2019-2020学年高中数学 第2章 平面向量 2.2.1 向量的加法课件 苏教版必修4

第2章平面向量2.2向量的线性运算2.2.1向量的加法学习目标1．理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的物理意义及其几何意义．(重点)2．掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算．(重点、易错点)3．了解向量加法的交换律和结合律，并能依据几何意义作图解释向量加法运算律的合理性．(难点)核心素养(教师独具)通过学习本节内容提升学生的数学运算和直观想象核心素养自主预习探新知一、向量的加法1．向量加法的定义求的运算叫做向量的加法．两个向量和2．向量加法的运算法则(1)三角形法则：如图，已知向量a和b，在平面内任取一点O，作OA→＝a，AB→＝b，则向量___叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝OA→＋AB→＝___.OB→OB→(2)平行四边形法则：如图，已知两个不共线的非零向量a，b，作OA→＝a，OC→＝b，以，为邻边作▱OABC，则以O为起点的对角线上的向量___＝a＋b，这个法则叫做向量加法的平行四边形法则．OAOCOB→二、向量加法的运算律(1)交换律：a＋b＝______.(2)结合律：(a＋b)＋c＝___________．(3)a＋0＝0＋a＝__.(4)a＋(－a)＝(－a)＋a＝__.b＋aa＋(b＋c)a01．思考辨析(1)两个向量相加就是两个向量的模相加．()(2)两个向量相加，结果有可能是个数量．()(3)向量加法的平行四边形法则适合任何两个向量相加．()[解析](1)错误，向量相加与向量长度、方向都有关；(2)错误，向量相加，结果仍是一个向量；(3)错误，向量加法的平行四边形法则适合有相同起点的向量相加．[答案](1)×(2)×(3)×2．(AB→＋MB→)＋(BO→＋BC→)＋OM→等于________．AC→[(AB→＋MB→)＋(BO→＋BC→)＋OM→＝AB→＋BO→＋OM→＋MB→＋BC→＝AC→.]3.AB→＋BC→＋CA→＝________.0[AB→＋BC→＋CA→＝AC→＋CA→＝0.]合作探究提素养【例1】如图，已知向量a，b，c，求作和向量a＋b＋c.思路点拨：根据三角形法则或平行四边形法则求解．向量加法的三角形法则和平行四边形法则[解]法一：可先作a＋c，再作(a＋c)＋b，即为a＋b＋c(用到向量加法运算律)．如图①，首先在平面内任取一点O，作向量OA→＝a，接着作向量AB→＝c，则得向量OB→＝a＋c，然后作向量BC→＝b，则向量OC→＝a＋b＋c为所求．法二：三个向量不共线，用平行四边形法则来作．如图②，(1)在平面内任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b；(2)作平行四边形AOBC，则OC→＝a＋b；(3)再作向量OD→＝c；(4)作▱CODE，则OE→＝OC→＋c＝a＋b＋c.则OE→即为所求．向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系：区别：1三角形法则中强调“首尾相接”，平行四边形法则中强调的是“共起点”；2三角形法则适用于任意两个非零向量求和，而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和.联系：1当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的；2三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半.1．如图所示，求作向量和．(1)(2)(3)[解]如图中①，②所示，图①图②图③首先作OA→＝a，然后作AB→＝b，则OB→＝a＋b.如图③所示，作AB→＝a，BC→＝b，则AC→＝a＋b，再作CD→＝c，则AD→＝AC→＋CD→＝(a＋b)＋c，即AD→＝a＋b＋c.【例2】(1)在正六边形ABCDEF中，AB→＝a，AF→＝b，则AC→＝________，AD→＝________，AE→＝________.(2)AB→＋DF→＋CD→＋BC→＋FA→＝________.思路点拨：(1)结合正六边形的性质及向量的平行四边形法则求解．(2)由向量加法的三角形法则求解．向量的加法运算(1)2a＋b2a＋2ba＋2b(2)0[(1)如图，连结FC交AD于点O，连结OB，由平面几何知识得四边形ABOF，四边形ABCO均为平行四边形．根据向量的平行四边形法则，有AO→＝AB→＋AF→＝a＋b.在平行四边形ABCO中，AC→＝AB→＋AO→＝a＋a＋b＝2a＋b.AD→＝2AO→＝2a＋2b.而FE→＝AO→＝a＋b，由三角形法则得：AE→＝AF→＋FE→＝b＋a＋b＝a＋2b.(2)AB→＋DF→＋CD→＋BC→＋FA→＝AB→＋BC→＋CD→＋DF→＋FA→＝0.]1．解决该类题目要灵活应用向量加法运算，注意各向量的起点、终点及向量起点、终点字母排列顺序，特别注意勿将0写成0.2．运用向量加法求和时，在图中表示“首尾相接”时，其和向量是从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点．2.如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式：(1)DG→＋EA→＋CB→；(2)EG→＋CG→＋DA→＋EB→.[解](1)DG→＋EA→＋CB→＝GC→＋BE→＋CB→＝GC→＋CB→＋BE→＝GB→＋BE→＝GE→.(2)EG→＋CG→＋DA→＋EB→＝EG→＋GD→＋DA→＋AE→＝ED→＋DA→＋AE→＝EA→＋AE→＝0.[探究问题]1．速度、位移等物理量是向量吗？为什么？提示：是向量．因为它们既有大小，又有方向，具有向量的两个要素．2．利用向量加法解决实际问题的关键是什么？提示：关键是把实际问题向量模型化，并借助向量加法知识解决实际问题．向量加法在实际问题中的应用【例3】已知小船在静水中的速度与河水的流速都是10km/h，问：(1)小船在河水中行驶的实际速度的最大值与最小值分别是多少？(2)如果小船在河南岸M处，对岸北偏东30°有一码头N，小船的航向如何确定才能直线到达对岸码头？(河水自西向东流)思路点拨：(1)结合向量共线知识求解；(2)借助三角形的边角关系求解．[解](1)小船顺流行驶时实际速度最大，最大值为20km/h；小船逆流行驶时实际速度最小，最小值为0km/h，此时小船是静止的．(2)如图所示，设MA→表示水流的速度，MN→表示小船实际过河的速度．设MC⊥MA，|MA→|＝|MB→|＝10，∠CMN＝30°.∵MA→＋MB→＝MN→，∴四边形MANB为菱形．则∠AMN＝60°，∴△AMN为等边三角形．在△MNB中，|BN→|＝|MN→|＝|MB→|＝10，∴∠BMN＝60°，而∠CMN＝30°，∴∠CMB＝30°，所以小船要由M直达码头N，其航向应为北偏西30°.解决与向量有关的实际应用题，应本着如下步骤：弄清实际问题→转化为数学问题→正确画出示意图→用向量表示实际量→向量运算→回扣实际问题→作出解答.3．在某地抗震救灾中，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．[解]如图所示，设AB→，BC→分别表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800km，从B地按南偏东55°的方向飞行800km.则飞机飞行的路程指的是|AB→|＋|BC→|；两次飞行的位移的和指的是AB→＋BC→＝AC→.依题意，有|AB→|＋|BC→|＝800＋800＝1600(km)．又α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°.所以|AC→|＝|AB→|2＋|BC→|2＝8002＋8002＝8002(km)．其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°.从而飞机飞行的路程是1600km，两次飞行的位移和的大小为8002km，方向为北偏东80°.教师独具1．本节课的重点是向量和的作法以及向量和的运算，难点是向量和的应用．2．要掌握向量加法的三个问题(1)求作向量的和．(2)向量加法运算．(3)向量加法的应用．3．求作向量和时应注意以下两点(1)利用三角形法则求和向量时，关键要抓住“首尾相接”，并且和向量是由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点．(2)利用平行四边形法则求和向量时，应注意“共起点．当堂达标固双基1．如图所示，在平行四边形ABCD中，BC→＋DC→＋BA→＝()①AD→；②DB→；③BC→；④CB→.A．①③B．②④C．①④D．②③A[∵四边形ABCD为平行四边形，∴BC→＝AD→，∴BC→＋DC→＋BA→＝AD→＋DC→＋BA→＝AC→＋BA→＝BC→.]2．在△ABC中，AB→＝a，BC→＝b，则a＋b＝________.AC→[a＋b＝AB→＋BC→＝AC→.]3．在平行四边形ABCD中，若|BC→＋BA→|＝|BC→＋AB→|，则四边形ABCD是________．矩形[由图知|BC→＋BA→|＝|BD→|.又|BC→＋AB→|＝|AD→＋AB→|＝|AC→|，∴|BD→|＝|AC→|.∴四边形ABCD为矩形．]4．化简：(1)CD→＋BC→＋AB→；(2)AB→＋DF→＋CD→＋BC→＋FG→.[解](1)CD→＋BC→＋AB→＝(AB→＋BC→)＋CD→＝AC→＋CD→＝AD→.(2)AB→＋DF→＋CD→＋BC→＋FG→＝(AB→＋BC→)＋(CD→＋DF→)＋FG→＝AC→＋CF→＋FG→＝AF→＋FG→＝AG→.