2019-2020学年高中数学 第2章 平面向量 2.4 向量的数量积（第1课时）数量积的定义课件

第2章平面向量2.4向量的数量积第1课时数量积的定义学习目标核心素养(教师独具)1.了解向量的夹角、向量垂直、向量投影等概念．(易错点)2.理解平面向量数量积的含义及其几何意义．(重点)3.能运用数量积的运算性质和运算律解决涉及长度、夹角、平行、垂直的几何问题．(难点)通过学习本节内容提升学生的数学运算和直观想象核心素养.自主预习探新知一、向量的数量积已知两个非零向量a和b，它们的夹角是θ，我们把数量叫做向量a和b的数量积(或)，记作a·b，即a·b＝.规定：零向量与任一向量的数量积为.|a||b|cosθ内积|a|·|b|cosθ0思考1：两个向量的数量积是向量吗？[提示]两个向量的数量积是一个数量，而不是向量．思考2：数量积的大小和符号与哪些量有关？[提示]数量积的大小与两个向量的长度及夹角都有关，符号由夹角的余弦值决定．二、两个向量的夹角1．定义：已知两个非零向量a，b，如图所示．作OA→＝a，OB→＝b，则称为向量a与b的夹角．2．范围：.3．当θ＝时，a与b同向；当θ＝时，a与b反向．4．当θ＝时，则称向量a与b垂直，记作a⊥b.∠AOB0°≤θ≤180°0°180°90°思考3：把两个非零向量的起点移至同一点，那么这两个向量构成的图形是什么？[提示]角．三、向量的数量积的运算律及性质1．向量数量积的运算律：已知向量a，b，c和实数λ.(1)a·b＝；(2)(λa)·b＝＝＝；(3)(a＋b)·c＝.b·aa·(λb)λ(a·b)λa·ba·c＋b·c2．数量积的性质：(1)a·a＝|a|2或|a|＝____；(2)|a·b||a||b|；(3)a⊥b⇒a·b＝.3．数量积的几何意义：a·b的几何意义是数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影的乘积．a2≤0|b|cosθ思考4：向量的数量积运算结果和向量的线性运算的结果有什么区别？[提示]向量线性运算结果是向量，而数量积运算结果是数量．思考5：向量b在向量a上的投影与向量a在向量b上的投影相同吗？[提示]不一定相同．1．已知|a|＝3，|b|＝6，则(1)若a与b夹角为0°，则a·b＝________；(2)若a与b的夹角为60°，则a·b＝________；(3)若a与b的夹角为90°，则a·b＝________.(1)18(2)9(3)0[(1)a·b＝|a||b|cos0°＝|a||b|＝18.(2)a·b＝|a||b|cos60°＝3×6×12＝182＝9.(3)a·b＝|a||b|cos90°＝3×6×0＝0.]2．试指出图中向量的夹角，图①中向量OA→与OB→的夹角________；图②中向量OA→与OB→的夹角________；图③中向量OA→与OB→的夹角________；图④中向量OA→与OB→的夹角________．[答案]θ0°180°θ3．已知|a|＝3，|b|＝5，a与b的夹角为45°，则a在b上的投影为________；b与a上的投影为________．322522[a在b上的投影为|a|cos45°＝3×22＝322；b在a上的投影为|b|cos45°＝5×22＝522.]合作探究提素养【例1】已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为120°，求：(1)a·b；(2)a2－b2；(3)(2a－b)·(a＋3b)．思路点拨：借助数量积的定义及运算律求解(1)(2)(3)．向量数量积的运算及几何意义[解](1)a·b＝|a||b|cos120°＝2×3×－12＝－3.(2)a2－b2＝|a|2－|b|2＝4－9＝－5.(3)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2＝2|a|2＋5|a||b|cos120°－3|b|2＝8－15－27＝－34.1．求平面向量数量积的步骤：①求a与b的夹角θ，θ∈[0，π]；②分别求|a|和|b|；③求数量积，即a·b＝|a||b|cosθ.要特别注意书写时，a与b之间用实心圆点“·”连结，而不能用“×”连结，也不能省去．2．较复杂的数量积的运算，需先利用向量数量积的运算律或相关公式进行化简．1．已知正三角形ABC的边长为1，求：(1)AB→·AC→；(2)AB→·BC→；(3)BC→·AC→.[解](1)∵AB→与AC→的夹角为60°，∴AB→·AC→＝|AB→||AC→|cos60°＝1×1×12＝12.(2)∵AB→与BC→的夹角为120°，∴AB→·BC→＝|AB→||BC→|cos120°＝1×1×－12＝－12.(3)∵BC→与AC→的夹角为60°，∴BC→·AC→＝|BC→||AC→|cos60°＝1×1×12＝12.【例2】已知向量OA→＝a，OB→＝b，∠AOB＝60°，且|a|＝|b|＝4.求|a＋b|，|a－b|，|3a＋b|.思路点拨：根据已知条件将向量的模利用|a|＝a·a转化为数量积的运算求解．求向量的模[解]∵a·b＝|a|·|b|cos∠AOB＝4×4×12＝8，∴|a＋b|＝a＋b2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋16＋16＝43，|a－b|＝a－b2＝a2－2a·b＋b2＝16－16＋16＝4，|3a＋b|＝3a＋b2＝9a2＋6a·b＋b2＝9×16＋48＋16＝413.1．求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，要灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方．2．一些常见的等式应熟记，如(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，(a＋b)·(a－b)＝a2－b2等．2．已知向量a与b夹角为45°，且|a|＝1，|2a＋b|＝10，则|b|＝________.2[因为|2a＋b|＝10，所以(2a＋b)2＝10，所以4a2＋4a·b＋b2＝10，又因为向量a与b的夹角为45°，且|a|＝1，所以4|a|2＋4|a||b|cos45°＋|b|2＝10，故4×12＋4×1×|b|×22＋|b|2＝10，整理得|b|2＋22|b|－6＝0，解得|b|＝2或|b|＝－32(舍去)，故|b|＝2.]【例3】已知a，b都是非零向量，且a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角．思路点拨：解答本题可由已知中两个条件的垂直得到两个等式，从而得到a，b之间的关系，再由cosθ＝a·b|a||b|求得夹角．求向量的夹角[解]由已知，得(a＋3b)·(7a－5b)＝0，即7a2＋16a·b－15b2＝0，①(a－4b)·(7a－2b)＝0，即7a2－30a·b＋8b2＝0，②①②两式相减，得2a·b＝b2，∴a·b＝12b2，代入①②中任一式，得a2＝b2，设a，b的夹角为θ，则cosθ＝a·b|a||b|＝12b2|b|2＝12，∵0°≤θ≤180°，∴θ＝60°.1．求向量a，b夹角的流程图：求|a|，|b|→计算a·b→计算cosθ＝a·b|a||b|→结合θ∈[0，π]，求解θ2．若两非零向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a·b≠|a||b|；两非零向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a·b≠－|a||b|.提醒：求两向量的夹角时，要注意θ∈[0，π]．3．已知单位向量e1，e2的夹角为60°，求向量a＝e1＋e2，b＝e2－2e1的夹角θ.[解]∵e1，e2为单位向量且夹角为60°，∴e1·e2＝1×1×cos60°＝12.∵a·b＝(e1＋e2)·(e2－2e1)＝－2－e1·e2＋1＝－2－12＋1＝－32，|a|＝a2＝e1＋e22＝1＋2×12＋1＝3，|b|＝b2＝e2－2e12＝1＋4－4×12＝3，∴cosθ＝a·b|a||b|＝－32×13×3＝－12.又∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°.[探究问题]1．设非零向量a，b，试用数量积“a·b”及|a|，|b|表示a在b上的投影．提示：a在b上的投影为|a|cosθ，又cosθ＝a·b|a||b|，∴|a|cosθ＝a·b|b|.数量积的几何意义2．数量积a·b＝|a||b|cosθ的几何意义是什么？提示：数量积a·b等于a的模与b在a方向上的投影|b|cosθ的乘积，或等于b的模与a在b方向上的投影|a|cosθ的乘积．已知a·b＝－9，a在b方向上的投影为－3，b在a方向上的投影为－32，求a与b的夹角θ.思路点拨：分别列出a在b方向上的投影和b在a方向上的投影，解方程组便可．[解]由题意可知a·b|b|＝－3，a·b|a|＝－32，a·b＝－9，∴|a|＝6，|b|＝3，∴cosθ＝a·b|a||b|＝－96×3＝－12，又0≤θ≤π，∴θ＝2π3.1．(变结论)若本例中条件不变，求|2a＋b|.[解]由本例解答可知|a|＝6，|b|＝3，θ＝2π3，∴|2a＋b|＝4a2＋4a·b＋b2＝4×36＋4×－9＋9＝117.2．(变条件)已知a·b＝－9，a为单位向量，a在b方向上的投影为－12，求a与b的夹角θ.[解]由题意可知|a|cosθ＝a·b|b|＝－12，∴|b|＝18，∴cosθ＝a·b|a||b|＝－91×18＝－12.又0≤θ≤π，∴θ＝2π3.1．投影是个数量，可正、可负、可为零．2．计算投影时要分清“谁是投影线”，即a在b上的投影为|a|cosθ＝a·b|b|；b在a上的投影为|b|cosθ＝a·b|a|.教师独具1．本节课的重点是向量数量积的定义、几何意义以及向量的夹角和向量数量积的性质、运算律，难点是向量数量积的几何意义．2．要掌握与数量积相关的三个问题(1)数量积的计算．(2)向量的模的计算．(3)向量的夹角及垂直问题．3．要注意区分向量数量积与实数运算的区别(1)在实数运算中，若ab＝0，则a与b中至少有一个为0.而在向量数量积的运算中，不能从a·b＝0推出a＝0或b＝0.实际上由a·b＝0可推出以下四种结论：①a＝0，b＝0；②a＝0，b＝0；③a≠0，b≠0；④a≠0，b≠0，但a⊥b.(2)在实数运算中，若a，b∈R，则|ab|＝|a|·|b|，但对于向量a，b，却有|a·b|≤|a||b|，当且仅当a∥b时等号成立．这是因为|a·b|＝|a||b||cosθ|，而|cosθ|≤1.(3)实数运算满足消去律：若bc＝ca，c≠0，则有b＝a.在向量数量积的运算中，若a·b＝a·c(a≠0)，则向量c，b在向量a方向上的投影相同，因此由a·b＝a·c(a≠0)不能得到b＝c.(4)实数运算满足乘法结合律，但向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)，这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线．当堂达标固双基1．下面给出的关系式中不正确的是()A．0·a＝0B．a2＝|a|2C．a·b≤|a||b|D．(a·b)2＝a2·b2D[(a·b)2＝a2·b2·cos2θ.]2．(2019·全国卷Ⅰ)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为()A.π6B.π3C.2π3D.5π6[答案]B3．已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝12，则向量a在b方向上的投影为________．125[|a|cosθ＝a·b|b|＝125.]4．已知非零向量a，b，满足|a|＝1，(a－b)·(a＋b)＝12，且a·b＝12.(1)求向量a，b的夹角；(2)求|a－b|.[解](1)∵(a－b)·(a＋b)＝12，∴a2－b2＝12，即|a|2－|b|2＝12.又|a|＝1，∴|b|＝22.∵a·b＝12，∴|a|·|b|cosθ＝12，∴cosθ＝22，∴向量a，b的夹角为45°.(2)∵|a－b|2＝(a－b)2＝|a|2－2|a||b|cosθ＋|b|2＝12，∴|a－b|＝22.