2019-2020学年高中数学 第2章 平面解析几何初步 2.4.1 空间直角坐标系 2.4.2 空

第二章平面解析几何初步2.4空间直角坐标系2.4.1空间直角坐标系2.4.2空间两点的距离公式学习目标核心素养1.了解空间直角坐标系的建系方式．(重点)2．能在空间直角坐标系中求出点的坐标和已知坐标作出点．(重点)3．理解空间两点间距离公式的推导过程和方法．(重点)4．掌握空间两点间的距离公式，能够用空间两点间距离公式解决简单的问题．(难点)1.通过学习空间直角坐标系的知识，培养直观想象的数学核心素养．2．借助空间距离公式的学习，提升数学运算的数学核心素养.自主预习探新知1．空间直角坐标系(1)空间直角坐标系定义以空间中两两____且相交于一点O的三条直线分别为x轴、y轴、z轴，这时就说建立了空间直角坐标系Oxyz，其中点O叫做坐标____，x轴、y轴、z轴叫做________．通过每两个坐标轴的平面叫做________，分别称为xOy平面、yOz平面、______平面垂直原点坐标轴坐标平面xOz画法在平面上画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝________，∠yOz＝90°图示说明本书建立的坐标系都是____直角坐标系，即在空间直角坐标系中，让右手拇指指向__轴的正方向，食指指向__轴的正方向，中指指向__轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系135°右手xyz(2)空间中一点的坐标空间一点M的坐标可用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x，y，z)，其中x叫做点M的______，y叫做点M的______，z叫做点M的________．x坐标y坐标z坐标2．空间两点间的距离公式(1)点P(x，y，z)到坐标原点O(0,0,0)的距离|OP|＝___________.(2)任意两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)间的距离|P1P2|＝____________________________.x2＋y2＋z2x1－x22＋y1－y22＋z1－z221．点(2,0,3)在空间直角坐标系中的()A．y轴上B．xOy平面上C．xOz平面上D．第一象限内C[点(2,0,3)的纵坐标为0，所以该点在xOz平面上．]2．点A(－1,2,1)在x轴上的投影点和在xOy平面上的投影点的坐标分别为()A．(－1,0,1)，(－1,2,0)B．(－1,0,0)，(－1,2,0)C．(－1,0,0)，(－1,0,0)D．(－1,2,0)，(－1,2,0)B[点A(－1,2,1)在x轴上的投影点的横坐标是－1，纵坐标、竖坐标都为0，故为(－1,0,0)，点A(－1,2,1)在xOy平面上横、纵坐标不变且竖坐标是0，故为(－1,2,0)．]3．在空间直角坐标系中，A(－1,2,3)，B(2,1，m)，若|AB|＝110，则m的值为________．－7或13[|AB|＝－1－22＋2－12＋3－m2＝110，∴(3－m)2＝100,3－m＝±10.∴m＝－7或13.]4．在空间直角坐标系中，点P(5,7,9)与Q(5，－7，－9)两点的位置关系是________．[答案]关于x轴对称合作探究提素养空间直角坐标系的建立及坐标表示【例1】建立适当的坐标系，写出底边长为2，高为3的正三棱柱的各顶点的坐标．[解]以BC的中点为原点，BC所在的直线为y轴，以射线OA所在的直线为x轴，建立空间直角坐标系，如图．由题意知，AO＝32×2＝3，从而可知各顶点的坐标分别为A(3，0,0)，B(0,1,0)，C(0，－1,0)，A1(3，0,3)，B1(0,1,3)，C1(0，－1,3)．空间中点P坐标的确定方法1．由P点分别作垂直于x轴、y轴、z轴的平面，依次交x轴，y轴、z轴于点Px、Py、Pz，这三个点在x轴、y轴、z轴上的坐标分别为x、y、z，那么点P的坐标就是(x，y，z)．2．若题所给图形中存在垂直于坐标轴的平面，或点P在坐标轴或坐标平面上，则要充分利用这一性质解题．1．如图所示，V­ABCD是正棱锥，O为底面中心，E，F分别为BC，CD的中点．已知|AB|＝2，|VO|＝3，建立如图所示空间直角坐标系，试分别写出各个顶点的坐标．[解]∵底面是边长为2的正方形，∴|CE|＝|CF|＝1.∵O点是坐标原点，∴C(1,1,0)，同样的方法可以确定B(1，－1,0)，A(－1，－1,0)，D(－1,1,0)．∵V在z轴上，∴V(0,0,3).求空间对称点的坐标【例2】在空间直角坐标系中，已知点P(－2,1,4)．(1)求点P关于x轴对称的点的坐标；(2)求点P关于xOy平面对称的点的坐标；(3)求点P关于点M(2，－1，－4)对称的点的坐标．[思路探究]对照空间点的对称规律直接写出各点的坐标．[解](1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P1(－2，－1，－4)．(2)由于点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P2(－2,1，－4)．(3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点，由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，所以P3的坐标为(6，－3，－12)．任意一点P(x，y，z)，关于原点对称的点是P1(－x，－y，－z)；关于x轴(横轴)对称的点是P2(x，－y，－z)；关于y轴(纵轴)对称的点是P3(－x，y，－z)；关于z轴(竖轴)对称的点是P4(－x，－y，z)；关于xOy平面对称的点是P5(x，y，－z)；关于yOz平面对称的点是P6(－x，y，z)；关于xOz平面对称的点是P7(x，－y，z)．求对称点的问题可以用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”的口诀来记忆．2．已知M(2,1,3)，求M关于原点对称的点M1，M关于xOy平面对称的点M2，M关于x轴、y轴对称的点M3，M4.[解]由于点M与M1关于原点对称，所以M1(－2，－1，－3)；点M与M2关于xOy平面对称，横坐标与纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数，所以M2(2,1，－3)；M与M3关于x轴对称，则M3的横坐标不变，纵坐标和竖坐标变为原来的相反数，即M3(2，－1，－3)，同理M4(－2,1，－3).空间两点间的距离[探究问题]1．已知两点P(1,0,1)与Q(4,3，－1)，请求出P、Q之间的距离．[提示]|PQ|＝1－42＋0－32＋1＋12＝22.2．上述问题中，若在z轴上存在点M，使得|MP|＝|MQ|，请求出点M的坐标．[提示]设M(0,0，z)，由|MP|＝|MQ|，得(－1)2＋02＋(z－1)2＝42＋32＋(－1－z)2，∴z＝－6.∴M(0,0，－6)．【例3】在空间直角坐标系中，已知A(2,0,3)和B(－3,0，－2)，试问在y轴上是否存在点M，满足|MA|＝|MB|.[思路探究]设点的坐标，代入距离公式，求得．[解]假设在y轴上存在点M，满足|MA|＝|MB|.因为M在y轴上，可设M(0，y,0)．由|MA|＝|MB|，可得22＋－y2＋32＝－32＋－y2＋－22，显然，此式对任意y∈R恒成立，即y轴上所有点都满足关系|MA|＝|MB|.1．本例中将点A的坐标改成“A(3,1,1)”，其余条件不变，请再探讨结论．[解]假设在y轴上存在点M，满足|MA|＝|MB|.因为M在y轴上，可设M(0，y,0)．由|MA|＝|MB|，可得－32＋y－12＋－12＝－32＋－y2＋－22，解得y＝－1，所以y轴上存在点M(0，－1,0)满足关系|MA|＝|MB|.2．将本例改为“在空间直角坐标系中，已知A(2,0,3)，B(－3，0，－2)，C(1,22，－1)”，试判断三角形ABC的形状？[解]由空间两点间的距离公式知：|AB|＝2＋32＋0－02＋3＋22＝52，|AC|＝2－12＋0－222＋3＋12＝5，|BC|＝－3－12＋0－222＋－2＋12＝5，所以|AC|＝|BC|，|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，所以三角形ABC为等腰直角三角形．解决空间两点间的距离的方法1．若两点坐标已知，直接代入空间两点间的距离公式求解．2．若两点坐标未知，则需建立适当的空间直角坐标系(有些题目已给出坐标系)，利用平面图形及空间图形的性质，结合坐标系表示出相关的坐标，最后代入空间两点间的距离公式求解．1．本节课的重点是了解右手直角坐标系及有关概念，掌握空间直角坐标系中任意一点的坐标的含义，会建立空间直角坐标系，并能求出点的坐标，理解空间两点间距离公式的推导过程和方法，掌握空间两点间的距离公式及其简单应用．难点是空间直角坐标系的建立及求相关点的坐标、空间两点间距离公式及其简单运用．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)空间直角坐标系中点的坐标的确定方法，(2)求空间中对称点坐标的规律，(3)空间两点间距离公式的应用．3．本节课的易错点是空间中点的坐标的确定．当堂达标固双基1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在空间直角坐标系中，在Ox轴上的点的坐标一定是(0，b，c)．()(2)在空间直角坐标系中，在yOz平面上的点的坐标一定可写成(0，b，c)．()(3)在空间直角坐标系中，在Oz轴上的点的坐标可记作(0,0，c)．()(4)在空间直角坐标系中，在xOz平面上的点的坐标是(a,0，c)．()[答案](1)×(2)√(3)√(4)√[提示](1)错误．x轴上的点的坐标是纵坐标与竖坐标都为0.(2)、(3)、(4)正确．2．在空间直角坐标系中，点P(3,4,5)与Q(3，－4，－5)两点的位置关系是()A．关于x轴对称B．关于xOy平面对称C．关于坐标原点对称D．以上都不对A[点P(3,4,5)与Q(3，－4，－5)两点的横坐标相同，而纵、竖坐标互为相反数，所以两点关于x轴对称．]3．设A(4，－7,1)，B(6,2，z)，|AB|＝11，则z＝________.7或－5[由|AB|＝6－42＋2＋72＋z－12＝11，解得z＝7或－5.]4．已知点A(－4，－1，－9)，B(－10,1，－6)，C(－2，－4，－3)，判断△ABC的形状．[解]|AB|＝－4＋102＋－1－12＋－9＋62＝7，|BC|＝－10＋22＋1＋42＋－6＋32＝72，|AC|＝－4＋22＋－1＋42＋－9＋32＝7.因为|AB|＝|AC|，且|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，所以△ABC为等腰直角三角形．