2019-2020学年高中数学 第2章 数列 2.4 等比数列 第2课时 等比数列的性质课件 新人教

2.4等比数列第二课时等比数列的性质登高揽胜拓界展怀课前自主学习学习目标1．灵活应用等比数列的定义及通项公式．2．熟悉等比数列的有关性质．3．系统了解判断数列是否成等比数列的方法．知识点|等比数列的性质阅读教材P51～P53，完成下列问题．‖知识梳理‖(1)若数列{an}，{bn}是项数相同的等比数列，则{an·bn}也是等比数列．特别地，若{an}是等比数列，c是不等于0的常数，则{can}也是等比数列．(2)在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则aman＝1___________.(3)数列{an}是有穷数列，则与首末两项2_____________的两项的积相等，且等于首末两项的积．(4)在等比数列{an}中，每隔k项取出一项，按原来的顺序排列，所得新数列仍为等比数列，公比为3_____________.(5)当m，n，p(m，n，p∈N*)成等差数列时，am，an，ap成4_____________数列．apaq等距离qk＋1等比‖思考辨析‖判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积．()(2)当q1时，{an}为递增数列．()(3)当q＝1时，{an}为常数列．()解析：(1)正确，根据等比数列的定义可以判定该说法正确．(2)错误，当q1，a10时，{an}才为递增数列．(3)正确，当q＝1时，数列中的每一项都相等，所以为常数列．答案：(1)√(2)×(3)√‖小试身手‖1．已知等比数列{an}中，a4＝7，a6＝21，则a8的值为()A．35B．63C．213D．±213解析：选B∵{an}成等比数列，∴a4，a6，a8成等比数列，∴a26＝a4·a8，即a8＝2127＝63.故选B.2．在等比数列{an}中，各项都是正数，a6a10＋a3a5＝41，a4a8＝4，则a4＋a8＝_____________.解析：∵a6a10＝a28，a3a5＝a24，∴a24＋a28＝41.又a4a8＝4，∴(a4＋a8)2＝a24＋a28＋2a4a8＝41＋8＝49.∵数列各项都是正数，∴a4＋a8＝7.答案：7剖析题型总结归纳课堂互动探究题型一等比数列的性质及应用互动探究【例1】在等比数列{an}中，已知a4a7＝－512，a3＋a8＝124，且公比为整数，求an.[解]设等比数列的公比为q.由a4a7＝－512，知a3a8＝－512.解方程组a3a8＝－512，a3＋a8＝124，且q为整数，得a3＝－4，a8＝128或a3＝128，a8＝－4(舍去)，q＝5a8a3＝－2.由a3＝－4，q＝－2得，an＝a3·qn－3＝(－1)n－2×2n－1.探究1本例中条件若改为“a7a11＝6，a4＋a14＝5”，问题不变．解：因为数列{an}是等比数列，所以a4a14＝a7a11＝6，解方程组a4a14＝6，a4＋a14＝5.得a4＝2，a14＝3或a4＝3，a14＝2.所以q＝10a14a4＝1032或1023.所以an＝a4qn－4＝2×32n－410或3×23n－410.探究2若条件改为“a4＋a7＝2，a5a6＝－8”，试求a1＋a10.解：因为数列{an}为等比数列，所以a5a6＝a4a7＝－8.联立a4＋a7＝2，a4a7＝－8，可解得a4＝4，a7＝－2或a4＝－2，a7＝4.当a4＝4，a7＝－2时，q3＝－12，故a1＋a10＝a4q3＋a7q3＝－7；当a4＝－2，a7＝4时，q3＝－2，同理，有a1＋a10＝－7.[方法总结]巧用等比数列的性质解题(1)解答等比数列问题的基本方法——基本量法．①基本步骤：运用方程思想列出基本量a1和q的方程组，解出a1和q，然后利用通项公式求解；②优缺点：适用面广，入手简单，思路清晰，但有时运算稍繁．(2)利用等比数列的性质解题①基本思路：充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题；②优缺点：简便快捷，但是适用面窄，有一定的思维含量．题型二灵活应用求解等比数列问题一题多解【例2】有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，后三个数成等差数列，且它们的和为12，求这四个数．[解]解法一：按等比数列设元设前三个数为aq，a，aq，则aq·a·aq＝216，所以a3＝216.所以a＝6.因此前三个数为6q，6,6q.由题意知第4个数为12q－6.所以6＋6q＋12q－6＝12，解得q＝23.故所求的四个数为9,6,4,2.解法二：按等差数列设元设后三个数为4－d,4,4＋d，则第一个数为14(4－d)2，由题意知14(4－d)2×(4－d)×4＝216，解得4－d＝6.所以d＝－2.故所求得的四个数为9,6,4,2.[方法总结]几个数成等比数列的设法(1)三个数成等比数列设为aq，a，aq.推广到一般：奇数个数成等比数列设为：…，aq2，aq，a，aq，aq2，….(2)四个符号相同的数成等比数列设为：aq3，aq，aq，aq3.推广到一般：偶数个符号相同的数成等比数列设为：…，aq5，aq3，aq，aq，aq3，aq5，….(3)四个数成等比数列，不能确定它们的符号相同时，可设为：a，aq，aq2，aq3.1．有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1,1,4,13成等差数列，则这四个数的和是_____________．解析：设这四个数分别为a，aq，aq2，aq3，则a－1，aq－1，aq2－4，aq3－13成等差数列．即2aq－1＝a－1＋aq2－4，2aq2－4＝aq－1＋aq3－13，整理得aq－12＝3，aqq－12＝6，解得a＝3，q＝2.因此这四个数分别是3,6,12,24，其和为45.答案：45题型三等比数列的实际问题【例3】从盛满a(a1)升纯酒精的容器里倒出1升纯酒精，然后填满水摇匀，再倒出1升混合溶液后再填满水摇匀，如此继续下去．(1)试写出第n次操作后溶液的浓度；(2)若a＝2，则至少要操作几次才能使酒精的浓度低于10%?[解](1)设操作n次后溶液的浓度为an，则a1＝1－1a，且an＋1an＝1－1a，∴{an}是以1－1a为首项，1－1a为公比的等比数列．an＝1－1an即为第n次操作后溶液的浓度．(2)当a＝2时，an＝12n＝12n.由an110，得2n10，n≥4，故至少要操作4次才能使酒精的浓度低于10%.[方法总结]解等比数列应用题的步骤(1)审题，解决数列应用题的关键是读懂题意．(2)建立数学模型，将实际问题转化为等比数列的问题．(3)解数学模型，注意隐含条件，数列中n的值是正整数．(4)还原，即最后转化为实际问题作出回答.2．某工厂2017年生产某种机器零件100万件，计划到2019年把产量提高到每年生产121万件．如果每一年比上一年增长的百分率相同，则这个百分率是多少？2018年生产这种零件多少万件？解：设每一年比上一年增长的百分率为x，则从2017年起，连续3年的产量依次为a1＝100，a2＝a1(1＋x)，a3＝a2(1＋x)，即a1＝100，a2＝100(1＋x)，a3＝100(1＋x)2成等比数列．由100(1＋x)2＝121，得(1＋x)2＝1.21，∴1＋x＝1.1或1＋x＝－1.1(舍去)，∴x＝0.1.a2＝100(1＋x)＝110(万件)．所以每年增长的百分率为10%,2018年生产这种零件110万件．知识归纳自我测评堂内归纳提升1．掌握2种技巧等比数列性质的运用技巧(1)利用性质，整体求值，在简化运算的过程中有重要的作用．(2)巧妙地利用am·an＝a2p(m＋n＝2p，m，n，p∈N＋)可简化解题过程．2．把握3种常用设法(1)三个数成等比数列设为aq，a，aq.推广到一般：奇数个数成等比数列设为：…aq2，aq，a，aq，aq2…(2)四个符号相同的数成等比数列设为：aq3，aq，aq，aq3.推广到一般：偶数个符号相同的数成等比数列设为：…aq5，aq3，aq，aq，aq3，aq5…(3)四个数成等比数列，不能确定它们的符号相同时，可设为：a，aq，aq2，aq3.3．熟记并应用5个常用性质等比数列的常用性质性质1：通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N＋)．性质2：若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则ak·al＝am·an.性质3：若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，1an，{a2n}，{an·bn}，anbn仍是等比数列．性质4：在等比数列{an}中距首末两端等距离的两项的积相等，即a1an＝a2an－1＝a3an－2＝….性质5：在等比数列{an}中，序号成等差数列项仍成等比数列．「自测检评」1．对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是()A．a1，a3，a9成等比数列B．a2，a3，a6成等比数列C．a2，a4，a8成等比数列D．a3，a6，a9成等比数列解析：选D设等比数列的公比为q，因为a6a3＝a9a6＝q3，即a26＝a3a9，所以a3，a6，a9成等比数列．故选D.2．记等比数列{an}的前n项积为Ⅱn，若a4a5＝2，则Ⅱ8等于()A．256B．81C．16D．1解析：选C由题意可知，a4a5＝a1a8＝a2a7＝a3a6＝2，则Ⅱ8＝a1a2a3a4a5a6a7a8＝(a4a5)4＝24＝16.故选C.3．在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，则n等于()A．11B．12C．14D．16解析：选C设数列{an}的公比为q，由a1a2a3＝4＝a31q3与a4a5a6＝12＝a31q12，可得q9＝3，an－1anan＋1＝a31q3n－3＝324，因此4q3·q3n－3＝324，即q3n－6＝81＝34＝q36，所以n＝14.故选C.4．设{an}是由正数组成的等比数列，公比q＝2，且a1·a2·a3·…·a30＝230，那么a3·a6·a9·…·a30等于()A．210B．220C．216D．215解析：选B设A＝a1a4a7…a28，B＝a2a5a8…a29，C＝a3a6a9…a30，则A，B，C成等比数列，公比为q10＝210，由条件得A·B·C＝230，∴B＝210，∴C＝B·210＝220.故选B.5．{an}为等比数列，且a1a9＝64，a3＋a7＝20，求a11.解：∵{an}为等比数列，∴a1·a9＝a3·a7＝64，又a3＋a7＝20，∴a3、a7是方程t2－20t＋64＝0的两个根．∴a3＝4，a7＝16或a3＝16，a7＝4.当a3＝4时，a3＋a7＝a3＋a3q4＝20，∴1＋q4＝5，∴q4＝4；当a3＝16时，a3＋a7＝a3(1＋q4)＝20，∴1＋q4＝54，∴q4＝14.∴a11＝a3q8＝64或1.