2019-2020学年高中数学 第2章 随机变量及其分布 2.2 事件的相互独立性课件 新人教A版选

第二章随机变量及其分布2．2二项分布及其应用2．2.2事件的相互独立性梳理知识夯实基础自主学习导航1．了解相互独立事件的概念及相互独立事件与互斥事件之间的区别．2．掌握相互独立事件概率的乘法公式．3．能用相互独立事件概率的乘法公式解决实际问题．‖知识梳理‖设A，B为两个事件，如果________________，则称事件A与事件B相互独立，如果A与B相互独立，那么A与B，A与B，A与B也__________．P(AB)＝P(A)P(B)相互独立解剖难点探究提高重点难点突破对于事件A，B，如果A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，则称两个事件为相互独立事件．若A、B为相互独立事件，则P(AB)＝P(A)P(B)，该性质可推广为：若A1，A2，A3，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于各个事件发生概率的积，即P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．在解题中要注意区分事件A与B相互独立、事件A与B互斥．两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响，相互独立的事件可以同时发生，且同时发生的概率P(AB)＝P(A)P(B)，而互斥的两个事件A，B满足P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．归纳透析触类旁通课堂互动探究题型一相互独立事件的判断容器中盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球．(1)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的是白球”这两个事件是否相互独立？为什么？(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“把取出的1个白球放回容器，再从容器中任意取出1个，取出的是黄球”这两个事件是否相互独立？为什么？【解】(1)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”记为事件A，“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的是白球”记为事件B，则P(A)＝58，P(B)＝58×47＋38×57＝58，P(AB)＝5×48×7＝514.因为P(AB)≠P(A)P(B)，所以二者不是相互独立事件．(2)因为把取出的白球放回容器，所以对“从中任意取出1个，取出的是黄球”的概率没有影响，所以二者是相互独立事件．[名师点拨]判断两个事件相互独立常常根据定义判断，即事件A，B同时发生的概率若等于事件A、B发生的概率的积，则A，B相互独立，否则就不相互独立.给出以下事件：①掷一枚骰子，记“出现的点数为奇数”为事件M，“出现的点数为偶数”为事件N；②袋中有5红、5黄10个大小相同的小球，依次不放回地取2个球，记“第1次取到红球”为事件M，“第2次取到红球”为事件N；③分别抛掷2枚硬币，记“第1枚为正面朝上”为事件M，“2枚朝上的结果相同”为事件N.其中M，N是相互独立事件的有()A．3个B．2个C．1个D．0个解析：①②中事件M，N显然均不是相互独立事件；③中事件M的发生与否对事件N的发生没有影响，故选C.答案：C题型二相互独立事件概率的计算设事件A与B相互独立，两个事件中只有A发生的概率和只有B发生的概率都是14，求事件A和事件B同时发生的概率．【思路探索】只有事件A发生表示A发生B不发生，只有事件B发生表示B发生而A不发生，根据相互独立事件的公式求解．【解】在相互独立事件A和B中，只有A发生即事件AB发生，只有B发生即事件AB发生．∵A和B相互独立，∴A与B，A和B也相互独立．∴P(AB)＝P(A)P(B)＝P(A)[1－P(B)]＝14，①P(AB)＝P(A)P(B)＝[1－P(A)]P(B)＝14.②①－②得P(A)＝P(B)．③①③联立可解得P(A)＝P(B)＝12.∴P(AB)＝P(A)P(B)＝12×12＝14.[名师点拨]应先搞清楚事件的关系，再利用相互独立事件同时发生的概率公式列方程组求解.(2019·福州市高三质量抽测)甲、乙、丙三位同学独立解决同一个问题，已知三位同学能够正确解决这个问题的概率分别为12，13，14，则有人能够解决这个问题的概率为________．解析：这个问题没有被解决的概率为1－121－131－14＝14，故有人能够解决这个问题的概率为1－14＝34.答案：34题型三相互独立事件的综合应用现有甲、乙两个靶，某射手先向甲靶射击一次，命中的概率为34，然后向乙靶射击两次，每次命中的概率为23，该射手每次射击的结果相互独立，假设该射手完成以上三次射击．(1)求射手第一次命中，后二次都未射中的概率；(2)求该射手恰有一次命中的概率；(3)该射手至少命中一次的概率．【思路探索】由于射手射击的结果相互独立，利用相互独立的概率公式求解．【解】设该射手“第一次射击击中”为事件A，“第二次射击击中”为事件B，“第三次射击击中”为事件C.则P(A)＝34，P(B)＝P(C)＝23.(1)设第一次命中，后二次未中为事件D，由于A，B，C相互独立．则P(D)＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝34×1－231－23＝112.∴该射手第一次命中，后二次未中的概率为112.(2)记该射手恰好命中一次为事件E，则E＝ABC＋ABC＋ABC，由事件的独立性与互斥性得P(E)＝P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＝34×1－23×1－23＋1－34×23×1－23＋1－34×1－23×23＝112＋14×23×13＋14×13×23＝112＋118＋118＝736.∴该射手恰好命中一次的概率为736.(3)该射手至少命中一次为事件F，则P(F)＝1－P(ABC)＝1－1－341－23·1－23＝1－14×13×13＝3536.[名师点拨]求比较复杂的概率，首先要列出题中涉及的各事件，再理清各事件之间的关系，然后根据事件之间的关系求解．某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错得零分，假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8,0.7,0.6，且各题答对与否相互之间没有影响．(1)求这名同学得300分的概率；(2)求这名同学至少得300分的概率．解：记“这名同学答对第i个问题”为事件Ai(i＝1,2,3)，则P(A1)＝0.8，P(A2)＝0.7，P(A3)＝0.6.(1)这名同学得300分的概率P1＝P(A1A2A3)＋P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(A2)P(A3)＝0.8×0.3×0.6＋0.2×0.7×0.6＝0.228.(2)这名同学至少得300分的概率P2＝P1＋P(A1A2A3)＝0.228＋P(A1)·P(A2)·P(A3)＝0.228＋0.8×0.7×0.6＝0.564.即学即练稳操胜券课堂基础达标1．在一次数学竞赛中，有一道题，甲学生解对的概率为12，乙学生解对的概率为23，丙学生解对的概率为35，则甲、乙、丙三人独立解答，恰有一人解对的概率为()A.15B.310C.25D.710解析：只有甲学生解对的概率：P1＝12×1－23×1－35＝115；只有乙学生解对的概率：P2＝1－12×23×1－35＝215；只有丙学生解对的概率：P3＝1－12×1－23×35＝110，∴甲、乙、丙三人独立解答，恰有一人解对的概率P＝P1＋P2＋P3＝310，故选B.答案：B2．(2019·金考卷命题专家原创卷一)首届中国国际进口博览会期间，甲、乙、丙三家中国企业都有意向购买同一种型号的机床设备，他们购买该机床设备的概率分别为12，13，14，且三家企业的购买结果相互之间没有影响，则三家企业中恰有1家购买该机床设备的概率是()A.2324B.524C.1124D.124解析：由题意可知三家企业中恰有1家购买该机床设备的概率是12×1－13×1－14＋1－12×13×1－14＋1－12×1－13×14＝1124.答案：C3．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中都不发生的概率是()A.512B.12C.712D.34解析：依题意得P(A)＝12，P(B)＝16，事件A，B中都不发生的概率等于P(A·B)＝P(A)·P(B)＝12×56＝512.答案：A4．(2019·嘉兴一中高二测试)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统A和B，系统A和系统B发生故障的概率分别为18和p.若恰有一个系统不发生故障的概率为940，则p＝________.解析：记“系统A发生故障”“系统B发生故障”分别为事件E，F，“恰有一个系统不发生故障”为事件C，则P(C)＝P(E)P(F)＋P(E)P(F)＝1－18p＋18(1－p)＝940，解得p＝215.答案：2155．已知A，B是相互独立事件，且P(A)＝12，P(B)＝23，则P(AB)＝________，P(AB)＝________.解析：P(AB)＝P(A)P(B)＝12×1－23＝16，P(AB)＝P(A)P(B)＝1－121－23＝16.答案：1616