2019-2020学年高中数学 第2章 数列 2.2.1 等差数列 第二课时 等差数列的性质课件 新

2．2等差数列2．2.1等差数列第二课时等差数列的性质自主学习梳理知识课前基础梳理|目标索引|1．理解等差中项的概念．2．探索发现等差数列的性质，并能熟练应用等差数列的性质解决所学问题.1．等差中项：如果三个数x，A，y组成等差数列，那么A叫做x和y的等差中项；如果A是x和y的等差中项，则A＝___________.2．等差数列的性质若数列{an}是公差为d的等差数列，则(1)d＝0时，数列为___________数列；d0时，数列为__________数列；d0时，数列为___________数列．x＋y2常递增递减(2)d＝an－a1n－1＝___________(m，n，k∈N*)．(3)an＝am＋___________d(m，n∈N*)．(4)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝___________.(5)若m＋n2＝k，则am＋an＝___________(m，n，k∈N*)．(6)数列{an}是有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和都相等，且等于首末两项之和，即a1＋an＝___________＝…＝ai＋1＋an－i＝…(n，i∈N*)．am－akm－k(n－m)ap＋aq2aka2＋an－1(7)数列{λan＋b}(λ，b是常数)是公差为___________的等差数列．(8)下标成等差数列且公差为m的项ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)组成公差为___________的等差数列．(9)若数列{bn}也为等差数列，则{kan＋mbn＋b}(k，m，b为常数)是___________数列．λdmd等差3．等差数列的公差与斜率的关系(1)一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线，斜率k＝fx2－fx1x2－x1(x1≠x2)．当k＝0时，对于常数函数f(x)＝b，上式仍然成立．(2)等差数列{an}的公差本质上是相应直线的斜率．如am，an是等差数列{an}的任意两项，由an＝am＋(n－m)d，类比直线方程的斜率公式得d＝an－amn－m.1．在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6＝()A．－1B．0C．1D．6解析：由题可得2a4＝a2＋a6，∴a6＝2a4－a2＝0.故选B.答案：B2．在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，则a2＋a8＝________.解析：∵{an}是等差数列，∴a3＋a7＝a4＋a6＝a2＋a8＝2a5，∴a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝25，∴a5＝5，a2＋a8＝2a5＝10.答案：103．已知等差数列{an}中，a5＝8，则a2＋a4＋a5＋a9＝________.解析：a2＋a4＋a5＋a9＝4a1＋16d＝4(a1＋4d)＝4a5＝32.答案：32典例精析规律总结课堂互动探究已知b是a，c的等差中项，且lg(a＋1)，lg(b－1)，lg(c－1)成等差数列，同时a＋b＋c＝15，求a，b，c的值．【分析】根据等差中项的定义，列出a，b，c的方程组求解．【解】由题可得2b＝a＋c，2lgb－1＝lga＋1＋lgc－1，a＋b＋c＝15.解得a＝1，b＝5，c＝9或a＝7，b＝5，c＝3.已知数列{an}中，a1＝1，a2＝4,2an＝an－1＋an＋1(n≥2，n∈N*)，当an＝298时，项数n＝()A．100B．99C．96D．101解析：由2an＝an－1＋an＋1(n≥2，n∈N*)，可知数列{an}是等差数列，由a1＝1，a2＝4，得d＝3，∴an＝1＋3(n－1)＝3n－2，∴3n－2＝298，n＝100，故选A.答案：A已知等差数列{an}，(1)若a2＋a6＋a10＝1，求a4＋a8；(2)若a7＋a9＝16，a4＝1，求a12.【分析】可以利用等差数列性质解题，也可以利用等差数列的通项公式解题．【解】(1)解法一：根据等差数列性质，a2＋a10＝a4＋a8＝2a6，由a2＋a6＋a10＝1，得3a6＝1，解得a6＝13，∴a4＋a8＝2a6＝23.解法二：根据等差数列的通项公式，得a2＋a6＋a10＝(a1＋d)＋(a1＋5d)＋(a1＋9d)＝3a1＋15d.由题意知，3a1＋15d＝1，即a1＋5d＝13.∴a4＋a8＝2a1＋10d＝2(a1＋5d)＝23.(2)由a7＋a9＝a4＋a12，得a4＋a12＝16，∴a12＝15.(2018·新疆库尔勒月考)等差数列{an}中，a4和a7是方程2x2＋12x＋10＝0的两个根，则a2＋a9的值是________．解析：由题可知a4＋a7＝－122＝－6，∴a2＋a9＝a4＋a7＝－6.答案：－6即学即练稳操胜券基础知识达标1．等差数列{an}中，下列关系恒成立的是()A．a1＋a8＝a3＋a5B．a2＋a7＝2a5C．a1＋a9＝2a5D．a2－a1＝a8－a9答案：C2．(2018·黑龙江大庆月考)等差数列{an}中，若a2＋a4＋a9＋a11＝32，则a6＋a7＝()A．9B．12C．15D．16解析：a2＋a4＋a9＋a11＝2(a2＋a11)＝32，∴a2＋a11＝16，∴a6＋a7＝a2＋a11＝16，故选D.答案：D3．在数列{xn}中，2xn＝1xn－1＋1xn＋1(n≥2)，且x2＝23，x4＝25，则x10等于()A.112B．16C.211D.15解析：由2xn＝1xn－1＋1xn＋1可知数列1xn为等差数列，∴1x2＝32，1x4＝52，∴2d＝52－32＝1，∴d＝12，∴1x10＝1x2＋8d＝32＋4＝112，∴x10＝211，故选C.答案：C4．在等差数列{an}中，2(a1＋a3＋a5)＋3(a8＋a10)＝36，则a6＝()A．8B．6C．4D．3解析：∵2(a1＋a3＋a5)＋3(a8＋a10)＝36，∴6a3＋6a9＝36，∴a3＋a9＝6，∴2a6＝6，∴a6＝3.故选D.答案：D5．已知数列{an}的通项公式an＝3n＋2，从这个数列中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第2n项，…；按原来的顺序排成新数列{bn}，求数列{bn}的通项公式．解：根据已知条件b1＝a2＝3×2＋2，b2＝a4＝3×4＋2，b3＝a8＝3×8＋2，…bn＝a2n＝3×2n＋2.即数列{bn}的通项公式为bn＝3×2n＋2.