2019-2020学年高中数学 第2章 基本初等函数（Ⅰ） 2.2.1 对数与对数运算（第2课时）对

第二章基本初等函数（Ⅰ）2.2对数函数2.2.1对数与对数运算第2课时对数的运算学习目标核心素养1．理解对数的运算性质．(重点)2．能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数．(难点)3．会运用运算性质进行一些简单的化简与证明．(易混点)1．借助对数的运算性质化简、求值，培养数学运算素养．2．通过学习换底公式，培养逻辑推理素养.自主预习探新知1．对数的运算性质如果a0，且a≠1，M0，N0，那么：(1)loga(M·N)＝；(2)logaMN＝；(3)logaMn＝(n∈R)．nlogaMlogaM＋logaNlogaM－logaN思考：当M0，N0时，loga(M＋N)＝logaM＋logaN，loga(MN)＝logaM·logaN是否成立？[提示]不一定．2．对数的换底公式若a0且a≠1；c0且c≠1；b0，则有logab＝．logcblogca1．计算log84＋log82等于()A．log86B．8C．6D．1D[log84＋log82＝log88＝1.]2．计算log510－log52等于()A．log58B．lg5C．1D．2C[log510－log52＝log55＝1.]3．log23·log32＝________．1[log23·log32＝lg3lg2×lg2lg3＝1.]合作探究提素养对数运算性质的应用【例1】计算下列各式的值：(1)12lg3249－43lg8＋lg245；(2)lg52＋23lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2；(3)lg2＋lg3－lg10lg1.8.[解](1)原式＝12(5lg2－2lg7)－43·32lg2＋12(2lg7＋lg5)＝52lg2－lg7－2lg2＋lg7＋12lg5＝12lg2＋12lg5＝12(lg2＋lg5)＝12lg10＝12.(2)原式＝2lg5＋2lg2＋lg5(2lg2＋lg5)＋(lg2)2＝2lg10＋(lg5＋lg2)2＝2＋(lg10)2＝2＋1＝3.(3)原式＝12（lg2＋lg9－lg10）lg1.8＝lg18102lg1.8＝lg1.82lg1.8＝12.1．利用对数性质求值的解题关键是化异为同，先使各项底数相同，再找真数间的联系．2．对于复杂的运算式，可先化简再计算．化简问题的常用方法：(1)“拆”：将积(商)的对数拆成两对数之和(差)；(2)“收”：将同底对数的和(差)收成积(商)的对数．1.求下列各式的值：(1)lg25＋lg2·lg50；(2)23lg8＋lg25＋lg2·lg50＋lg25.[解](1)原式＝lg25＋(1－lg5)(1＋lg5)＝lg25＋1－lg25＝1.(2)23lg8＋lg25＋lg2·lg50＋lg25＝2lg2＋lg25＋lg2(1＋lg5)＋2lg5＝2(lg2＋lg5)＋lg25＋lg2＋lg2·lg5＝2＋lg5(lg5＋lg2)＋lg2＝2＋lg5＋lg2＝3.对数的换底公式【例2】(1)计算：(log2125＋log425＋log85)·(log1258＋log254＋log52)．(2)已知log189＝a，18b＝5，求log3645(用a，b表示)．[解](1)(log2125＋log425＋log85)·(log1258＋log254＋log52)＝(log253＋log2252＋log235)·(log5323＋log5222＋log52)＝3＋1＋13log25·(1＋1＋1)log52＝133·3＝13.(2)∵18b＝5，∴b＝log185.又log189＝a，∴log3645＝log1845log1836＝log185＋log1891＋log182＝a＋b2－log189＝a＋b2－a.(变结论)在本例(2)的条件下，求log915(用a，b表示)[解]∵log189＝a，∴log183＝a2.又log185＝b，∴log915＝log1815log189＝log183＋log185log189＝a2＋ba＝a＋2b2a.1．在化简带有对数的表达式时，若对数的底不同，需利用换底公式．2．常用的公式有：logab·logba＝1，loganbm＝mnlogab，logab＝1logba等．2．求值：(1)log23·log35·log516；(2)(log32＋log92)(log43＋log83)．[解](1)原式＝lg3lg2·lg5lg3·lg16lg5＝lg16lg2＝4lg2lg2＝4.(2)原式＝lg2lg3＋lg2lg9lg3lg4＋lg3lg8＝lg2lg3＋lg22lg3lg32lg2＋lg33lg2＝3lg22lg3·5lg36lg2＝54.对数运算性质的综合应用[探究问题]1．若2a＝3b，则ab等于多少？提示：设2a＝3b＝t，则a＝log2t，b＝log3t，∴ab＝log23.2．对数式logab与logba存在怎样的等量关系？提示：logab·logba＝1，即logab＝1logba.【例3】已知3a＝5b＝c，且1a＋1b＝2，求c的值．思路点拨：3a＝5b＝c――→指对互化求1a，1b――――→1a＋1b＝2求c的值[解]∵3a＝5b＝c，∴a＝log3c，b＝log5c，∴1a＝logc3，1b＝logc5，∴1a＋1b＝logc15.由logc15＝2得c2＝15，即c＝15.1．把本例条件变为“3a＝5b＝15”，求1a＋1b的值．[解]∵3a＝5b＝15，∴a＝log315，b＝log515，∴1a＋1b＝log153＋log155＝log1515＝1.2．若本例条件改为“若a，b是正数，且3a＝5b＝c”，比较3a与5b的大小．[解]∵3a＝5b＝c，∴a＝log3c，b＝log5c，∴3a－5b＝3log3c－5log5c＝3lgclg3－5lgclg5＝lgc（3lg5－5lg3）lg3lg5＝lgc（lg125－lg243）lg3lg50，∴3a5b.应用换底公式应注意的两个方面(1)化成同底的对数时，要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用．(2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式．1．应用对数的运算法则，可将高一级(乘、除、乘方)的运算转化为低一级(加、减、乘)的运算．2．换底公式反映了数学上的化归思想，其实质是将不同底的对数运算问题转化为同底的对数运算．3．熟练掌握对数的运算法则，注意同指数运算法则区别记忆．当堂达标固双基1．思考辨析(1)log2x2＝2log2x.()(2)loga[(－2)×(－3)]＝loga(－2)＋loga(－3)．()(3)logaM·logaN＝loga(M＋N)．()(4)logx2＝1log2x.()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．计算log92·log43＝()A．4B．2C.12D.14D[log92·log43＝lg2lg9·lg3lg4＝lg22lg3·lg32lg2＝14.]3．设10a＝2，lg3＝b，则log26＝()A.baB.a＋baC．abD．a＋bB[∵10a＝2，∴lg2＝a，∴log26＝lg6lg2＝lg2＋lg3lg2＝a＋ba.]4．计算：(1)log535－2log573＋log57－log51.8；(2)log2748＋log212－12log242－1.[解](1)原式＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－log595＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55＝2.(2)原式＝log2748＋log212－log242－log22＝log27×1248×42×2＝log2122＝log22－32＝－32.