2019-2020学年高中数学 第2章 数列 2.3 等差数列的前n项和（第1课时）等差数列的前n项

第二章数列2.3等差数列的前n项和第1课时等差数列的前n项和学习目标核心素养1.了解等差数列前n项和公式的推导过程(难点).2.掌握等差数列前n项和公式及其应用(重点)．1.通过等差数列前n项和的有关计算及an与Sn关系的应用，培养数学运算素养.2.借助等差数列前n项和的实际应用，培养学生的数学建模及数学运算素养.自主预习探新知1．数列的前n项和的概念一般地，称____________________为数列{an}的前n项和，用Sn表示，即Sn＝____________________．a1＋a2＋…＋ana1＋a2＋…＋an思考：如何用Sn和Sn－1的表达式表示an?[提示]an＝Sn－Sn－1（n≥2），S1（n＝1）.2．等差数列的前n项和公式已知量首项、末项与项数首项、公差与项数求和公式Sn＝____________Sn＝_______________n（a1＋an）2na1＋n（n－1）2d思考：等差数列{an}中，若已知a2＝7，能求出前3项和S3吗？[提示]S3＝3（a1＋a3）2＝3a2＝21.1．在等差数列{an}中，已知a1＝2，d＝2，则S20＝()A．230B．420C．450D．540B[S20＝20a1＋20×192d＝20×2＋20×19＝420.]2．等差数列{an}中，a1＝1，d＝1，则其前n项和Sn＝________．n（n＋1）2[因为a1＝1，d＝1，所以Sn＝n＋n（n－1）2×1＝2n＋n2－n2＝n2＋n2＝n（n＋1）2.]3．在等差数列{an}中，S10＝120，那么a1＋a10＝________．24[由S10＝10（a1＋a10）2＝120.解得a1＋a10＝24.]4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝12，S4＝20，则S6＝________．48[设等差数列{an}的公差为d，由已知得4a1＋4×32×d＝20，即4×12＋4×32d＝20，解得d＝3，所以S6＝6×12＋6×52×3＝3＋45＝48.]合作探究提素养等差数列前n项和的有关计算【例1】在等差数列{an}中，(1)已知a1＝56，an＝－32，Sn＝－5，求n和d；(2)已知a1＝4，S8＝172，求a8和d.[解](1)由题意得，Sn＝n（a1＋an）2＝n56－322＝－5，解得n＝15.又a15＝56＋(15－1)d＝－32，∴d＝－16.∴n＝15，d＝－16.(2)由已知得S8＝8（a1＋a8）2＝8（4＋a8）2＝172，解得a8＝39，又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.∴a8＝39，d＝5.a1，d，n称为等差数列的三个基本量，an和Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，一般通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)求解，在求解过程中要注意整体思想的运用．1．在等差数列{an}中，(1)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S10；(2)已知a3＋a15＝40，求S17.[解](1)S5＝5a1＋5×42d＝5，a6＝a1＋5d＝10，解得a1＝－5，d＝3.∴a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16，S10＝10a1＋10×92d＝10×(－5)＋5×9×3＝85.(2)S17＝17×（a1＋a17）2＝17×（a3＋a15）2＝17×402＝340.an与Sn的关系的应用[探究问题]1．若数列{an}的前n项和为Sn，则关系式an＝Sn－Sn－1的使用条件是什么？[提示]使用条件是n≥2.2．若数列{an}的前n项和为Sn，a2016＋a2017＋a2018如何用前n项和Sn表示？[提示]a2016＋a2017＋a2018＝S2018－S2015.3．已知数列{an}的通项公式an，可利用Sn＝a1＋a2＋…＋an求前n项和Sn；反之，如果知道了数列{an}的前n项和Sn，如何求出它的通项公式？[提示]对所有数列都有Sn＝a1＋a2＋…＋an－1＋an，Sn－1＝a1＋a2＋…＋an－1(n≥2)．因此，当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1；当n＝1时，有a1＝S1.所以an与Sn的关系为an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.当a1也适合an时，则通项公式要统一用一个解析式an＝f(n)(n∈N*)来表示．【例2】设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝2n2－30n.(1)求a1及an；(2)判断这个数列是否是等差数列．思路探究：(1)利用a1＝S1，求a1，借助于an＝Sn－Sn－1(n≥2)求通项公式但要验证a1是否符合条件；(2)利用等差数列的定义进行判断即可．[解](1)因为Sn＝2n2－30n，所以当n＝1时，a1＝S1＝2×12－30×1＝－28，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－30n－[2(n－1)2－30(n－1)]＝4n－32.验证当n＝1时上式成立，所以an＝4n－32.(2)由an＝4n－32，得an－1＝4(n－1)－32(n≥2)，所以an－an－1＝4n－32－[4(n－1)－32]＝4(常数)，所以数列{an}是等差数列．1．(变条件，变结论)将本例的条件“Sn＝2n2－30n”改为“log2(Sn＋1)＝n＋1”，其他条件不变，求an.[解]由log2(Sn＋1)＝n＋1得Sn＋1＝2n＋1，∴Sn＝2n＋1－1，当n≥2时an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－1－2n＋1＝2n.当n＝1时，a1＝S1＝3.经验证不符合上式．∴an＝3，n＝1，2n，n≥2.2．(变条件，变结论)将本例中的条件“Sn＝2n2－30n”变为“正数数列{bn}的前n项和Sn＝14(bn＋1)2”，求{bn}的通项公式．[解]当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1，∴bn＝14(bn＋1)2－14(bn－1＋1)2＝14(b2n－b2n－1＋2bn－2bn－1)．整理得：b2n－b2n－1－2bn－2bn－1＝0，∴(bn＋bn－1)(bn－bn－1－2)＝0，∵bn＋bn－10，∴bn－bn－1＝2(n≥2)．∴{bn}为等差数列．又∵b1＝14(b1＋1)2，∴b1＝1，∴bn＝1＋(n－1)·2＝2n－1.已知数列{an}的前n项和公式Sn，求通项公式an的步骤：(1)当n＝1时，a1＝S1.(2)当n≥2时，根据Sn写出Sn－1，化简an＝Sn－Sn－1.(3)如果a1也满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的通项公式，那么数列{an}的通项公式为an＝Sn－Sn－1；如果a1不满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的通项公式，那么数列{an}的通项公式要分段表示为an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.等差数列前n项和公式的实际应用【例3】某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线．经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时．从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？思路探究：因为每隔20分钟到达一辆车，所以每辆车的工作量构成一个等差数列．工作量的总和若大于欲完成的工作量，则说明24小时内可完成第二道防线工程．[解]从第一辆车投入工作算起，各车工作时间(单位：小时)依次设为a1，a2，…，a25.由题意可知，此数列为等差数列，且a1＝24，公差d＝－13.25辆翻斗车完成的工作量为：a1＋a2＋…＋a25＝25×24＋25×12×－13＝500，而需要完成的工作量为24×20＝480.∵500480，∴在24小时内能构筑成第二道防线．1．本题属于与等差数列前n项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列．2．遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，建立数列模型，具体解决要注意以下两点：(1)抓住实际问题的特征，明确是什么类型的数列模型．(2)深入分析题意，确定是求通项公式an，或是求前n项和Sn，还是求项数n.2．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，此最小值为________米．2000[假设20位同学是1号到20号依次排列，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，则树苗需放在第10或第11号树坑旁，此时两侧的同学所走的路程分别组成以20为首项，20为公差的等差数列，故所有同学往返的总路程为S＝9×20＋9×82×20＋10×20＋10×92×20＝2000(米)．]1．求等差数列前n项和公式的方法称为倒序相加法，在某些数列求和中也可能用到．2．等差数列的两个求和公式中，一共涉及a1，an，Sn，n，d五个量．若已知其中三个量，通过方程思想可求另外两个量．在利用求和公式时，要注意整体思想的应用，注意下面结论的运用：若m＋n＝p＋q，则an＋am＝ap＋aq(n，m，p，q∈N*)；若m＋n＝2p，则an＋am＝2ap.3．由Sn与an的关系求an主要使用an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.当堂达标固双基1．判断正误(1)数列的前n项和就是指从数列的第1项a1起，一直到第n项an所有项的和．()(2)an＝Sn－Sn－1(n≥2)化简后关于n与an的函数式即为数列{an}的通项公式．()(3)在等差数列{an}中，当项数m为偶数2n时，则S偶－S奇＝an＋1.()[答案](1)√(2)×(3)×[提示](1)正确．由前n项和的定义可知正确．(2)错误．例如数列{an}中，Sn＝n2＋2.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1.又因为a1＝S1＝3，所以a1不满足an＝Sn－Sn－1＝2n－1，故命题错误．(3)错误．当项数m为偶数2n时，则S偶－S奇＝nd.2．已知数列{an}的前n项和为Sn＝－n2，则()A．an＝2n＋1B．an＝－2n＋1C．an＝－2n－1D．an＝2n－1B[由an＝Sn－Sn－1(n≥2)得an＝1－2n，当n＝1时，S1＝a1＝－1符合上式．∴an＝－2n＋1.]3．在一个等差数列中，已知a10＝10，则S19＝________．190[S19＝19（a1＋a19）2＝19×2a102＝190.]4．已知等差数列{an}中，a1＝32，d＝－12，Sn＝－15，求n及a12.[解]∵Sn＝n·32＋n（n－1）2·(－12)＝－15，整理得n2－7n－60＝0，解得n＝12或n＝－5(舍去)，a12＝32＋(12－1)×－12＝－4.