2019-2020学年高中数学 第2章 数列 2.1 数列的概念与简单表示法（第1课时）数列的概念及

第二章数列2.1数列的概念与简单表示法第1课时数列的概念及简单表示法学习目标核心素养1.理解数列的概念(重点).2.掌握数列的通项公式及应用(重点).3.能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式(难点、易错点)．1.通过数列概念及数列通项的学习，体现了数学抽象及逻辑推理素养.2.借助数列通项公式的应用，培养学生的逻辑推理及数学运算素养.自主预习探新知每一个数第一位{an}1．数列的概念及一般形式思考：(1)数列的项和它的项数是否相同？(2)数列1，2，3，4，5，数列5，3，2，4，1与{1，2，3，4，5}有什么区别？[提示](1)数列的项与它的项数是不同的概念．数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，而项数是指该数列中的项的总数．(2)数列1，2，3，4，5和数列5，3，2，4，1为两个不同的数列，因为二者的元素顺序不同，而集合{1，2，3，4，5}与这两个数列也不相同，一方面形式上不一致，另一方面，集合中的元素具有无序性．2．数列的分类类别含义有穷数列项数____的数列按项的个数无穷数列项数____的数列有限无限递增数列从第2项起，每一项都____它的前一项的数列递减数列从第2项起，每一项都____它的前一项的数列常数列各项____的数列按项的变化趋势摆动数列从第2项起，有些项____它的前一项，有些项小于它的前一项的数列大于小于相等大于3.数列的通项公式如果数列{an}的第n项与______之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．序号n4．数列与函数的关系从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，关系如下表：定义域____________(或它的有限子集{1，2，3，…，n})解析式数列的通项公式值域自变量________________时对应的一列函数值构成表示方法(1)通项公式(解析法)；(2)____法；(3)____法正整数集N*从小到大依次取值列表图象思考：数列的通项公式an＝f(n)与函数解析式y＝f(x)有什么异同？[提示]如图，数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})为定义域的函数，an＝f(n)当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．不同之处是定义域，数列中的n必须是从1开始且连续的正整数，函数的定义域可以是任意非空数集．1．数列3，4，5，6，…的一个通项公式为()A．an＝nB．an＝n＋1C．an＝n＋2D．an＝2nC[经验证可知，它的一个通项公式为an＝n＋2.]2．600是数列1×2，2×3，3×4，4×5，…的第________项．24[an＝n(n＋1)＝600＝24×25，所以n＝24.]3．数列{an}满足an＝log2(n2＋3)－2，则log23是这个数列的第________项．3[令an＝log2(n2＋3)－2＝log23，解得n＝3.]4．数列1，2,7，10，13，…中的第26项为________．219[因为a1＝1＝1，a2＝2＝4，a3＝7，a4＝10，a5＝13，所以an＝3n－2，所以a26＝3×26－2＝76＝219.]合作探究提素养数列的概念及分类【例1】已知下列数列：①2011，2012，2013，2014，2015，2016；②1，12，14，…，12n－1，…；③1，－23，35，…，（－1）n－1·n2n－1，…；④1，0，－1，…，sinnπ2，…；⑤2，4，8，16，32，…；⑥－1，－1，－1，－1.其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是________，摆动数列是________(填序号)．①⑥②③④⑤①⑤②⑥③④[①为有穷数列且为递增数列；②为无穷、递减数列；③为无穷、摆动数列；④是摆动数列，是无穷数列，也是周期为4的周期数列；⑤为递增数列，也是无穷数列；⑥为有穷数列，也是常数列．]1．与集合中元素的性质相比较，数列中的项的性质具有以下特点：(1)确定性：一个数是或不是某一数列中的项是确定的，集合中的元素也具有确定性；(2)可重复性：数列中的数可以重复，而集合中的元素不能重复出现(即互异性)；(3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列顺序有关，而集合中的元素与顺序无关(即无序性)；(4)数列中的每一项都是数，而集合中的元素还可以代表除数字外的其他事物．2．判断数列是哪一种类型的数列时要紧扣概念及数列的特点．对于递增、递减、摆动还是常数列，要从项的变化趋势来分析；而有穷还是无穷数列，则看项的个数有限还是无限．1．给出下列数列：①2010～2017年某市普通高中生人数(单位：万人)构成数列82，93，105，118，132，147，163，180；②无穷多个3构成数列3，3，3，3，…；③－2的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…构成数列－2，4，－8，16，－32，….其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，常数列是________，摆动数列是________．①②③①②③[①为有穷数列；②③是无穷数列，同时①也是递增数列；②为常数列；③为摆动数列．]由数列的前几项求通项公式【例2】写出数列的一个通项公式，使它的前4项是下列各数：(1)－1，12，－13，14；(2)3，3，15，21；(3)0.9，0.99，0.999，0.9999；(4)3，5，3，5.思路探究：①求数列的通项公式时，是否应考虑将个别项或各项进行适当的变形？②数列的通项公式唯一吗？[解](1)任何一个整数都可以看成一个分数，所以此数列可以看做是自然数列的倒数，正负相间用(－1)的多少次幂进行调整，其中一个通项公式为an＝(－1)n·1n.(2)数列可化为3，9，15，21，即3×1，3×3，3×5，3×7，…，每个根号里面可分解成两数之积，前一个因数为常数3，后一个因数为2n－1，故原数列的一个通项公式为an＝3（2n－1）＝6n－3.(3)原数列可变形为1－110，1－1102，1－1103，1－1104，…，故数列的一个通项公式为an＝1－110n.(4)数列给出前4项，其中奇数项为3，偶数项为5，所以通项公式的一种表示方法为an＝3（n为奇数）5（n为偶数）.此数列还可以这样考虑，3与5的算术平均数为3＋52＝4，4＋1＝5，4－1＝3，因此数列的一个通项公式又可以写为an＝4＋(－1)n.1．据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：(1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征；(3)拆项后的特征；(4)各项符号特征等，并对此进行归纳、联想．2．观察、分析数列中各项的特点是最重要的，观察出项与序号之间的关系、规律，利用我们熟知的一些基本数列(如自然数列、奇偶数列等)转换而使问题得到解决，对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整．2．写出下列数列的一个通项公式：(1)0，3，8，15，24，…；(2)1，－3，5，－7，9，…；(3)112，223，334，445，…；(4)1，11，111，1111，….[解](1)观察数列中的数，可以看到0＝1－1，3＝4－1，8＝9－1，15＝16－1，24＝25－1，…，所以它的一个通项公式是an＝n2－1(n∈N*)．(2)数列各项的绝对值为1，3，5，7，9，…，是连续的正奇数，并且数列的奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为an＝(－1)n＋1(2n－1)(n∈N*)．(3)此数列的整数部分1，2，3，4，…恰好是序号n，分数部分与序号n的关系为nn＋1，故所求的数列的一个通项公式为an＝n＋nn＋1＝n2＋2nn＋1(n∈N*)．(4)原数列的各项可变为19×9，19×99，19×999，19×9999，…，易知数列9，99，999，9999，…的一个通项公式为an＝10n－1，所以原数列的一个通项公式为an＝19(10n－1)(n∈N*)．数列通项公式的应用[探究问题]1．数列12，34，78，1516，3132，…的通项公式是什么？该数列的第7项是什么？255256是否为该数列中的一项？为什么？[提示]由数列各项的特点可归纳出其通项公式为an＝2n－12n，当n＝7时，a7＝27－127＝127128，若255256为该数列中的一项，则2n－12n＝255256，解得n＝8，所以255256是该数列中的第8项．2．已知数列{an}的通项公式为an＝－n2＋2n＋1，该数列的图象有何特点？试利用图象说明该数列的单调性及所有的正数项．[提示]由数列与函数的关系可知，数列{an}的图象是分布在二次函数y＝－x2＋2x＋1图象上的离散的点，如图所示，从图象上可以看出该数列是一个递减数列，且前两项为正数项，从第3项往后各项为负数项．【例3】已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n.(1)写出此数列的第4项和第6项；(2)问－49是否是该数列的一项？如果是，应是哪一项？68是否是该数列的一项呢？思路探究：(1)将n＝4，n＝6分别代入an求出数值即可；(2)由3n2－28n＝－49和3n2－28n＝68，求得n是否为正整数并判断．[解](1)a4＝3×42－28×4＝－64，a6＝3×62－28×6＝－60.(2)由3n2－28n＝－49解得n＝7或n＝73(舍去)，所以－49是该数列的第7项；由3n2－28n＝68解得n＝－2或n＝343，均不合题意，所以68不是该数列的项．1．(变结论)若本例中的条件不变，(1)试写出该数列的第3项和第8项；(2)问20是不是该数列的一项？若是，应是哪一项？[解](1)因为an＝3n2－28n，所以a3＝3×32－28×3＝－57，a8＝3×82－28×8＝－32.(2)令3n2－28n＝20，解得n＝10或n＝－23(舍去)，所以20是该数列的第10项．2．(变条件，变结论)若将例题中的“an＝3n2－28n”变为“an＝n2＋2n－5”，试判断数列{an}的单调性．[解]∵an＝n2＋2n－5，∴an＋1－an＝(n＋1)2＋2(n＋1)－5－(n2＋2n－5)＝n2＋2n＋1＋2n＋2－5－n2－2n＋5＝2n＋3.∵n∈N*，∴2n＋30，∴an＋1an.∴数列{an}是递增数列．1．由通项公式写出数列的指定项，主要是对n进行取值，然后代入通项公式，相当于函数中，已知函数解析式和自变量的值求函数值．2．判断一个数是否为该数列中的项，其方法是可由通项公式等于这个数求方程的根，根据方程有无正整数根便可确定这个数是否为数列中的项．3．在用函数的有关知识解决数列问题时，要注意它的定义域是N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n})这一约束条件．1．并非所有的数列都能写出它的通项公式．例如，π的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列3，3.1，3.14，3.141，…，它没有通项公式．根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征．并对此进行联想、转化、归纳．2．如果一个数列有通项公式，则它的通项公式可以有多种形式.当堂达标固双基1．判断正误(1)数列1，1，1，…是无穷数列．()(2)数列1，2，3，4和数列1，2，4，3是同一个数列．()(3)有些数列没有通项公式．()[答案](1)√(2)×(3)√[提示](1)正确．每项都为1的常数列，有无穷多项．(2)错误．虽然都是由1，2，3，4四个数构成的数列，但是两个数列中后两个数顺序不同，不是同一个数列．(3)正确．某些数列的第n项an和n之间可以建立一个函数关系式，这个数列就有通项公式，否则，不能建立一个函数关系式，这个数列就没有通项公式．2．在数列1，1，2，3，5，8，x，21，34，55中，x等于()A．11B．1