2019-2020学年高中数学 第2章 数列 2.1 数列的概念与简单表示法 第1课时 数列的概念与

2.1数列的概念与简单表示法第一课时数列的概念与简单表示法登高揽胜拓界展怀课前自主学习学习目标1．理解数列及其有关概念．2．理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项．3．对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式．阅读教材P28～P29，完成下列问题．知识点一|数列的概念‖知识梳理‖数列的概念(1)定义：按照一定1___________排列的一列数称为数列．(2)项：数列中的2_____________叫做这个数列的项．a1称为数列{an}的第1项(或称为3_____________)，a2称为第2项，…，an称为第n项．(3)数列的表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}．顺序每一个数首项‖思考辨析‖1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)数列1,2,3,4和数列1,2,4,3是同一数列．()(2)同一个数在一个数列中只能出现一次．()答案：(1)×(2)×知识点二|数列的分类数列的分类分类标准名称含义有穷数列项数4_______的数列按项的个数无穷数列项数5_________的数列递增数列从第6_______项起，每一项都7_________它的前一项的数列按项的变化趋势递减数列从第8________项起，每一项都9_________它的前一项的数列有限无限2大于2小于分类标准名称含义常数列10_____________的数列按项的变化趋势摆动数列从第11______项起，有些项12_________它的前一项，有些项13__________它的前一项的数列各项相等2大于小于‖思考辨析‖2．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)数列1,2,3,4，…，2n是无穷数列．()(2)由所有的自然数构成的数列均为递增数列．()答案：(1)×(2)×知识点三|数列的通项公式如果数列{an}的第n项与14_____________之间的关系可以用15_____________来表示，那么这个16_____________叫做这个数列的通项公式．序号n一个公式公式‖小试身手‖已知下列数列的前4项，你能写出它们的一个通项公式吗？(1)0,3,8,15，…，则an＝_____________.(2)－12，16，－112，120，…，则an＝_____________.(3)数列的通项公式为an＝3n＋1，n为奇数，2n－2，n为偶数，则a2·a3等于_____________．答案：(1)an＝n2－1(2)－1nnn＋1(3)20剖析题型总结归纳课堂互动探究题型一数列的概念与分类【例1】下列数列中，既是无穷数列又是递增数列的是()A．1，13，132，133，…B．sinπ13，sin2π13，sin3π13，sin4π13，…C．－1，－12，－13，－14，…D．1,2,3,4，…，30[解析]数列1，13，132，133，…是无穷数列，但它不是递增数列，而是递减数列；数列sinπ13，sin2π13，sin3π13，sin4π13，…是无穷数列，但它既不是递增数列，又不是递减数列；数列－1，－12，－13，－14，…是无穷数列，也是递增数列；数列1,2,3,4，…，30是递增数列，但不是无穷数列．[答案]C[方法总结]1．有穷数列与无穷数列的判断判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需考察数列是有限项还是无限项．若数列含有限项，则是有穷数列，否则为无穷数列．2．数列单调性的判断判断数列的单调性，则需要从第2项起，观察每一项与它的前一项的大小关系，若满足anan＋1，则是递增数列；若满足anan＋1，则是递减数列；若满足an＝an＋1，则是常数列；若an与an＋1的大小不确定时，则是摆动数列.1．下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是()A．1，12，13，14，…B．sinπ7，sin2π7，sin3π7，…C．－1，－12，－14，－18，…D．1，2，3，…，21解析：选CD是有穷数列，A是递减数列，B是摆动数列，故选C.2．给出以下数列：①1，－1,1，－1，…；②2,4,6,8，…，1000；③8,8,8,8，…；④0.8,0.82,0.83,0.84，…，0.810.其中，有穷数列为_____________；无穷数列为_____________；递增数列为_____________；递减数列为_____________；摆动数列为_____________；常数列为_____________．(填序号)解析：有穷数列为②④；无穷数列为①③；递增数列为②；递减数列为④；摆动数列为①；常数列为③.答案：②④①③②④①③题型二数列的通项公式多维探究数列的通项公式，常见的角度有：1．根据通项公式写数列的项．2．观察法求数列的通项公式．3．数列通项公式的简单应用．角度1根据通项公式写数列的项【例2】根据下面数列{an}的通项公式，写出它的前5项：(1)an＝nn＋1；(2)an＝(－1)nn.[解](1)a1＝12，a2＝23，a3＝34，a4＝45，a5＝56.(2)a1＝－1，a2＝2，a3＝－3，a4＝4，a5＝－5.[方法总结]利用数列的通项公式求某项的方法数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项．角度2观察法求数列的通项公式【例3】根据数列的前几项，写出下面各数列的一个通项公式．(1)－3,0,3,6,9，…；(2)3,5,9,17,33，…；(3)2,0,2,0,2,0，…；(4)12，14，－58，1316，－2932，6164，….[解](1)a1＝－3＋0×3，a2＝－3＋1×3，a3＝－3＋2×3，a4＝－3＋3×3，…，∴an＝－3＋(n－1)×3＝3n－6(n∈N*)．(2)a1＝2＋1，a2＝4＋1＝22＋1，a3＝8＋1＝23＋1，a4＝16＋1＝24＋1，…，∴an＝2n＋1(n∈N*)．(3)a1＝1＋1，a2＝1－1，a3＝1＋1，a4＝1－1，…，∴an＝1＋(－1)n－1(n∈N*)．(4)a1＝－2－32，a2＝22－322，a3＝－23－323，a4＝24－324，…，∴an＝(－1)n2n－32n(n∈N*).[方法总结]根据数列的前几项求通项公式的思路(1)统一项的结构，如都化成分数，根式等．(2)分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数关系式．(3)对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(－1)n处理符号．(4)对于周期出现的数列，可考虑拆成几个简单数列和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等．角度3数列通项公式的简单应用【例4】已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n.(1)写出数列的第4项和第6项；(2)－49和68是该数列的项吗？若是，是第几项？若不是，请说明理由．[解](1)∵an＝3n2－28n，∴a4＝3×42－28×4＝－64，a6＝3×62－28×6＝－60.(2)令3n2－28n＝－49，即3n2－28n＋49＝0，解得n＝7，或n＝73(舍)．则－49是该数列的第7项，即a7＝－49.令3n2－28n＝68，即3n2－28n－68＝0，解得n＝－2或n＝343.∵－2∉N＋，343∉N＋，∴68不是该数列的项.[方法总结]判断某数值是否为该数列的项的方法先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程．若方程解为正整数，则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项.3．已知数列12，23，34，…，nn＋1，则0.96是该数列的()A．第20项B．第22项C．第24项D．第26项解析：选C由nn＋1＝0.96，解得n＝24.故选C.4．数列－1,1，－2,2，－3,3，…的一个通项公式为_____________．解析：注意到数列的奇数项与偶数项的特点即可得an＝－n＋12，n＝2k－1k∈N*，n2，n＝2kk∈N*.答案：an＝－n＋12，n＝2k－1k∈N*，n2，n＝2kk∈N*5．已知数列{an}的通项公式an＝19－2n，则使an0成立的最大正整数n的值为_____________．解析：由an＝19－2n0，得n192.∵n∈N*，∴n≤9.答案：9知识归纳自我测评堂内归纳提升1．把握根据数列的前n项求通项公式的4个特征(1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征；(3)拆项后的特征；(4)各项的符号特征和绝对值特征，并对此进行联想、转化、归纳．2．辨明2个易错点(1)并非所有的数列都能写出它的通项公式．例如，π的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列3,3.1,3.14,3.141，…，它没有通项公式．(2)如果一个数列有通项公式，则它的通项公式可以有多种形式．3．熟记7个基本数列的通项公式(1)数列－1,1，－1,1，…的通项公式是an＝(－1)n.(2)数列1,2,3,4，…的通项公式是an＝n.(3)数列1,3,5,7，…的通项公式是an＝2n－1.(4)数列2,4,6,8，…的通项公式是an＝2n.(5)数列1,2,4,8，…的通项公式是an＝2n－1.(6)数列1,4,9,16，…的通项公式是an＝n2.(7)数列1，12，13，14，…的通项公式是an＝1n.「自测检评」1．下列叙述正确的是()A．数列1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列B．数列0,1,2,3，…可以表示为{n}C．数列0,1,0,1，…是常数列D．数列nn＋1是递增数列解析：选DD中数列为12，23，34，45，…，显然递增，故选D.2．数列－1,3，－7,15，…的一个通项公式是()A．an＝(－1)n·(2n－1)B．an＝(－1)n·(2n－1)C．an＝(－1)n＋1·(2n－1)D．an＝(－1)n＋1·(2n－1)解析：选A数列各项正、负交替，故可用(－1)n来调节，又1＝21－1,3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，…，所以通项公式为an＝(－1)n·(2n－1)．故选A.3．数列0，13，12，35，23，…的通项公式为()A．an＝n－2nB．an＝n－1nC．an＝n－1n＋1D．an＝n－2n＋2解析：选C原数列可变形为02，13，24，35，46，…，故an＝n－1n＋1.故选C.4．若数列{an}的通项满足ann＝n－2，那么15是这个数列的第_____________项．解析：由ann＝n－2可知，an＝n2－2n，令n2－2n＝15，得n＝5或n＝－3(舍去)．答案：55．已知数列{an}的通项公式为an＝－n2＋n＋110.(1)20是不是{an}中的一项？(2)当n取何值时，an＝0.解：(1)令an＝－n2＋n＋110＝20，即n2－n－90＝0，∴(n＋9)(n－10)＝0，∴n＝10或－9(舍)．∴20是数列{an}中的一项，且为数列{an}中的第10项．(2)令an＝－n2＋n＋110＝0，即n2－n－110＝0，∴(n－11)(n＋10)＝0，∴n＝11或n＝－10(舍)，∴当n＝11时，an＝0.