2019-2020学年高中数学 第2章 平面解析几何初步章末复习课课件 苏教版必修2

第2章平面解析几何初步章末复习课直线方程及两直线的位置关系【例1】过点P(－1，0)，Q(0，2)分别作两条互相平行的直线，使它们在x轴上截距之差的绝对值为1，求这两条直线的方程．思路探究：考虑直线斜率是否存在，不存在时可直接求出，存在时设方程利用截距关系求k.[解](1)当两条直线的斜率不存在时，两条直线的方程分别为x＝－1，x＝0，它们在x轴上截距之差的绝对值为1，满足题意；(2)当直线的斜率存在时，设其斜率为k，则两条直线的方程分别为y＝k(x＋1)，y＝kx＋2.令y＝0，分别得x＝－1，x＝－2k.由题意得－1＋2k＝1，即k＝1.则直线的方程为y＝x＋1，y＝x＋2，即x－y＋1＝0，x－y＋2＝0.综上可知，所求的直线方程为x＝－1，x＝0，或x－y＋1＝0，x－y＋2＝0.1．直线方程的五种形式及其选取直线方程的五种形式各有优劣，在使用时要根据题目条件灵活选择，尤其在选用四种特殊形式的方程时，注意其适用条件，必要时要对特殊情况进行讨论．2．两条直线的平行与垂直两条直线的平行与垂直是解析几何中两条直线最基本的位置关系，其判定如下：位置关系l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2或l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)平行l1∥l2⇔k1＝k2且b1≠b2或l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，C1B2－C2B1≠0垂直l1⊥l2⇔k1·k2＝－1或l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝01．求经过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x－y－1＝0平行的直线l的方程．[解]法一：由方程组2x－3y－3＝0，x＋y＋2＝0，得x＝－35，y＝－75.∵直线l和直线3x－y－1＝0平行，∴直线l的斜率k＝3，∴根据点斜式有y－－75＝3x－－35.即所求直线方程为15x－5y＋2＝0.法二：∵直线l过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点，∴可设直线l的方程为：2x－3y－3＋λ(x＋y＋2)＝0，即(λ＋2)x＋(λ－3)y＋2λ－3＝0.∵直线l与直线3x－y－1＝0平行，∴λ＋23＝λ－3－1≠2λ－3－1，解得λ＝74.从而所求直线方程为15x－5y＋2＝0.直线与圆、圆与圆的位置关系【例2】如图所示，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4和圆C2：(x－4)2＋(y－5)2＝4.(1)若直线l过点A(4，0)，且被圆C1截得的弦长为23，求直线l的方程；(2)设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标．思路探究：(1)设出方程，求出弦心距，由点到直线的距离公式求k.(2)设出方程，由直线与圆的位置关系及几何性质列方程求出参数．[解](1)由于直线x＝4与圆C1不相交，所以直线l的斜率存在．设直线l的方程为y＝k(x－4)，圆C1的圆心到直线l的距离为d，因为直线l被圆C1截得的弦长为23，所以d＝22－（3）2＝1.由点到直线的距离公式得d＝|1－k（－3－4）|1＋k2，从而k(24k＋7)＝0，即k＝0或k＝－724，所以直线l的方程为y＝0或7x＋24y－28＝0.(2)设点P(a，b)满足条件，不妨设直线l1的方程为y－b＝k(x－a)，k≠0，则直线l2的方程为y－b＝－1k(x－a)．因为圆C1和圆C2的半径相等，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，所以圆C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等，即|1－k（－3－a）－b|1＋k2＝5＋1k（4－a）－b1＋1k2，整理得|1＋3k＋ak－b|＝|5k＋4－a－bk|，从而1＋3k＋ak－b＝5k＋4－a－bk或1＋3k＋ak－b＝－5k－4＋a＋bk，即(a＋b－2)k＝b－a＋3或(a－b＋8)k＝a＋b－5，因为k的取值范围有无穷多个，所以a＋b－2＝0，b－a＋3＝0或a－b＋8＝0，a＋b－5＝0，解得a＝52，b＝－12或a＝－32，b＝132.这样点P只可能是点P152，－12或点P2－32，132.经检验点P1和P2满足题目条件．1．直线与圆的位置关系是高考考查的重点，切线问题更是重中之重，判断直线与圆的位置关系以几何法为主，解题时应充分利用圆的几何性质以简化解题过程．2．解决圆与圆的位置关系的关键是抓住它的几何特征，利用两圆圆心距与两圆半径的和、差的绝对值的大小来确定两圆的位置关系，以及充分利用它的几何图形来形象直观地分析问题．2．如图，平面直角坐标系中，已知以点A(－1，2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切．过点B(－2，0)的动直线l与圆A相交于M，N两点，(1)求圆A的方程；(2)当MN＝219时，求直线l的方程．[解](1)设圆A的半径为R.由于圆A与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，∴R＝|－1＋4＋7|5＝25.∴圆A的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20.(2)①当直线l与x轴垂直时，易知x＝－2符合题意；②当直线l与x轴不垂直时，设MN的中点为Q，直线l的方程为y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0.连结AQ，则AQ⊥MN.∵MN＝219，∴AQ＝20－19＝1，则由AQ＝|k－2|k2＋1＝1，得k＝34.直线方程为3x－4y＋6＝0.综上，直线l的方程为x＝－2或3x－4y＋6＝0.与圆有关的最值问题【例3】已知实数x，y满足关系式：x2＋y2－6x－4y＋12＝0，点P(x，y)，A(－1，0)，B(1，0)．(1)求yx的最大值和最小值；(2)求x－y的最大值和最小值；(3)求PA2＋PB2的最大值和最小值．思路探究：(1)转化为过圆上的点(x，y)和原点(0，0)的直线的斜率问题．(2)令m＝x－y，转化为直线与圆相切的问题．(3)令PA2＋PB2＝m2，化简后转化为两圆相切问题．[解]根据题意，设圆C：(x－3)2＋(y－2)2＝1，圆心C(3，2)．(1)设yx＝k，则当直线y＝kx与圆C相切时，yx取得最值．此时|3k－2|1＋k2＝1，k＝3±34，∴yx的最大值为3＋34，最小值为3－34.(2)设x－y＝m，则当直线y＝x－m与圆C相切时，x－y取得最值．此时|3－2－m|2＝1，∴m＝1±2，∴x－y的最大值为1＋2，最小值为1－2.(3)设PA2＋PB2＝m2，则有x2＋y2＝m2－22，m2≥2.当圆x2＋y2＝m2－22与圆C相切时，PA2＋PB2取得最值，此时m2－22±1＝13，解得m2＝30±413.∴PA2＋PB2的最大值为30＋413，最小值为30－413.与圆有关的最值问题，往往是已知圆的方程f(x，y)＝0，求yx，y－x，x2＋y2等量的最值或范围．解决的方法是：设(x，y)是圆上任意一点，分别把给定的式子yx，y－x，x2＋y2赋予一定的几何意义，这样就把有关最值问题转化成点、直线与圆的位置关系问题，再根据圆的几何性质确定最值．3．如果实数x，y满足方程(x－3)2＋(y－3)2＝6，求：(1)yx的最大值与最小值；(2)x＋y的最大值与最小值．[解](1)设方程(x－3)2＋(y－3)2＝6所表示的圆C上的任意一点P(x，y).yx的几何意义就是直线OP的斜率，设yx＝k，则直线OP的方程为y＝kx.由图①可知，当直线OP与圆相切时，斜率取最值．因为点C到直线y＝kx的距离d＝|3k－3|k2＋1，所以当|3k－3|k2＋1＝6，即k＝3±22时，直线OP与圆相切．所以yx的最大值与最小值分别是3＋22与3－22.①②(2)设x＋y＝b，则y＝－x＋b，由图②知，当直线与圆C相切时，截距b取最值．而圆心C到直线y＝－x＋b的距离为d＝|6－b|2.因为当|6－b|2＝6，即b＝6±23时，直线y＝－x＋b与圆C相切，所以x＋y的最大值与最小值分别为6＋23与6－23.与圆有关的最值问题【例4】如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，直线l：y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心在l上．(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(2)若圆C上存在点M，使MA＝2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．思路探究：(1)求出圆心C，设出直线的方程，利用圆心到直线的距离等于半径，结合待定系数法求解．(2)设出圆的方程，化简条件MA＝2MO，将问题转化为两圆相交问题．[解](1)由题设，圆心C是直线y＝2x－4和y＝x－1的交点，解得点C(3，2)，于是切线的斜率必存在．设过A(0，3)的圆C的切线方程为y＝kx＋3，由题意，得|3k＋1|k2＋1＝1，解得k＝0或－34，故所求切线方程为y＝3或3x＋4y－12＝0.(2)因为圆心在直线y＝2x－4上，所以圆C的方程为(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1.设点M(x，y)，因为MA＝2MO，所以x2＋（y－3）2＝2x2＋y2，化简得x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4，所以点M在以D(0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M(x，y)在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，则|2－1|≤CD≤2＋1，即1≤a2＋（2a－3）2≤3，化简得5a2－12a＋8≥0，5a2－12a≤0，由5a2－12a＋8≥0，得a∈R；由5a2－12a≤0，得0≤a≤125.所以点C的横坐标a的取值范围为0，125.待定系数法，就是所研究的式子(方程)的结构是确定的，但它的系数(部分或全部)是待定的，然后根据题目所给条件来确定这些系数的方法．(1)本章中求直线和圆的方程常用待定系数法，采用待定系数法求圆的方程的一般步骤为：①选择圆的方程的某一形式；②由题意得a，b，r(或D，E，F)的方程(组)；③解出a，b，r(或D，E，F)；④代入所设方程．(2)求直线方程时一般有以下几类：①知过定点，设点斜式(注意斜率不存在的情况)；②知斜率，设斜截式；③与截距有关设截距式；④知与已知直线平行或垂直，设一般式(或斜截式、点斜式)．4．在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为22，在y轴上截得线段长为23.(1)求圆心P的轨迹方程；(2)若P点到直线y＝x的距离为22，求圆P的方程．[解](1)设P(x，y)，圆P的半径为r.由题设得y2＋2＝r2，x2＋3＝r2.从而y2＋2＝x2＋3.故P点的轨迹方程为y2－x2＝1.(2)设P(x0，y0)，由已知得|x0－y0|2＝22.又P在曲线y2－x2＝1上，从而得|x0－y0|＝1，y20－x20＝1.由x0－y0＝1，y20－x20＝1，得x0＝0，y0＝－1.此时，圆P的半径r＝3.由x0－y0＝－1，y20－x20＝1，得x0＝0，y0＝1.此时，圆P的半径r＝3.故圆P的方程为x2＋(y－1)2＝3或x2＋(y＋1)2＝3.