2019-2020学年高中数学 第2章 数列 2.3.1 等比数列 第一课时 等比数列课件 新人教B

2．3等比数列2．3.1等比数列第一课时等比数列自主学习梳理知识课前基础梳理|目标索引|1．理解等比数列定义，会用定义判断等比数列．2．掌握等比数列的通项公式．3．掌握等比中项的定义并能解决相应问题.1．等比数列的定义如果一个数列从___________起，每一项与它的前一项的比等于___________，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的___________，公比通常用字母___________表示．第2项同一个常数公比q(q≠0)等比数列定义的理解：(1)由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不能为零，因此q也不能为零．(2)an＋1an均为同一常数，由此体现了公比的意义，同时应注意分子、分母次序不能颠倒．(3)如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起每一项与它的前一项之比是同一个常数，那么这个数列不是等比数列．(4)常数列都是等差数列，但却不一定是等比数列．若常数列各项都为0，则它不是等比数列；当常数列各项都不为0时，它才是等比数列．(5)证明一个数列为等比数列，依据是an＋1an＝q(q≠0)，利用这种形式来判定，就便于操作了．2．等比数列的通项公式已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则通项公式为an＝___________(a1≠0，q≠0)．(1)已知首项a1和公比q，可以确定一个等比数列．(2)在公式an＝a1qn－1中，有an，a1，q，n四个量，已知其中任意三个量，可以求得第四个量．(3)对于等比数列{an}，若q＜0，则{an}中正负项间隔出现，如数列1，－2,4，－8,16，…；若q＞0，则数列{an}各项同号．从而等比数列奇数项必同号；偶数项也同号．a1qn－13．等比中项：如果三个数x，G，y组成___________，则G叫做x和y的等比中项，如果G是x和y的等比中项，那么Gx＝yG，即___________.等比数列G2＝xy4．等比数列的单调性(1)当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0，等比数列{an}是递增数列．(2)当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0，等比数列{an}是递减数列．(3)当q＝1，等比数列{an}是常数列．(4)当q＜0，等比数列{an}是摆动数列．1．若等比数列{an}中，a2＝2，a5＝14，则公比q＝()A．－12B．－2C．2D.12解析：a2＝a1q，a5＝a1q4，∴q3＝a5a2＝142＝18，∴q＝12.故选D.答案：D2．对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是()A．a1，a3，a9成等比数列B．a2，a3，a6成等比数列C．a2，a4，a8成等比数列D．a3，a6，a9成等比数列答案：D3．在等比数列{an}中，若a4－a2＝6，a5－a1＝15，则a3＝________.解析：设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，则a1q3－a1q＝6，a1q4－a1＝15，解得a1＝1，q＝2或a1＝－16，q＝12.∴a3＝4或a3＝－4.答案：±4典例精析规律总结课堂互动探究(1)(2017·全国卷Ⅲ)设等比数列{an}满足a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3，则a4＝________.(2)(2017·北京卷)若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝－1，a4＝b4＝8，则a2b2＝________.【解析】(1)由题意可得a11＋q＝－1，a11－q2＝－3，解得a1＝1，q＝－2，∴a4＝a1q3＝－8.(2)由题意可得a1＋3d＝8，b1q3＝8，∴d＝3，q＝－2，∴a2b2＝－1＋3－1×－2＝1.【答案】(1)－8(2)1【知识点拨】a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，其他量便可迎刃而解．此类问题求解的通法是根据条件，建立关于a1和q的方程组，求出a1和q.(2019·辽宁盘锦月考)等比数列{an}的各项为正数，公比q满足q2＝4，则a3＋a4a5＋a6＝()A.14B．2C．±12D.12解析：a3＋a4a5＋a6＝a1q2＋a1q3a1q4＋a1q5＝1q2＝14.答案：A已知{an}为等比数列，若a1＋a4＝8，a3＋a6＝2，则公比q的值为()A．±2B．±12C．2D.12解析：设等比数列{an}的公比为q.(q≠0)则a1＋a1q3＝8，a1q2＋a1q5＝2，即a11＋q3＝8，①a1q21＋q3＝2，②②①得q2＝14，∴q＝±12，故选B.答案：B设公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn.若a4是a3与a7的等比中项，S8＝32，则S10等于()A．18B．24C．60D．90【解析】由题意可得a24＝a3·a7，∴(a1＋3d)2＝(a1＋2d)(a1＋6d)，即2a1＝－3d，①由S8＝32，得8a1＋28d＝32，②由①②联立，可解得a1＝－3，d＝2.∴S10＝10a1＋10×92d＝60.故选C.【答案】C【知识点拨】由等比中项的定义可知Ga＝bG⇒G2＝ab⇒G＝±ab.这表明：只有同号的两项才有等比中项，并且这两项的等比中项有两个，它们互为相反数．异号的两数没有等比中项．反之，若G2＝ab，则Ga＝bG，即a，G，b成等比数列．所以a，G，b成等比数列⇔G2＝ab(ab≠0)．(2018·宁夏银川月考)已知a＝2－1，b＝2＋1，则a，b的等比中项为()A．1B．－1C．－1或1D.12解析：设a，b的等比中项为x，则x2＝ab＝(2－1)(2＋1)＝1，∴x＝±1，故选C.答案：C等差数列{an}满足a5＝14，a7＝20，数列{bn}的前n项和为Sn，且bn＝2－2Sn.(1)求数列{an}的通项公式；(2)证明数列{bn}是等比数列．【解】(1)设数列{an}的公差为d，则d＝a7－a57－5＝20－142＝3.∴an＝a5＋(n－5)d＝14＋3(n－5)＝3n－1.(2)证明：∵bn＝2－2Sn，①当n＝1时，b1＝2－2S1＝2－2b1，∴b1＝23，当n≥2时，bn－1＝2－2Sn－1，②①－②得，bn－bn－1＝2Sn－1－2Sn＝－2bn，∴bn＝13bn－1.当n＝2时，b2＝13b1，∴数列{bn}是公比为13的等比数列．【知识点拨】判断一个数列是否是等比数列的常用方法是：(1)定义法an＋1an＝q(q为常数且不为零)⇔{an}为等比数列．(2)等比中项法a2n＋1＝anan＋2(n∈N*且an≠0)⇔{an}为等比数列．(3)通项公式法an＝a1qn－1(a1≠0且q≠0)⇔{an}为等比数列．(2018·吉林延边月考)下列命题中正确的是()A．若a，b，c是等差数列，则log2a，log2b，log2c是等比数列B．若a，b，c是等比数列，则log2a，log2b，log2c是等差数列C．若a，b，c是等差数列，则2a,2b,2c是等比数列D．若a，b，c是等比数列，则2a,2b,2c是等差数列解析：若a，b，c是等差数列，则2b＝a＋c，2a·2c＝2a＋c＝22b＝(2b)2，∴2a,2b,2c是等比数列，故C正确．答案：C即学即练稳操胜券基础知识达标1．在等比数列{an}中，a4＝6，则a2·a6等于()A．6B．12C．24D．36答案：D2．(2019·黑龙江牡丹江月考)已知数列{an}满足a10，an＋1an＝12，则数列{an}是()A．递增数列B．递减数列C．摆动数列D．不确定解析：由an＋1an＝12，可知数列{an}是等比数列，公比q＝12，∴an＝a112n－1，∴an＋1－an＝a112n－a112n－1＝－a12n0，∴数列{an}是递减数列，故选B.答案：B3．在等比数列{an}中，已知a1＝98，an＝13，q＝23，则n为()A．2B．3C．4D．5解析：由an＝a1·qn－1，得13＝98×23n－1，∴23n－1＝233，∴n＝4，故选C.答案：C4．(2018·江西赣州信丰期中)等比数列{an}中，an0，a1＋a2＝6，a3＝8，则a6＝()A．64B．128C．256D．512解析：由题可得a1＋a1q＝6，①a1q2＝8，②∴①②整理得3q2－4q－4＝0，∴q＝－23，q＝2，又an0，∴q＝2，∴a1＝2，∴a6＝a1q5＝64，故选A.答案：A.5．已知实数a，b，c成等差数列，a＋1，b＋1，c＋4成等比数列，且a＋b＋c＝15，求a，b，c.解：由题意得a＋b＋c＝15，①a＋c＝2b，②a＋1c＋4＝b＋12，③由①②两式，解得b＝5.将c＝10－a代入③，整理得a2－13a＋22＝0，解得a＝2或a＝11.故a＝2，b＝5，c＝8或a＝11，b＝5，c＝－1，经验证，上述两组数都符合题意．