2019-2020学年高中数学 第2章 平面向量 5 从力做的功到向量的数量积课件 北师大版必修4

第二章平面向量§5从力做的功到向量的数量积自主学习梳理知识课前基础梳理|学习目标|1．通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义．2．体会平面向量数量积与向量射影的关系．3．会进行平面向量数量积的运算．4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.1．两个向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a和b，如图，作OA→＝a，OB→＝b，则__________叫做向量a与b的夹角．(2)范围：____________.∠AOB0°≤θ≤180°(3)特殊角θ＝0°时，a与b______；θ＝180°时，a与b______；θ＝90°时，称a与b______，记作______.规定：零向量可与__________垂直．a⊥b同向反向垂直任一向量练一练(1)若△ABC为等边三角形，则AB→，BC→的夹角为________．答案：120°2．向量的数量积定义已知两个向量a和b，它们的夹角为θ，把____________叫作a与b的数量积(或______)，记作a·b，即__________________射影________(______)叫作向量a在b方向上(向量b在a方向上)的射影几何意义a与b的数量积等于a的长度____与b在a方向上射影|b|cosθ的乘积，或b的长度____与a在b方向上射影____________的乘积|a||b|cosθ内积a·b＝|a||b|cosθ|a|cosθ|b|cosθ|a||b||a|cosθ练一练(2)已知a·b＝12，且|b|＝5，则向量a在向量b方向上的投影为________．解析：∵a·b＝|a|·|b|·cosθ，∴a在b方向上的投影为|a|·cosθ＝125.答案：1253．数量积的性质(1)若e是单位向量，则e·a＝a·e＝|a|cosθ.(2)若a⊥b，则a·b＝____；反之，若a·b＝____，则a⊥b.通常记作________________.(a，b为非零向量)(3)|a|＝______.(4)cosθ＝a·b|a||b|.(|a||b|≠0)(5)对任意两个向量a，b，有|a·b|____|a||b|.当且仅当________时等号成立．a⊥b⇔a·b＝0a·a≤a∥b00练一练(3)已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则a与b的夹角的取值范围是()A．0，π6B．π3，πC．π3，2π3D．π6，π解析：∵关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，∴Δ＝|a|2－4a·b≥0，|a|2－4|a|·|b|·cosθ≥0，∴cosθ≤|a|24|a|·|b|＝2|b|24·2|b|·|b|＝12，∴θ∈π3，π.答案：B4．数量积的运算律已知向量a、b、c和实数λ，则a·b＝b·a；(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；a·(b＋c)＝a·b＋a·c.练一练(4)已知|a|＝4，|b|＝5，且a与b的夹角为60°，求：(2a＋3b)·(3a－2b)．解：a2＝|a|2＝42＝16，b2＝|b|2＝25，a·b＝|a|·|b|·cos60°＝4×5×12＝10，∴(2a＋3b)·(3a－2b)＝6a2＋5a·b－6b2＝6×16＋5×10－6×25＝－4.1．怎样求两个不共线向量的夹角？答：对两个不共线向量a，b，通过平移使它们的起点相同，这两个有公共起点的向量的夹角就是a与b的夹角．2．两向量所成的角与两直线所成角的区别是什么？答：两向量所成的角，不一定是两向量所在的直线所成的角，因为前者的取值范围为[0°，180°]，而后者的取值范围为[0°，90°]．这一点经常容易混淆，一定要注意．3．用数量积判断两向量夹角时应注意什么？答：当θ＝0°时，有a·b＞0，此时a与b共线且同向，即a·b＞0，不能说向量的夹角一定为锐角，同理当θ＝180°时，有a·b＜0，即a·b＜0，不能说向量的夹角一定为钝角．典例精析规律总结课堂互动探究1求两向量的数量积类型已知|a|＝5，|b|＝2，若(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a与b的夹角为30°.分别求a·b.【解】(1)当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角为0°，∴a·b＝|a||b|cos0°＝5×2×1＝10；若a与b反向，则它们的夹角为180°，∴a·b＝|a||b|cos180°＝5×2×(－1)＝－10.(2)当a⊥b时，则它们的夹角为90°，∴a·b＝|a||b|cos90°＝5×2×0＝0.(3)当a与b的夹角为30°时，∴a·b＝|a||b|cos30°＝5×2×32＝53.【方法总结】1.向量的数量积在表示时，a与b之间必须用实心圆点“·”来连接而不能用“×”连接，也不能省略．2．求平面向量数量积的步骤是①求a与b的夹角θ，θ∈[0°，180°]．②分别求|b|和|a|.③求它们的数量积，即a·b＝|a||b|cosθ.已知|a|＝4，|b|＝5，且a与b的夹角为60°.求：(1)a·b；(2)(a＋b)2；(3)(a－b)2；(4)a2－b2.解：(1)a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝4×5cos60°＝10.(2)(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝16＋20＋25＝61.(3)(a－b)2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝16－20＋25＝21.(4)a2－b2＝|a|2－|b|2＝16－25＝－9.2求向量的模类型已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：(1)|a＋b|；(2)|3a－4b|；(3)|(a＋b)·(a－2b)|.【解】由已知a·b＝|a||b|cosθ＝4×2×cos120°＝－4，a2＝|a|2＝16，b2＝|b|2＝4.(1)∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－4)＋4＝12.∴|a＋b|＝23.(2)∵|3a－4b|2＝(3a－4b)2＝9a2－24a·b＋16b2＝9×16－24×(－4)＋16×4＝304，∴|3a－4b|＝419.(3)∵(a＋b)·(a－2b)＝a2－a·b－2b2＝16－(－4)－2×4＝12，∴|(a＋b)·(a－2b)|＝12.【方法总结】求向量的长度，关键是合理运用性质，|a|＝a2以及完全平方公式，另外就是数量积公式的合理运用．(2018·天津卷)在如图的平面图形中，已知OM＝1，ON＝2，∠MON＝120°，BM→＝2MA→，CN→＝2NA→，则BC→·OM→的值为()A．－15B．－9C．－6D．0解析：如图所示，连接MN，由BM→＝2MA→，CN→＝2NA→可知点M，N分别为线段AB，AC上靠近点A的三等分点，则BC→＝3MN→＝3(ON→－OM→)，由题意可知，OM→2＝12＝1，OM→·ON→＝1×2×cos120°＝－1，结合数量积的运算法则可得，BC→·OM→＝3(ON→－OM→)·OM→＝3ON→·OM→－3OM→2＝－3－3＝－6.故选C．答案：C3求向量的夹角类型已知|a|＝1，a·b＝12，(a－b)·(a＋b)＝12.求：(1)a与b的夹角；(2)a－b与a＋b的夹角θ的余弦值．【解】(1)∵(a－b)·(a＋b)＝12，∴a2－b2＝12，又∵|a|＝1，∴b2＝12，∴|b|＝22.∴cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝121×22＝22，∴〈a，b〉＝45°.(2)∵|a－b|＝a－b2＝a2－2a·b＋b2＝1－2×12＋12＝22，|a＋b|＝a＋b2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×12＋12＝102，∴a－b与a＋b的夹角θ的余弦值为cosθ＝a－b·a＋b|a－b||a＋b|＝1222×102＝55.【方法总结】求向量夹角问题应用数量积的变形公式cosθ＝a·b|a||b|，一般要求两个整体a·b，|a|·|b|，不方便求出的，可寻求两者关系，转化条件解方程组，利用向量的几何意义简捷直观．已知a，b都是非零向量，且a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角．解：设a与b的夹角为θ，则cosθ＝a·b|a||b|.∵a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，∴a＋3b·7a－5b＝0，a－4b·7a－2b＝0，即7a2＋16a·b－15b2＝0，①7a2－30a·b＋8b2＝0.②①－②得46a·b＝23b2，∴2a·b＝b2.③③代入①得a2＝b2，∴|a|＝|b|.∴cosθ＝a·b|a||b|＝12b2|b|2＝12.∵0≤θ≤180°，θ＝60°.在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，则AC→与CB→的夹角θ＝________.【错解】∵∠ACB是AC→与BC→的夹角，∴θ＝60°.【错因分析】对两向量的夹角的概念理解不透，求两向量的夹角时，须把它们平移到有公共起点的位置．【正解】如图所示，延长AC到D，使AC＝CD，则AC→＝CD→，∠BCD是AC→与CB→的夹角．由于∠BCD＋∠ACB＝180°，∠ACB＝60°，则∠BCD＝180°－60°＝120°，即θ＝120°.【答案】120°即学即练稳操胜券基础知识达标知识点一两个向量的夹角1．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为()A．30°B．60°C．120°D．150°解析：∵(2a＋b)·b＝0，∴2a·b＋b2＝0，∴a·b＝－12b2.设a与b的夹角为θ，又|a|＝|b|，∴cosθ＝a·b|a||b|＝－12b2|b|2＝－12，∴θ＝120°.答案：C知识点二向量数量积的运算2．(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝()A．4B．3C．2D．0解析：因为a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－(－1)＝2＋1＝3，故选B．答案：B知识点三数量积的应用3．若AB→·BC→＋AB→2＝0，则△ABC是()A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形解析：∵AB→·BC→＋AB→2＝AB→·(BC→＋AB→)＝AB→·AC→＝0，∴AB→⊥AC→，∴△ABC是直角三角形．答案：C4．若四边形ABCD满足AB→＋CD→＝0，(AB→－DB→)·AB→＝0，则该四边形是()A．菱形B．矩形C．直角梯形D．正方形解析：∵AB→＋CD→＝0，∴AB→＝－CD→＝DC→，∴四边形ABCD为平行四边形．又∵(AB→－DB→)·AB→＝0，∴(AB→＋BD→)·AB→＝0，即AD→·AB→＝0，∴∠A＝90°，∴▱ABCD为矩形．答案：B5．设点O是面积为4的△ABC内部一点，且有OA→＋OB→＋2OC→＝0，求△AOC的面积．解：如图，以OA，OB为邻边作▱OADB，连接OD，则OD→＝OA→＋OB→，结合条件OA→＋OB→＋2OC→＝0知，OD→＝－2OC→.设OD交AB于M，则OD→＝2OM→，所以OM→＝－OC→，故O为CM的中点，所以S△AOC＝12S△CAM＝14S△ABC＝14×4＝1.