2019-2020学年高中数学 第2章 解析几何初步 2-1-5 平面直角坐标系中的距离公式课件 北

解析几何初步第二章§1直线与直线的方程1．5平面直角坐标系中的距离公式课前自主预习1．两点间的距离公式一般地，若两点A，B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有|AB|＝________________________.2．点到直线的距离公式点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离d＝___________.x2－x12＋y2－y12|Ax0＋By0＋C|A2＋B21．在使用点到直线的距离公式时，对直线方程的形式有什么要求？[答案]直线方程应化为一般式．2．如何求两条平行直线间的距离？[答案]①转化为一条直线上的一个点到另一条直线的距离．②两条平行线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝|C1－C2|A2＋B2.课堂互动探究题型一两点间距离公式的应用【典例1】已知△ABC三顶点坐标A(－3,1)、B(3，－3)、C(1,7)，试判断△ABC的形状．[思路导引]先求出三边长度，再判断形状．[解]解法一：∵|AB|＝3＋32＋－3－12＝213，|AC|＝1＋32＋7－12＝213，又|BC|＝1－32＋7＋32＝226，∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|，∴△ABC是等腰直角三角形．解法二：∵kAC＝7－11－－3＝32，kAB＝－3－13－－3＝－23，则kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB.又|AC|＝1＋32＋7－12＝213，|AB|＝3＋32＋－3－12＝213，∴|AC|＝|AB|.∴△ABC是等腰直角三角形．(1)判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向．(2)在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考查是否为直角或等角；二是要考虑三角形边的长度特征，主要考查边是否相等或是否满足勾股定理．[针对训练1]已知点A(3,6)，在x轴上的点P与点A的距离等于10，求点P的坐标．[解]设点P的坐标为(x,0)，由|PA|＝10，得x－32＋0－62＝10，解得：x＝11或x＝－5.所以点P的坐标为(－5,0)或(11,0).题型二点到直线的距离【典例2】求点P(3，－2)到下列直线的距离：(1)y＝34x＋14；(2)y＝6；(3)x＝4.[思路导引]利用点到直线距离公式时，注意把直线化为一般式，对于特殊的直线，数列结合，求距离即可．[解](1)直线y＝34x＋14化为一般式为3x－4y＋1＝0，由点到直线的距离公式可得d＝|3×3－4×－2＋1|32＋－42＝185.(2)因为直线y＝6与y轴垂直，所以点P到它的距离d＝|－2－6|＝8.(3)因为直线x＝4与x轴垂直，所以点P到它的距离d＝|3－4|＝1.应用点到直线的距离公式应注意的三个问题(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式．(2)点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用．(3)直线方程Ax＋By＋C＝0中，A＝0或B＝0公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．[针对训练2](1)点P0(－1,2)到直线2x＋y－10＝0的距离为()A.5B．25C.3D．23(2)已知点M(1,4)到直线l：mx＋y－1＝0的距离等于1，则实数m等于()A.34B．－34C．－43D.43[解析](1)依题意，d＝|2×－1＋2－10|22＋12＝105＝25.选B.(2)依题意，d＝|m＋4－1|m2＋1＝|m＋3|m2＋1＝1，解得m＝－43，选C.[答案](1)B(2)C题型三两条平行直线间的距离【典例3】已知直线l1：3x－2y－1＝0和l2：3x－2y－13＝0，直线l与l1，l2的距离分别是d1，d2，若d1∶d2＝2∶1，求直线l的方程.[思路导引]由题设知l1∥l2，故l∥l1∥l2，设出l的方程，利用距离公式表示出d1，d2，进而求出直线方程．[解]由直线l1，l2的方程知l1∥l2.又由题意知，直线l与l1，l2均平行(否则d1＝0或d2＝0，不符合题意)．设直线l：3x－2y＋m＝0(m≠－1且m≠－13)，由两平行线间的距离公式，得d1＝|m＋1|13，d2＝|m＋13|13，又d1∶d2＝2∶1，所以|m＋1|＝2|m＋13|，解得m＝－25或m＝－9.故所求直线l的方程为3x－2y－25＝0或3x－2y－9＝0.求两平行直线间距离的两种思路(1)利用“化归”法将两条平行线的距离转化为求一条直线上任意一点到另一条直线的距离．(2)直接利用两平行线间的距离公式，当直线l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2，且b1≠b2时，d＝|b1－b2|k2＋1；当直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0且C1≠C2时，d＝|C1－C2|A2＋B2，必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等．[针对训练3]直线l1过点A(0,1)，l2过点B(5,0)，如果l1∥l2，且l1与l2间的距离为5，求l1，l2的方程．[解]若直线l1，l2的斜率存在，设直线l1与l2的斜率为k，由斜截式得l1的方程为y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0，由点斜式可得l2的方程为y＝k(x－5)，即kx－y－5k＝0.在直线l1上取点A(0,1)，则点A到直线l2的距离d＝|1＋5k|1＋k2＝5，∴25k2＋10k＋1＝25k2＋25，∴k＝125.∴l1的方程为12x－5y＋5＝0，l2的方程为12x－5y－60＝0.若直线l1，l2的斜率不存在，则l1的方程为x＝0，l2的方程为x＝5，它们之间的距离为5，满足条件．则满足条件的直线方程有以下两组：l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0；l1：x＝0，l2：x＝5.题型四距离公式的综合应用【典例4】求过点M(－1,2)，且与点A(2,3)，B(－4,5)距离相等的直线l的方程．[思路导引]过点M(－1,2)的直线可以优先考虑点斜式，利用点A(2,3)，B(－4,5)到直线的距离相等确定斜率，注意斜率不存在的情况，或者考虑数形结合，过A(2,3)，B(－4,5)的中点或与过A(2,3)，B(－4,5)两点直线平行．[解]解法一：当过点M(－1,2)的直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，恰好与A(2,3)，B(－4,5)两点距离相等，故x＝－1满足题意，当过点M(－1,2)的直线l的斜率存在时，设l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.由点A(2,3)与B(－4,5)到直线l的距离相等，得|2k－3＋k＋2|k2＋1＝|－4k－5＋k＋2|k2＋1，解得k＝－13，此时l的方程为y－2＝－13(x＋1)，即x＋3y－5＝0.综上所述直线l的方程为x＝－1或x＋3y－5＝0.解法二：由题意得l∥AB或l过AB的中点，当l∥AB时，设直线AB的斜率为kAB，直线l的斜率为kl，则kAB＝kl＝5－3－4－2＝－13，此时直线l的方程为y－2＝－13(x＋1)，即x＋3y－5＝0.当l过AB的中点(－1,4)时，直线l的方程为x＝－1.综上所述，直线l的方程为x＝－1或x＋3y－5＝0.利用点斜式求直线方程时，注意直线的斜率是否存在，利用数形结合解决问题时，一定把各种情况考虑全面．[针对训练4](1)若点(4，a)到直线4x－3y＝0的距离不大于3，则a的取值范围是________________．(2)已知直线l过点P(3,4)且与点A(－2,2)，B(4，－2)等距离，则直线l的方程为________________．[解析](1)由题意知|4×4－3a|42＋－32≤3，解得13≤a≤313，故a的取值范围为13，313.(2)过点P(3,4)且斜率不存在时的直线x＝3与A、B两点的距离不相等，故可设所求直线方程为y－4＝k(x－3)，即kx－y＋4－3k＝0，由已知得|－2k－2＋4－3k|1＋k2＝|4k＋2＋4－3k|1＋k2，∴k＝2或k＝－23，∴所求直线l的方程为2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝0.[答案](1)13，313(2)2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝0