用正态曲线的性质可以求参数μ，σ1．正态曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称，由此性质结合图象求μ.2．正态曲线在x＝μ处达到峰值1σ2π，由此性质结合图象可求σ.3．由σ的大小区分曲线的胖瘦．A[根据正态分布的性质：对称轴方程x＝μ，σ表示正态曲线的形状．由题图可得，选A.]1.设两个正态分布N(μ1，σ21)(σ10)和N(μ2，σ22)(σ20)的密度函数图象如图所示，则有()A．μ1μ2，σ1σ2B．μ1μ2，σ1σ2C．μ1μ2，σ1σ2D．μ1μ2，σ1σ2正态分布下的概率计算【例2】(1)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ4)＝0.8，则P(0ξ2)＝()A．0.6B．0.4C．0.3D．0.2(2)在某项测量中，测量结果服从正态分布N(1,4)，求正态总体X在(－1,1)内取值的概率．[思路点拨](1)根据正态曲线的对称性进行求解；(2)题可先求出X在(－1,3)内取值的概率，然后由正态曲线关于x＝1对称知，X在(－1,1)内取值的概率就等于在(－1,3)内取值的概率的一半．(1)C[∵随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，∴μ＝2，对称轴是x＝2.∵P(ξ4)＝0.8，∴P(ξ≥4)＝P(ξ0)＝0.2，∴P(0ξ4)＝0.6，∴P(0ξ2)＝0.3.故选C.](2)[解]由题意得μ＝1，σ＝2，所以P(－1＜X≤3)＝P(1－2＜X≤1＋2)＝0.6827.又因为正态曲线关于x＝1对称，所以P(－1＜X＜1)＝P(1＜X＜3)＝12P(－1＜X＜3)≈0.3414.正态变量在某个区间内取值概率的求解策略1．充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.2．注意概率值的求解转化：(1)P(X＜a)＝1－P(X≥a)；(2)P(X＜μ－a)＝P(X≥μ＋a)；(3)若b＜μ，则P(X＜b)＝1－Pμ－b＜X＜μ＋b2.3．熟记P(μ－σ＜X≤μ＋σ)，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)的值．2．设随机变量X～N(2,9)，若P(Xc＋1)＝P(Xc－1)．(1)求c的值；(2)求P(－4x8)．[解](1)由X～N(2,9)可知，密度函数关于直线x＝2对称(如图所示)，又P(Xc＋1)＝P(Xc－1)，故有2－(c－1)＝(c＋1)－2，所以c＝2.(2)P(－4x8)＝P(2－2×3x2＋2×3)＝0.9545.正态分布的实际应用【例3】在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从一个正态分布，即ξ～N(90,100)．(1)试求考试成绩ξ位于区间(70,110)上的概率是多少？(2)若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩在(80,100)间的考生大约有多少人？[思路点拨](1)ξ～N90，100―→μ＝90，σ＝10―――――――――→借助“3σ”原则解题求P70ξ110(2)先求P80ξ100―→由2000P80ξ100求结果[解]因为ξ～N(90,100)，所以μ＝90，σ＝10.(1)由于正态变量在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率是0.9545，而该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考试成绩ξ位于区间(70,110)内的概率为0.9545.(2)由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100.由于正态变量在区间(μ－σ，μ＋σ)内取值的概率是0.6827，所以考试成绩ξ位于区间(80,100)内的概率就是0.6827.一共有2000名考生，所以考试成绩在(80,100)间的考生大约有2000×0.6827≈1365(人)．正态曲线的应用及求解策略1．本题利用转化的思想方法，把普通的区间转化为3σ区间，由特殊区间的概率值求出．2．解答正态分布的实际应用题，其关键是如何转化，同时应熟练掌握正态分布在(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]三个区间内的概率．在此过程中用到归纳思想和数形结合思想．3．某厂生产的圆柱形零件的外直径X服从正态分布N(4,0.52)，质量检查人员从该厂生产的1000个零件中随机抽查一个，测得它的外直径为5.7cm，该厂生产的这批零件是否合格？[解]由于X服从正态分布N(4,0.52)，由正态分布的性质，可知正态分布N(4,0.52)在(4－3×0.5,4＋3×0.5)之外的取值的概率只有0.0027，而5.7∉(2.5,5.5)，这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，据此可以认为该批零件是不合格的．正态总体在某个区间内取值的概率求法：(1)熟记P(μ－σX≤μ＋σ)，P(μ－2σX≤μ＋2σ)，P(μ－3σX≤μ＋3σ)的值．(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1.①正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相等．②P(Xa)＝1－P(X≥a)，P(Xμ－a)＝P(X≥μ＋a)，若bμ，则P(Xμ－b)＝1－Pμ－bXμ＋b2.当堂达标固双基1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)正态变量函数表达式中参数μ，σ的意义分别是样本的均值与方差．()(2)服从正态分布的随机变量是连续型随机变量．()(3)正态曲线是一条钟形曲线．()[答案](1)×(2)√(3)√D[由正态密度函数表达式知μ＝－3，σ＝2.]2．设随机变量X的正态密度函数为f(x)＝12π·e，x∈(－∞，＋∞)，则参数μ，σ的值分别是()A．μ＝3，σ＝2B．μ＝－3，σ＝2C．μ＝3，σ＝2D．μ＝－3，σ＝20．9545[∵X～N0，14，∴μ＝0，σ＝12，∴P(－1＜X＜1)＝P(0－2σ＜X＜0＋2σ)＝0.9545.]3．设X～N0，14，则P(－1＜x＜1)＝________.4．有一种精密零件，其尺寸X(单位：mm)服从正态分布N(20,4)．若这批零件共有5000个，试求：(1)这批零件中尺寸在18～22mm间的零件所占的百分比；(2)若规定尺寸在24～26mm间的零件不合格，则这批零件中不合格的零件大约有多少个？[解](1)∵X～N(20,4)，∴μ＝20，σ＝2，∴μ－σ＝18，μ＋σ＝22，于是尺寸在18～22mm间的零件所占的百分比大约是68.27%.(2)∵μ－3σ＝14，μ＋3σ＝26，μ－2σ＝16，μ＋2σ＝24，∴尺寸在14～26mm间的零件所占的百分比大约是99.73%，而尺寸在16～24mm间的零件所占的百分比大约是95.45%.∴尺寸在24～26mm间的零件所占的百分比大约是99.73%－95.45%2＝2.14%.因此尺寸在24～26mm间的零件大约5000×2.14%≈107(个)．∴这批零件中不合格的零件大约有107个．