2019-2020学年高中数学 第2章 解析几何初步 2-3 空间直角坐标系课件 北师大版必修2

解析几何初步第二章§3空间直角坐标系课前自主预习1．空间直角坐标系及相关概念如图，在空间直角坐标系中，O叫作，x，y，z轴统称为，由确定的平面叫作坐标平面，x、y轴确定的平面记作平面，y，z轴确定的平面记作平面，x，z轴确定的平面记作平面．原点坐标轴坐标轴xOyyOzxOz2．空间直角坐标系中点的坐标在空间直角坐标系中，对于空间任意一点P，都可以用一个元有序数组来表示，其中第一个是坐标，第二个是坐标，第三个是坐标；反之，任何一个三元有序数组(x，y，z)都可以确定空间中的一个点P.这样，在空间直角坐标系中，点与三元有序数组之间就建立了的关系．3．空间两点间的距离公式给出空间两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则|AB|＝.三(x，y，z)xyz一一对应x1－x22＋y1－y22＋z1－z221．在数轴上，一个实数就能确定一个点的位置．在平面直角坐标系中，需要一对有序实数才能确定一个点的位置．为了确定空间中任意一点的位置，需要几个实数？[答案]三个．2．空间直角坐标系需要几个坐标轴，它们之间什么关系？[答案]空间直角坐标系需要三个坐标轴，它们之间两两相互垂直．3．空间两点间的距离公式与平面两间点的距离公式有什么样的区别与联系？[答案]区别：平面两点间的距离公式是空间两点间的距离公式的特例：①在平面直角坐标系xOy中，已知两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1－x22＋y1－y22；②在x轴上的两点A，B对应的实数分别是x1，x2，则|AB|＝|x2－x1|.联系：①空间两点间的距离公式是平面两点间的距离公式的推广．②空间两点间的距离公式虽然与坐标系的建立无关，但坐标系建立适当可使运算简便．课堂互动探究题型一.由点的坐标定位【典例1】在空间直角坐标系Oxyz中，作出点P(5,4,6)．[解]解法一：第一步：从原点出发沿x轴正方向移动5个单位．第二步：沿与y轴平行的方向向右移动4个单位．第三步：沿与z轴平行的方向向上移动6个单位(如图所示)，即得点P.解法二：以O为顶点构造长方体，使这个长方体在点O处的三条棱分别在x轴，y轴，z轴的正半轴上，且棱长分别为5,4,6，则长方体与顶点O相对的顶点即为所求点P.已知点P的坐标确定其位置的方法(1)利用平移点的方法，将原点按坐标轴方向三次平移得点P.(2)构造适合条件的长方体，通过和原点相对的顶点确定点P的位置．(3)通过作三个分别与坐标轴垂直的平面，由平面的交点确定点P.[针对训练1](1)点(2,0,3)在空间直角坐标系中的位置在()A．xOy平面上B．xOz平面上C．yOz平面上D．y轴上(2)在空间直角坐标系中，已知点M(－1,2,3)，过该点作y轴的垂线，垂足为M′，则M′的坐标是()A．(－1,2,0)B．(－1,0,3)C．(0,2,3)D．(0,2,0)[解析](1)点(2,0,3)中y＝0，∴在xOz平面上．(2)∵M′在y轴上，∴x＝0，z＝0，y不变，∴M′的坐标为(0,2,0)．[答案](1)B(2)D题型二确定空间中点的坐标【典例2】设正四棱锥S—P1P2P3P4的所有棱长均为a，建立适当的坐标系．求点S、P1、P2、P3和P4的直角坐标．[思路导引]建系时，应考虑到各点的表示比较方便为宜．[解]以底面中心作为坐标原点，棱P1P2、P1P4分别垂直于Oy轴和Ox轴(如图)．正四棱锥S—P1P2P3P4，如图所示，其中O为底面正方形的中心，P1P2⊥Oy轴．P1P4⊥Ox轴，SO在Oz轴上，∵|P1P2|＝a，而P1、P2、P3、P4均在xOy平面上．∴P1a2，a2，0，P2－a2，a2，0.P3与P1关于原点O对称，P4与P2关于原点O对称．∴P3－a2，－a2，0，P4a2，－a2，0.又∵|OP1|＝22a.∴在Rt△SOP1中，|SO|＝a2－a22＝22a.∴S0，0，22a.(1)建立空间直角坐标系时，应遵循的两个原则①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面上．②充分利用几何图形的对称性．(2)求某点M的坐标的方法作MM′垂直平面xOy，垂足M′，求M′的横坐标x，纵坐标y，即点M的横坐标x，纵坐标y，再求M点在z轴上射影的竖坐标z，即为M点的竖坐标z，于是得到M点的坐标(x，y，z)．[针对训练2]长方体OABC－D′A′B′C′中，O是坐标原点，OA是x轴，OC是y轴，OD′是z轴，E是AB中点，F是B′E中点，OA＝3，OC＝4，OD′＝3，则点F的坐标为()A.3，2，32B.3，3，32C.3，32，2D．(3,0,3)[解析]由题可知A(3,0,0)，B(3,4,0)，E为AB的中点，∴E的坐标为(3,2,0)，B′(3,4,3)，又F是B′E的中点，∴F3，3，32.故选B.[答案]B题型三求空间中对称点的坐标【典例3】在空间直角坐标系中，点P(－2,1,4)．(1)求点P关于x轴的对称点的坐标；(2)求点P关于xOy平面的对称点的坐标；(3)求点P关于点M(2，－1，－4)的对称点的坐标．[思路导引]首先找出该点位置，以图象辅助找．[解](1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P1(－2，－1，－4)．(2)由于点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P2(－2,1，－4)．(3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点，由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，所以P3(6，－3，－12)．任意一点P(x，y，z)，关于原点对称的点是P1(－x，－y，－z)；关于x轴(横轴)对称的点是P2(x，－y，－z)；关于y轴(纵轴)对称的点是P3(－x，y，－z)；关于z轴(竖轴)对称的点是P4(－x，－y，z)；关于xOy平面对称的点是P5(x，y，－z)；关于yOz平面对称的点是P6(－x，y，z)；关于xOz平面对称的点是P7(x，－y，z)．求对称点的问题可以用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”的口诀来记忆．[针对训练3]求点A(1,2，－1)关于坐标平面xOy及x轴的对称点的坐标．[解]如图所示，过点A作AM⊥坐标平面xOy交平面于点M，并延长到点C，使AM＝CM，则点A与点C关于坐标平面xOy对称，且点C(1,2,1)．过点A作AN⊥x轴于点N并延长到点B，使AN＝NB，则点A与B关于x轴对称且点B(1，－2,1)．∴点A(1,2，－1)关于坐标平面xOy对称的点为C(1,2,1)；点A(1,2，－1)关于x轴对称的点为B(1，－2,1).题型四空间两点间的距离公式及其应用【典例4】在四面体P－ABC中，PA、PB、PC两两垂直，设PA＝PB＝PC＝a，求点P到平面ABC的距离．[思路导引]根据立体几何中有关距离的定义，点到面得距离，可转化为两点间的距离．因此，该题若使用空间两点间的距离公式，首先建立空间坐标系，确定相应点的坐标，再确定P点在平面ABC内的正交投影，然后利用空间两点间的距离公式求解．[解]根据题意，建立如图所示的坐标系，则P(0,0,0)，A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(0,0，a)．过点P作PH⊥平面ABC，交平面ABC于H，则PH的长即为点P到平面ABC的距离．∵PA＝PB＝PC，∴H为△ABC的外心，又∵△ABC为正三角形，∴H为△ABC的重心，可得点H的坐标为a3，a3，a3.∴|PH|＝0－a32＋0－a32＋0－a32＝33a.∴点P到平面ABC的距离是33a.本题在立体几何之中，可以通过等体积法也很容易求解．但使用空间两点间的距离公式的方法，思路更为直接，不过运算量没有降低．当然，空间坐标系下的问题，离不开立体几何知识．[针对训练4]如图所示，正方体棱长为1，以正方体的同一顶点上的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系Oxyz，点P在正方体的体对角线AB上，点Q在正方体的棱CD上．当点P为体对角线AB的中点，点Q在棱CD上运动时，求|PQ|的最小值．[解]如图所示的空间直角坐标系，则P12，12，12.∵Q点在CD上，∴设Q(0,1，z)，z∈[0,1]，∴|PQ|＝12－02＋12－12＋12－z2＝12＋12－z2，∴当z＝12时，|PQ|min＝22.