2019-2020学年高中数学 第2章 数列 2.2.2 等差数列的前n项和 第一课时 等差数列的前

2．2等差数列2．2.2等差数列的前n项和第一课时等差数列的前n项和自主学习梳理知识课前基础梳理|目标索引|1．理解并掌握等差数列的前n项和公式及其推导过程，并能够应用等差数列的前n项和公式解决简单问题．2．体会等差数列的前n项和公式与二次函数的联系，能应用二次函数的知识解决数列问题．3．熟练掌握等差数列的五个基本量a，d，n，an与Sn之间的联系，能知三求其他.1．等差数列的前n项和公式(1)等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半，即Sn＝___________.(2)等差数列的前n项和与首项公差的关系式Sn＝________________.以上两个公式涉及a1，d，n，an，Sn,5个基本量利用公式可以“知三求二”．na1＋an2na1＋nn－12d2．等差数列前n项和的性质若数列{an}为等差数列，首项为a1，公差为d，其前n项和为Sn，则有如下性质：(1)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也成等差数列，公差为___________.(2)若Sm＝p，Sp＝m(m≠p)，则Sm＋p＝－(m＋p)．(3)若Sm＝Sp(m≠p)，则Sm＋p＝0.n2d(4)若项数为2n，则S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)(an，an＋1为中间两项)，S偶－S奇＝___________，S奇S偶＝anan＋1.(5)若项数为2n－1，则S2n－1＝___________an，S奇－S偶＝an，S奇S偶＝nn－1.nd(2n－1)1．已知等差数列{an}中，a1＝－10，d＝－1，Sn为前n项和，则S11为()A．165B．－112C．－135D．－165解析：S11＝11a1＋11×102d＝－165.答案：D2．在等差数列{an}中S10＝4S5，则a1d等于()A.12B．2C.14D．4解析：由题得10a1＋12×10×9d＝45a1＋12×5×4d，∴10a1＋45d＝20a1＋40d，∴10a1＝5d，∴a1d＝12.答案：A3．Sn为等差数列{an}的前n项和，S2＝S6，a4＝1，则a5＝________.解析：解法一：由题可得2a1＋d＝6a1＋15d，a1＋3d＝1，解得a1＝7，d＝－2，∴a5＝a1＋4d＝－1.解法二：由S2＝S6，得a3＋a4＋a5＋a6＝0，∴a4＋a5＝a3＋a6＝0，∴a5＝－a4＝－1.答案：－1典例精析规律总结课堂互动探究(1)(2017·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为()A．1B．2C．4D．8(2)(2018·江苏盐城月考)设Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S5＝5，S9＝27，则S7＝________.【解析】(1)设{an}的公差为d，则由a4＋a5＝24，S6＝48，得a1＋3d＋a1＋4d＝24，6a1＋6×52d＝48，∴d＝4，故选C.(2)设数列{an}的首项为a1，公差为d，则S5＝5a1＋5×42d＝5，S9＝9a1＋9×82d＝27，解得a1＋2d＝1，a1＋4d＝3，∴a1＝－1，d＝1，∴S7＝7a1＋7×62d＝14.【答案】(1)C(2)14【知识点拨】a1，n，d称为等差数列的三个基本量，an和Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，n，d，an，Sn中可知三求二，一般是通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)求解，这种方法是解决数列问题的基本方法，在具体求解过程中应注意已知与未知的联系及整体思想的运用．在等差数列{an}中，a9＝12a12＋3，则数列{an}的前11项和S11＝()A．24B．48C．66D．132解析：由a9＝12a12＋3，得a1＋8d＝12(a1＋11d)＋3，∴a1＋5d＝6，∴S11＝11a1＋11×102d＝11(a1＋5d)＝11×6＝66.答案：C记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a13＋a14＝20，a15＋a16＝16，则S28＝________.解析：由题可得a1＋12d＋a1＋13d＝20，a1＋14d＋a1＋15d＝16，解得a1＝452，d＝－1，∴S28＝28a1＋28×272d＝252.答案：252(1)(2019·甘肃威武月考)设Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＋a6＋a11＝18，则S11的值为()A．54B．55C．66D．65(2)(2019·湖北长阳月考)等差数列{an}中，共由2n＋1项，其中奇数项之和为4，偶数项之和为3，则n的值是()A．3B．5C．7D．9(3)(2018·甘肃兰州月考)等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若SnTn＝2n3n＋1，则a4＋a6b3＋b7＝()A.23B．149C.914D.32【解析】(1)由a1＋a6＋a11＝18，∴3a6＝18，∴a6＝6，∴S11＝11a6＝66.故选C.(2)由题可知S奇＝4，S偶＝3，∴S奇－S偶＝an＋1＝1，∴S2n＋1＝(2n＋1)an＋1＝7，∴2n＋1＝7，n＝3.故选A.(3)解法一：a4＋a6b3＋b7＝2a52b5＝a5b5＝9a59b5＝S9T9＝2×93×9＋1＝914.解法二：不妨设Sn＝2n2，Tn＝3n2＋n，∴a4＋a6b3＋b7＝a5b5＝S5－S4T5－T4＝2×25－2×163×52＋5－3×42－4＝914.故选C.【答案】(1)C(2)A(3)C【知识点拨】等差数列前n项和Sn＝na1＋an2与等差数列性质“若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq”经常结合起来使用，使这类问题的解决更具灵活性．设An，Bn是等差数列{an}，{bn}的前n项和，若AnBn＝7n＋45n＋3，则使得anbn为整数的正整数n的个数有________．解析：anbn＝2n－1an2n－1bn＝A2n－1B2n－1＝7n＋19n＋1＝7＋12n＋1，∴当n＝1,2,3,5,11时，12n＋1∈Z，∴使anbn为整数的正整数n有5个．答案：5个一个等差数列{an}的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和．解：解法一：设等差数列{an}的公差为d，前n项和Sn，则Sn＝na1＋nn－12d.由已知得10a1＋10×92d＝100，①100a1＋100×992d＝10，②①×10－②整理得d＝－1150.代入①得a1＝1099100，∴S110＝110a1＋110×1092d＝110×1099100＋110×1092－1150＝1101099－109×11100＝－110，故此数列的前110项之和为－110.解法二：设Sn＝an2＋bn，∵S10＝100，S100＝10，∴102a＋10b＝100，1002a＋100b＝10，∴a＝－11100，b＝11110，∴Sn＝－11100n2＋11110n，∴S110＝－11100×1102＋11110×110＝－110.解法三：数列S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100成等差数列．设其公差为D，前10项的和10S10＋10×92·D＝S100＝10，∴D＝－22，∴S110－S100＝S10＋(11－1)D＝100＋10×(－22)＝－120，∴S110＝－120＋S100＝－110.解法四：∵S100－S10＝a11＋a12＋…＋a100＝90a11＋a1002＝90a1＋a1102.又S100－S10＝10－100＝－90，∴a1＋a110＝－2，∴S110＝110a1＋a1102＝－110.即学即练稳操胜券基础知识达标1．(2018·黑龙江哈尔滨月考)记等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝12，S4＝20，则S6＝()A．16B．24C．36D．48解析：S4＝4a1＋4×32d＝20，∴d＝3，∴S6＝6a1＋6×52d＝48.故选D.答案：D2．(2019·河北鸡泽月考)等差数列{an}满足a24＋a27＋2a4a7＝9，则其前10项之和为()A．－9B．－15C．15D．±15解析：由a24＋a27＋2a4a7＝9，得(a4＋a7)2＝9，∴a4＋a7＝3或a4＋a7＝－3，∴S10＝10a1＋a102＝5(a4＋a7)＝±15，故选D.答案：D3．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S3S6＝13，则S6S11＝()A.310B．2777C.27D.611解析：S3S6＝13，∴S6＝3S3，6a1＋6×52d＝33a1＋3×22d，即a1＝2d，∴S6S11＝6a1＋15d11a1＋55d＝2777.故选B.答案：B4．在等差数列{an}中，a5＋a10＝58，a4＋a9＝50，则它的前10项和为________．解析：由题可得(a5＋a10)－(a4＋a9)＝58－50，∴2d＝8，d＝4.∴a4＋a9＝2a1＋11d＝50，∴a1＝3.∴S10＝10a1＋10×92d＝10×3＋45×4＝210.答案：2105．(2018·全国卷Ⅱ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15.(1)求{an}的通项公式；(2)求Sn，并求Sn的最小值．解：(1)设{an}的公差为d，由题意得3a1＋3d＝－15.由a1＝－7得d＝2.所以{an}的通项公式为an＝2n－9.(2)由(1)得Sn＝n2－8n＝(n－4)2－16.所以当n＝4时，Sn取得最小值，最小值为－16.