2019-2020学年高中数学 第2章 平面向量 2.3.2 平面向量的坐标运算（第2课时）向量平行

第2章平面向量2.3向量的坐标表示2.3.2平面向量的坐标运算第2课时向量平行的坐标表示学习目标核心素养(教师独具)1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．(重点)2.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线．(重点)3.掌握三点共线的判断方法．(难点)通过学习本节内容提升学生的逻辑推理和数学运算核心素养.自主预习探新知向量平行的坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(a≠0)，如果a∥b，那么；反过来，如果，那么a∥b.x1y2－x2y1＝0x1y2－x2y1＝0思考：当a∥b时，a，b的坐标成比例吗？[提示]坐标不为0时成正比例．1．下列各组向量中，共线的是()A．a＝(－2,3)，b＝(4,6)B．a＝(2,3)，b＝(3,2)C．a＝(1，－2)，b＝(7,14)D．a＝(－3,2)，b＝(6，－4)D[∵在D中，b＝(6，－4)，a＝(－3,2)，∴b＝－2(－3,2)＝－2a，∴a与b共线．]2．若a＝(2,3)，b＝(x,6)，且a∥b，则x＝________.4[∵a∥b，∴2×6－3x＝0，即x＝4.]3．已知四点A(－2，－3)，B(2,1)，C(1,4)，D(－7，－4)，则AB→与CD→的关系是________．(填“共线”或“不共线”)共线[AB→＝(2,1)－(－2，－3)＝(4,4)，CD→＝(－7，－4)－(1,4)＝(－8，－8)，因为4×(－8)－4×(－8)＝0，所以AB→∥CD→，即AB→与CD→共线．]合作探究提素养【例1】已知A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，－3)，判断AB→与CD→是否平行？如果平行，它们的方向相同还是相反？思路点拨：根据已知条件求出AB→和CD→，然后利用两向量平行的条件判断．向量平行的判定[解]∵A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，－3)，∴AB→＝(0,4)－(2,1)＝(－2,3)，CD→＝(5，－3)－(1,3)＝(4，－6)．∵(－2)×(－6)－3×4＝0，且(－2)×4＜0，∴AB→与CD→平行且方向相反．此类题目应充分利用向量共线定理或向量共线坐标的条件进行判断.提醒：利用向量共线坐标的条件进行判断时，要注意坐标之间的搭配.1．已知A，B，C三点坐标分别为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，并且AE→＝13AC→，BF→＝13BC→，求证：EF→∥AB→.[证明]设点E，F的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．依题意有，AC→＝(2,2)，BC→＝(－2,3)，AB→＝(4，－1)．∵AE→＝13AC→，∴(x1＋1，y1)＝13(2,2)，∴点E的坐标为－13，23，同理点F的坐标为73，0，∴EF→＝83，－23.又83×(－1)－4×－23＝0，∴EF→∥AB→.【例2】已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？思路点拨：充分利用向量共线的条件解题．利用向量共线求参数的值[解]法一：ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一实数λ，使ka＋b＝λ(a－3b)．即(k－3,2k＋2)＝λ(10，－4)，所以k－3＝10λ，2k＋2＝－4λ，解得k＝λ＝－13.当k＝－13时，ka＋b与a－3b平行，这时ka＋b＝－13a＋b＝－13(a－3b)，因为λ＝－130，所以ka＋b与a－3b反向．法二：由题知ka＋b＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(10，－4)．因为ka＋b与a－3b平行，所以(k－3)×(－4)－10(2k＋2)＝0，解得k＝－13.这时ka＋b＝－13－3，－23＋2＝－13(a－3b)．所以当k＝－13时，ka＋b与a－3b平行，并且反向．1．对于根据向量共线的条件求值的问题，一般有两种处理思路：一是利用共线向量定理a＝λb(b≠0)列方程组求解；二是利用向量共线的坐标表达式x1y2－x2y1＝0直接求解．2．利用x1y2－x2y1＝0求解向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少未知数个数，而且使问题的解决具有代数化的特点、程序化的特征．2．已知向量a＝(1,1)，b＝(2，x)，若a＋b与4b－2a平行，求实数x的值．[解]因为a＝(1,1)，b＝(2，x)，所以a＋b＝(3，x＋1)，4b－2a＝(6,4x－2)，由a＋b与4b－2a平行，得6(x＋1)－3(4x－2)＝0，解得x＝2.[探究问题]1．若点P(x，y)是线段P1P2的中点，且P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，试用P1，P2的坐标表示点P的坐标．提示：Px1＋x22，y1＋y22，因为P1P→＝12P1P2→，所以(x－x1，y－y1)＝12(x2－x1，y2－y1)，∴x＝x1＋x22，y＝y1＋y22.共线向量与定比分点公式2．若P1P→＝λPP2→，则点P的坐标如何表示？提示：Px1＋λx21＋λ，y1＋λy21＋λ，推导方法类同于探究问题1.已知两点A(3，－4)，B(－9,2)在直线AB上，求一点P使|AP→|＝13|AB→|.思路点拨：分“AP→＝±13AB→”两类分别求点P的坐标．[解]设点P的坐标为(x，y)，①若点P在线段AB上，则AP→＝12PB→，∴(x－3，y＋4)＝12(－9－x,2－y)，解得x＝－1，y＝－2，∴P(－1，－2)．②若点P在线段BA的延长线上，则AP→＝－14PB→，∴(x－3，y＋4)＝－14(－9－x,2－y)，解得x＝7，y＝－6，∴P(7，－6)．综上可得点P的坐标为(－1，－2)或(7，－6)．1．(变结论)本例条件不变，给出点P(k,12)，当k为何值时，P，A，B三点共线．[解]AP→＝(k－3,16)，AB→＝(－12,6)，当P，A，B共线时，存在唯一实数λ，使AP→＝λAB→，即(k－3,16)＝λ(－12,6)，∴k－3＝－12λ，16＝6λ，解得k＝－29.2．(变条件)若P在线段AB的延长线上，求点P，使AB→＝13AP→.[解]设点P的坐标为(x，y)，AB→＝(－12,6)，AP→＝(x－3，y＋4)，由AB→＝13AP→得13x－1＝－12，13y＋43＝6，解得x＝－33，y＝14，∴点P的坐标为(－33,14)．1．向量具有大小和方向两个要素，因此共线向量模间的关系可以等价转化为向量间的等量关系，但要注意方向性．2．本例也可以直接套用定比分点公式求解．提醒：注意方程思想的应用．教师独具1．本节课的重点是平面向量共线的坐标表示．2．要正确理解向量平行的条件(1)a∥b(b≠0)⇔a＝λb.这是几何运算，体现了向量a与b的长度及方向之间的关系．(2)a∥b⇔a1b2－a2b1＝0，其中a＝(a1，b1)，b＝(a2，b2)．这是代数运算，由于不需引进参数λ，从而简化代数运算．(3)a∥b⇔a1b1＝a2b2，其中a＝(a1，b1)，b＝(a2，b2)且b1≠0，b2≠0.即两向量的对应坐标成比例．通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误．当堂达标固双基1．下列说法不正确的是()A．存在向量a与任何向量都是平行向量B．如果向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a∥b，则x1y1＝x2y2C．如果向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a∥b，则x1y2－x2y1＝0D．如果向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且x1y1＝x2y2，则a∥bB[A当a是零向量时，零向量与任何向量都是平行向量；B不正确，当y1＝0或y2＝0时，显然不能用x1y1＝x2y2来表示；C、D正确．]2．已知a＝(－1,2)，b＝(2，y)，若a∥b，则y＝________.－4[∵a∥b，∴－12＝2y，∴y＝－4.]3．若P1(1,2)，P(3,2)，且P1P→＝2PP2→，则P2的坐标为________．(4,2)[设P2(x，y)，则P1P→＝(2,0)，PP2→＝(x－3，y－2)，2PP2→＝(2x－6,2y－4)．由P1P→＝2PP2→可得2x－6＝2，2y－4＝0，解得x＝4，y＝2.]4．给定两个向量a＝(1,2)，b＝(λ，1)，若a＋2b与2a－2b共线，求λ的值．[解]∵a＋2b＝(1,2)＋2(λ，1)＝(1＋2λ，4)，2a－2b＝2(1,2)－2(λ，1)＝(2－2λ，2)，又a＋2b与2a－2b共线，∴2(1＋2λ)－4(2－2λ)＝0，∴λ＝12.