2019-2020学年高中数学 第2章 平面解析几何初步 2.1 直线与方程 2.1.3 两条直线的

2．1.3两条直线的平行与垂直第一课时两条直线的平行预习课本P89～90，思考并完成以下问题1．如果两条直线互相平行，那么这两条直线的斜率一定相等么？2．如何判断平面内两条直线互相平行？3．如何证明坐标系中的平面图形中的边之间的平行关系？[新知初探]两条直线的平行[点睛]两直线平行与斜率的关系(1)l1∥l2⇔k1＝k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②l1与l2不重合．(2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，l1与l2的倾斜角都是90°，则l1∥l2.(3)两条不重合的直线平行的判定的一般结论是：l1∥l2⇔k1＝k2或l1，l2斜率都不存在．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)不重合的两条直线的倾斜角相等，则它们一定互相平行．()(2)如果两条直线互相平行，那么它们的斜率一定相等．()(3)直线l1：ax＋y＋2a＝0与l2：x＋ay＋2＝0互相平行，则实数a＝±1.()√××2．平行于直线x＋y－1＝0且过原点的直线方程为_______．答案：x＋y＝03．两直线2x－y＋k＝0和4x－2y＋1＝0的位置关系是________．答案：平行或重合4．若两直线2x－ky＋1＝0和4x－2y＋1＝0不平行，则k应当满足的条件是________．答案：k≠1两条直线平行的判定[典例]判断下列各题中直线l1与l2是否平行？(1)l1的斜率为1，l2经过点P(1,1)，Q(3,3)；(2)l1经过点A(－3,2)，B(－3,10)，l2经过点C(5，－2)，D(5，5)；(3)l1经过点A(0,1)，B(1,0)，l2经过点C(－1,3)，D(2,0)．[解](1)k1＝1，k2＝3－13－1＝1，k1＝k2，∴l1与l2重合或l1∥l2.(2)l1与l2都与x轴垂直，通过数形结合知l1∥l2.(3)k1＝0－11－0＝－1，k2＝0－32－－1＝－1，k1＝k2，数形结合知l1∥l2.判断两条直线平行的方法(1)①若两条直线l1，l2的斜率都存在，将它们的方程都化成斜截式．如：l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2；则k1＝k2，b1≠b2⇒l1∥l2.②若两条直线l1，l2的斜率都不存在，将方程化成l1：x＝x1，l2：x＝x2，则x1≠x2⇒l1∥l2.(2)若直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不全为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不全为0)，由A1B2－A2B1＝0得到l1∥l2或l1，l2重合；排除两直线重合，就能判定两直线平行．[活学活用]1．判定下列直线的位置关系．(1)l1：3x－4y－2＝0,l2：6x－8y＋1＝0；(2)l1：3x＋2y－1＝0,l2：6x＋4y－2＝0；(3)l1：4x＋2y－1＝0,l2：2x－y－2＝0.解：(1)因为3×(－8)－(－4)×6＝0,而3×1－(－2)×6≠0，所以l1∥l2.(2)因为3×4－2×6＝0,而3×(－2)－(－1)×6＝0，所以l1，l2重合．(3)因为4×(－1)－2×2≠0，所以l1，l2相交．2．已知A(－1,1)，B(2,3)，C(1,0)，D(－2，－2)，判定四边形ABCD的形状.解：因为kAB＝3－12－－1＝23，同理可计算得kBC＝3，kCD＝23，kAD＝3，故kAD＝kBC＝3，kAB＝kCD＝23，所以AD∥BC，AB∥CD，故四边形ABCD为平行四边形．应用两直线平行求参数值[典例]已知直线l1：mx＋y－(m＋1)＝0，l2：x＋my－2m＝0，当m为何值时，(1)直线l1与l2互相平行？(2)直线l1与l2重合？[解](1)若l1∥l2，需满足m2－1＝0，－2m2＋m＋1≠0，解得m＝－1.即当m＝－1时，l1∥l2.(2)若l1与l2重合，需满足m2－1＝0，－2m2＋m＋1＝0，解得m＝1.即当m＝1时，l1与l2重合．(1)解决此类问题的方法：需依据直线平行的条件，研究斜率是否存在；斜率存在，再根据斜率相等，截距不等；列关于参数的方程或方程组求解．若斜率都不存在，排除重合．(2)若两直线方程中含有参数，判断两直线平行或重合时，为避免讨论，有如下方法：l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，A1C2－A2C1≠0.l1与l2重合⇔A1B2－A2B1＝0，A1C2－A2C1＝0.[活学活用]1．若直线l1：ax＋y＋2a＝0与l2：x＋ay＋3＝0互相平行，则实数a＝________.解析：由于两直线平行，所以a2－1＝0，解得a＝±1.答案：±12．直线l1经过A(3,4)，B(5,8)，直线l2经过点M(1，－2)，N(0，b)，且l1∥l2，则实数b＝________.解析：∵k1＝8－45－3＝2，k2＝b＋2－1＝－(b＋2)，又∵l1∥l2，∴k1＝k2，即－b－2＝2，∴b＝－4.答案：－4由平行关系求直线方程[典例]求过点(2，－1)且与直线3x－4y－2＝0平行的直线方程．[解]法一：由题意设所求直线方程为y＋1＝k(x－2)，又它与直线3x－4y－2＝0平行，所以两直线斜率相等，即k＝34，故所求直线方程为y＋1＝34(x－2)，即3x－4y－10＝0.法二：因为所求直线与已知直线平行，故设所求直线方程为3x－4y＋C＝0(C≠－2)．又过点(2，－1)，所以3×2－4×(－1)＋C＝0，即C＝－10.所以所求直线方程为3x－4y－10＝0.与已知直线平行的直线方程的求法(1)若直线l与已知直线y＝kx＋b平行，则可设l的方程为y＝kx＋m(m≠b)，然后利用待定系数法求参数m，从而求出直线l的方程．(2)若直线l与已知直线Ax＋By＋C＝0平行，则可设l的方程为：Ax＋By＋m＝0(m≠C)，然后用待定系数法求参数m，从而求出直线l的方程．[活学活用]求与直线3x＋4y＋9＝0平行，并且和两坐标轴在第一象限所围成的三角形面积是24的直线方程．解：法一：∵直线3x＋4y＋9＝0的斜率为－34，∴设所求直线方程为y＝－34x＋b，令x＝0，得y＝b；令y＝0，得x＝4b3，由题意，b＞0，4b3＞0，∴b＞0，∴12×b×4b3＝24，∴b＝6，故所求直线方程为y＝－34x＋6，即3x＋4y－24＝0.法二：与3x＋4y＋9＝0平行的直线也可设为3x＋4y＋m＝0(m≠9)，则令x＝0，得y＝－m4；令y＝0，得x＝－m3.由题意，知－m4＞0，－m3＞0故m＜0，所以12×－m4×－m3＝24，解得m＝－24，故所求直线方程为3x＋4y－24＝0.