2019-2020学年高中数学 第2章 数列 2.2 等差数列 第2课时 等差数列的性质课件 新人教

2.2等差数列第二课时等差数列的性质登高揽胜拓界展怀课前自主学习学习目标1．能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质．2．能运用等差数列的性质解决有关问题．知识点|等差数列的性质阅读教材P39练习题第4、5题，完成下列问题．‖知识梳理‖等差数列{an}的一些简单性质1．若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有数列结论{c＋an}公差为1_________的等差数列(c为任一常数){c·an}公差为2_________的等差数列(c为任一常数){an＋an＋k}公差为3__________的等差数列(k为常数，k∈N*){pan＋qbn}公差为4_____________的等差数列(p，q为常数)dcd2dpd＋qd′2.等差数列的项的对称性在有穷等差数列中，与首末两项“5_____________”的两项之和等于首项与末项的和，即a1＋an＝6_____________＝7_____________＝….等距离a2＋an－1a3＋an－23．下标性质在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则8_____________.特别的，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则有9_____________.am＋an＝ap＋aq2ap＝am＋an‖思考辨析‖判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若数列{an}为等差数列，则an＋1＝an－1＋2d，n1，且n∈N*.()(2)若{an}为等差数列，且m＋n＝p(m，n，p∈N*)，则am＋an＝ap.()(3)取出一个等差数列的所有偶数项构成的数列为等差数列且其公差为原数列公差的两倍．()答案：(1)√(2)×(3)√‖小试身手‖1．在等差数列{an}中，a2＝5，a6＝33，则a3＋a5等于()A．36B．37C．38D．39解析：选Ca3＋a5＝a2＋a6＝5＋33＝38.故选C.2．设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37等于()A．0B．37C．100D．－37解析：选C∵{an}，{bn}都是等差数列，∴{an＋bn}也是等差数列．又∵a1＋b1＝100，a2＋b2＝100，∴an＋bn＝100，故a37＋b37＝100.故选C.3．若{an}是等差数列，且a2－a4＋a8－a12＋a14＝5，则a1＋a2＋…＋a15＝_____________.解析：∵{an}是等差数列，∴a2＋a14＝a4＋a12＝2a8，∴a8＝5，∴a1＋a2＋…＋a15＝15a8＝15×5＝75.答案：75剖析题型总结归纳课堂互动探究题型一巧用“对称”解等差数列问题一题多解【例1】已知四个数成等差数列，它们的和为26，中间两项的积为40，求这四个数．[解]解法一：设这四个数分别为a，b，c，d，根据题意，得b－a＝c－b＝d－c，a＋b＋c＋d＝26，bc＝40，解得a＝2，b＝5，c＝8，d＝11或a＝11，b＝8，c＝5，d＝2.∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.解法二：设此等差数列的首项为a1，公差为d，根据题意，得a1＋a1＋d＋a1＋2d＋a1＋3d＝26，a1＋da1＋2d＝40，化简，得4a1＋6d＝26，a21＋3a1d＋2d2＝40，解得a1＝2，d＝3或a1＝11，d＝－3，∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.解法三：设这四个数分别为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，根据题意，得a－3d＋a－d＋a＋d＋a＋3d＝26，a－da＋d＝40，化简，得4a＝26，a2－d2＝40，解得a＝132，d＝±32.∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.[方法总结]对于项数有限的等差数列，用“对称设项”的方法来设项能达到化多为少的目的(特别是在已知其和时)，三个数的“对称设项”是x－d，x，x＋d；五个数是x－2d，x－d，x，x＋d，x＋2d；四个数则是x－3d，x－d，x＋d，x＋3d.1．已知五个数成等差数列，它们的和为5，平方和为859，求这5个数．解：设第三个数为a，公差为d，则这5个数分别为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d.由已知有a－2d＋a－d＋a＋a＋d＋a＋2d＝5，a－2d2＋a－d2＋a2＋a＋d2＋a＋2d2＝859，整理得5a＝5，5a2＋10d2＝859，解得a＝1，d＝±23.d＝23时，这5个分数分别是－13，13，1，53，73；d＝－23时，这5个数分别是73，53，1，13，－13.综上，这5个数分别是－13，13，1，53，73或73，53，1，13，－13.题型二等差数列的性质【例2】(1)已知{an}是等差数列，且a1－a4＋a8－a12＋a15＝2，求a3＋a13的值．(2)已知在等差数列{an}中，若a49＝80，a59＝100，求a79.[解](1)∵{an}是等差数列，∴a1＋a15＝a4＋a12＝a3＋a13＝2a8.又∵a1－a4＋a8－a12＋a15＝2，∴a8＝2，即a3＋a13＝2a8＝4.(2)数列{an}是等差数列，设公差为d.由a59＝a49＋10d，即10d＝100－80，得d＝2.又∵a79＝a59＋20d，∴a79＝100＋20×2＝140.[方法总结]1．等差数列基本运算的方法对于等差数列的基本运算问题，一般有两种方法，一是建立基本量a1和d的方程，通过解方程组求解；一是利用等差数列的基本性质求解．2．等差数列的常用性质性质1：通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N＋)．性质2：若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则ak＋al＝am＋an.特别地，若m＋n＝2t，则am＋an＝2at(t∈N＋)．性质3：若{an}是等差数列，则ak，ak＋m，ak＋2m，…，(k，m∈N＋)组成公差为md的等差数列.2．在公差为d的等差数列{an}中，(1)已知a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13；(2)已知a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求d.解：(1)[解法一：通项公式法]化成a1和d的方程如下：(a1＋d)＋(a1＋2d)＋(a1＋22d)＋(a1＋23d)＝48，即4(a1＋12d)＝48.∴4a13＝48.∴a13＝12.[解法二：性质法]根据已知条件a2＋a3＋a23＋a24＝48，及a2＋a24＝a3＋a23＝2a13，得4a13＝48，∴a13＝12.(2)[解法一：通项公式法]化成a1和d的方程如下：a1＋d＋a1＋2d＋a1＋3d＋a1＋4d＝34，a1＋d·a1＋4d＝52，解得a1＝1，d＝3或a1＝16，d＝－3.∴d＝3或－3.[解法二：性质法]由a2＋a3＋a4＋a5＝34，及a3＋a4＝a2＋a5得2(a2＋a5)＝34，即a2＋a5＝17.所以a2·a5＝52，a2＋a5＝17，解得a2＝4，a5＝13或a2＝13，a5＝4.∴d＝a5－a25－2＝13－43＝3或d＝a5－a25－2＝4－133＝－3.题型三等差数列的实际应用【例3】某公司经销一种数码产品，第1年可获利200万元．从第2年起，由于市场竞争等方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？[解]设从第1年起，第n年的利润为an，则由题意知a1＝200，an－an－1＝－20(n≥2，n∈N＋)．所以每年的利润an可构成一个等差数列{an}，且公差d＝－20.从而an＝a1＋(n－1)d＝220－20n.若an0，则该公司经销这一产品将亏损，由an＝220－20n0，得n11，即从第12年起，该公司经销此产品将亏损.[方法总结]解决实际应用问题，首先要认真领会题意，根据题目条件，寻找有用的信息．若一组数按次序“定量”增加或减少时，则这组数成等差数列．合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键，在解题过程中，一定要分清首项、项数等关键的问题．3．梯子的最高一级宽33cm，最低一级宽110cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度．解：用数列{an}表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列，由题意，得a1＝33，a12＝110，n＝12.由通项公式，得a12＝a1＋(12－1)d，即110＝33＋11d，解得d＝7.因此a2＝40，a3＝47，a4＝54，a5＝61，a6＝68，a7＝75，a8＝82，a9＝89，a10＝96，a11＝103.知识归纳自我测评堂内归纳提升1．学会2个设项技巧等差数列的设项技巧：(1)若三项成等差数列，则可设为a－d，a，a＋d.(2)若四项成等差数列，则可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d.2．掌握3个常用性质要重点掌握等差数列的如下性质：(1)在等差数列{an}中，当m≠n时，d＝am－anm－n为公差公式，利用这个公式很容易求出公差，还可变形为am＝an＋(m－n)d.(2)等差数列{an}中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列．(3)等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则an＋am＝ap＋aq(n，m，p，q∈N*)，特别地，若m＋n＝2p，则an＋am＝2ap.「自测检评」1．在等差数列{an}中，a1＝2，a3＋a5＝10，则a7＝()A．5B．8C．10D．14解析：选B由等差数列的性质得a1＋a7＝a3＋a5，因为a1＝2，a3＋a5＝10，所以a7＝8，故选B.2．已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m为()A．12B．8C．6D．4解析：选B由等差数列性质a3＋a6＋a10＋a13＝(a3＋a13)＋(a6＋a10)＝2a8＋2a8＝4a8＝32，∴a8＝8，又d≠0，∴m＝8.故选B.3．已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有()A．a1＋a1010B．a2＋a1010C．a3＋a99＝0D．a51＝51解析：选C根据性质得，a1＋a101＝a2＋a100＝…＝a50＋a52＝2a51，由于a1＋a2＋…＋a101＝0，所以a51＝0，又因为a3＋a99＝2a51＝0，故选C.4．已知{an}，{bn}是两个等差数列，其中a1＝3，b1＝－3，且a20－b20＝6，那么a10－b10的值为()A．－6B．6C．0D．10解析：选B由于{an}，{bn}都是等差数列，所以{an－bn}也是等差数列，而a1－b1＝6，a20－b20＝6，所以{an－bn}是常数列，故a10－b10＝6.故选B.5．四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数．解：设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)，依题意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8，即a＝1，a2－9d2＝－8，∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1.又四个数成递增等差数列，所以d0，∴d＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4.