2019-2020学年高中数学 第2章 平面向量 6 平面向量数量积的坐标表示课件 北师大版必修4

第二章平面向量§6平面向量数量积的坐标表示自主学习梳理知识课前基础梳理|学习目标|1．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．2．能运用向量数量积的坐标表达式表示两个向量的夹角，会判断两个向量的垂直关系.1．平面向量数量积的坐标表示两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝____________.x1x2＋y1y2练一练(1)已知a＝(2,3)，b＝(－1，－2)，c＝(2,1)，则(a·b)·c＝________，a·(b·c)＝________.解析：因为a·b＝2×(－1)＋3×(－2)＝－8，所以(a·b)·c＝－8×(2,1)＝(－16，－8)．因为b·c＝－1×2－2×1＝－4，所以a·(b·c)＝(2,3)×(－4)＝(－8，－12)．答案：(－16，－8)(－8，－12)2．平面内两点间距离公式如果表示向量a的__________的起点和终点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，那么|a|＝__________________.这是平面内两点间的距离公式．x2－x12＋y2－y12有向线段练一练(2)平面直角坐标系xOy中，O是原点(如图)．已知点A(16,12)，B(－5,15)．求|OA→|，|AB→|.解：∵A(16,12)、B(－5,15)，∴OA→＝(16,12)，OB→＝(－5,15)，得AB→＝(－5－16,15－12)＝(－21,3)，所以|OA→|＝162＋122＝20，|AB→|＝－212＋32＝152.3．向量垂直的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔____________.x1x2＋y1y2＝0练一练(3)已知OA→＝(－2,1)，OB→＝(0,2)，且AC→∥OB→，BC→⊥AB→，则点C的坐标是()A．(2,6)B．(－2，－6)C．(2，－6)D．(－2,6)解析：设C的坐标为(x，y)，则AC→＝(x＋2，y－1)，BC→＝(x，y－2)，AB→＝(2,1)，∵AC→∥OB→，BC→⊥AB→，∴x＋2＝0，2x＋y－2＝0，解得x＝－2，y＝6.故选D．答案：D4．向量夹角的坐标表示若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a、b的夹角为θ，则有cosθ＝__________________.x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22练一练(4)设向量a与b的夹角为θ，且a＝(3,3)，2b－a＝(－1,1)，则cosθ的值为________．解析：∵2b－a＝(－1,1)，∴2b＝(－1,1)＋a＝(2,4)，∴b＝(1,2)．∴a·b＝(3,3)·(1,2)＝9.|a|＝32，|b|＝5，∴cosθ＝a·b|a|·|b|＝932·5＝31010.答案：310105．方向向量给定斜率为k的直线l，则向量m＝(1，k)与直线l共线，我们把与直线l共线的非零向量m称为直线l的__________．方向向量利用数量积求两向量夹角的步骤是什么？答：(1)利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积．(2)利用|a|＝x2＋y2计算出这两个向量的模．(3)由公式cosθ＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22直接求出cosθ的值．(4)在0≤θ≤π内，由cosθ的值求角θ.若cosθ＞0，则θ是锐角或零角；若cosθ＜0，则θ是钝角或平角，若cosθ＝0，则θ是直角．典例精析规律总结课堂互动探究1向量数量积的坐标运算类型已知向量a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10.(1)求向量a的坐标；(2)若c＝(2，－1)，求(b·c)·a.【解】(1)∵a与b同向，又b＝(1,2)，∴a＝λb＝(λ，2λ)．又∵a·b＝10，∴1·λ＋2×2λ＝10，解得λ＝2＞0.∴λ＝2符合a与b同向条件，∴a＝(2,4)．(2)∵b·c＝1×2＋2×(－1)＝0，∴(b·c)·a＝0.【方法总结】1.通过向量的坐标表示实现向量问题代数化，应注意与方程、函数等知识的联系．2．向量问题的处理有两种思路：一种是纯向量式，另一种是坐标式，两者互相补充．已知向量a＝(1,3)，b＝(2,5)，c＝(2,1)．求：(1)a·b；(2)(a＋b)·(2a－b)；(3)(a·b)·c，a·(b·c)．解：(1)a·b＝(1,3)·(2,5)＝1×2＋3×5＝17.(2)∵a＋b＝(1,3)＋(2,5)＝(3,8)，2a－b＝2(1,3)－(2,5)＝(2,6)－(2,5)＝(0,1)，∴(a＋b)·(2a－b)＝(3,8)·(0,1)＝3×0＋8×1＝8.(3)(a·b)·c＝17c＝17(2,1)＝(34,17)，a·(b·c)＝(1,3)·(2×2＋5×1)＝9(1,3)＝(9,27).2向量的夹角及模类型已知a＝(1,1)，b＝(0，－2)，当k为何值时，(1)ka－b与a＋b共线；(2)ka－b与a＋b的夹角为120°；(3)ka－b的模等于10.【解】∵a＝(1,1)，b＝(0，－2)，ka－b＝k(1,1)－(0，－2)＝(k，k＋2)．a＋b＝(1,1)＋(0，－2)＝(1，－1)．(1)∵ka－b与a＋b共线，∴k＋2－(－k)＝0.∴k＝－1.(2)∵|ka－b|＝k2＋k＋22，|a＋b|＝12＋－12＝2.∵(ka－b)·(a＋b)＝(k，k＋2)·(1，－1)＝k－k－2＝－2，而ka－b与a＋b的夹角为120°，∴cos120°＝ka－b·a＋b|ka－b||a＋b|.即－12＝－22·k2＋k＋22.化简，整理得k2＋2k－2＝0，解之得k＝－1±3.(3)|ka－b|＝10⇒k2＋k＋22＝10，化简，得k2＋2k－3＝0，解得k＝1或－3，即当k＝1或－3时，ka－b的模等于10.【方法总结】此类题目在解题时注意转化，对特殊位置关系诸如同向、反向、直角、钝角等要特别注意分析．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝5，若(a＋b)·c＝52，则a与c的夹角为()A．30°B．60°C．120°D．150°解析：∵a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，∴b＝－2a，|a|＝5，∴(a＋b)·c＝(a－2a)·c＝－a·c＝52，∴a·c＝－52，∴cosθ＝a·c|a|·|c|＝－525·5＝－12，∴θ＝120°.答案：C3向量垂直条件的应用类型在△ABC中，设AB→＝(2,3)，AC→＝(1，k)，且△ABC是直角三角形，求k的值．【解】若∠A＝90°，则AB→⊥AC→，于是2×1＋3×k＝0，得k＝－23；若∠B＝90°，则AB→⊥BC→，又BC→＝AC→－AB→＝(－1，k－3)，故2×(－1)＋3(k－3)＝0，得k＝113；若∠C＝90°，则AC→⊥BC→，故1×(－1)＋k(k－3)＝0，得k＝3±132.故所求k的值为－23或113或3±132.【方法总结】应注意向量垂直条件的坐标形式有两方面的应用：一是知道向量垂直推出等量关系；二是通过计算证明垂直关系．(2018·北京卷)设向量a＝(1,0)，b＝(－1，m)，若a⊥(ma－b)，则m＝________.解析：∵a＝(1,0)，b＝(－1，m)，∴ma－b＝(m,0)－(－1，m)＝(m＋1，－m)，由a⊥(ma－b)得a·(ma－b)＝0，∴m＋1＝0，即m＝－1.答案：－1已知a＝(1，－2)，b＝(1，λ)，且a与b的夹角θ为锐角，则实数λ的取值范围是()A．(－∞，－2)∪－2，12B．12，＋∞C．－2，23∪23，＋∞D．－∞，12【错解】∵a与b的夹角θ为锐角，∴cosθ0，即a·b＝1－2λ0，解得λ12.答案选D．【错因分析】错解是由于思考欠全面，由不等价转化而造成的．如果a与b同向，即a与b的夹角θ＝0°时，cosθ＝10，此时λ＝－2，显然是不合理的．【正解】∵a与b的夹角θ为锐角，∴cosθ0，且cosθ≠1，即a·b0且a与b方向不同，即a·b＝1－2λ0，且a≠mb(m0)，解得λ∈(－∞，－2)∪－2，12，故选A．【答案】A即学即练稳操胜券基础知识达标知识点一数量积的坐标运算1．若a＝(2，－3)，b＝(x,2x)，且3a·b＝4，则x＝()A．3B．13C．－13D．－3解析：∵a·b＝2x－6x＝－4x，∴3a·b＝－12x＝4，∴x＝－13.答案：C2．(2018·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y＝2x上在第一象限内的点，B(5,0)，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若AB→·CD→＝0，则点A的横坐标为________．解析：设A(a,2a)(a0)，则由圆心C为AB中点得Ca＋52，a，易得⊙C：(x－5)(x－a)＋y(y－2a)＝0，与y＝2x联立解得点D的横坐标xD＝1，所以D(1,2)．所以AB→＝(5－a，－2a)，CD→＝1－a＋52，2－a，由AB→·CD→＝0得(5－a)1－a＋52＋(－2a)(2－a)＝0，即a2－2a－3＝0，解得a＝3或a＝－1，因为a0，所以a＝3.答案：3知识点二向量垂直的应用3．(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)．若向量a＋b与a垂直，则m＝________.解析：∵a＝(－1,2)，b＝(m,1)，∴a＋b＝(m－1,3)．又∵(a＋b)⊥a，∴(a＋b)·a＝0，即－1×(m－1)＋2×3＝0，∴m＝7.答案：7知识点三向量的夹角4．设向量a与b均为单位向量，且|a＋b|＝1，则a与b的夹角为()A．π3B．π2C．2π3D．3π4解析：设a与b的夹角为θ，由题意知|a|＝|b|＝1，又|a＋b|＝1，∴(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2|a||b|cosθ＋1＝1，∴2cosθ＝－1，cosθ＝－12，∴θ＝2π3.答案：C5．若A(1,2)，B(2,3)，C(－3,5)，则△ABC为()A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不等边三角形解析：∵A(1,2)，B(2,3)，C(－3,5)，∴AB→＝OB→－OA→＝(2,3)－(1,2)＝(1,1)，AC→＝OC→－OA→＝(－3,5)－(1,2)＝(－4,3)．则cosA＝AB→·AC→|AB→||AC→|＝1×－4＋1×32·25＝－1520.∴角A为钝角，∴△ABC为钝角三角形．答案：C