2019-2020学年高中数学 第2章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.3 直线与平面垂直的性

数学必修②·人教A版新课标导学第二章点、直线、平面之间的位置关系2.3直线、平面垂直的判定及其性质2.3.3直线与平面垂直的性质1自主预习学案2互动探究学案3课时作业学案自主预习学案海底气油开采是一项技术难度很大的工程，首先要在海平面以上搭建作业平台并耸立钻塔．由于海洋环境复杂，常发生漏油事故．仅在2011年，中海油就发生了三次漏油污染事故．图中钻塔所在直线与作业平台所在平面有何关系？直线与平面垂直的性质定理文字语言垂直于同一个平面的两条直线________符号语言a⊥αb⊥α⇒________图形语言作用证明两直线平行平行a∥b1．从圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是()A．相交B．平行C．异面D．相交或平行[解析]由直线与平面垂直的性质定理可知，这条垂线与圆柱的母线所在直线平行．B2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线l⊥平面A1C1，则有()A．B1B⊥lB．B1B∥lC．B1B与l异面D．B1B与l相交[解析]因为B1B⊥平面A1C1，又l⊥平面A1C1，则l∥B1B．B3．直线l垂直于梯形ABCD的两腰AB和CD，直线m垂直于AD和BC，则l与m的位置关系是()A．相交B．平行C．异面D．不确定[解析]∵AD∥BC，∴梯形ABCD确定一个平面α．∵l⊥AB，l⊥CD，AB和CD相交．∴l⊥α.由于AD∥BC，m⊥AD，m⊥BC，则m⊥α或m∥α或m⊂α或m与α相交，则l∥m或l与m异面或l与m相交．D4．在三棱锥V－ABC中，当三条侧棱VA、VB、VC之间满足条件______________________________时，有VC⊥AB.(注：填上你认为正确的一种条件即可)[解析]∵VC⊥VA，VC⊥VB，VA∩VB＝V，∴VC⊥平面VAB，∴VC⊥AB．VC⊥VA，VC⊥VB(答案不唯一)互动探究学案命题方向1⇨利用线面垂直的性质证明平行问题如图，正方体A1B1C1D1－ABCD中，EF与异面直线AC、A1D都垂直相交．求证：EF∥BD1．[思路分析]要证明EF∥BD1，转化为证明EF⊥平面AB1C，BD1⊥平面AB1C．典例1[解析]如图所示，连接AB1，B1C，BD.因为DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以DD1⊥AC．又AC⊥BD，DD1∩BD＝D，所以AC⊥平面BDD1．又BD1⊂平面BDD1，所以AC⊥BD1．同理可证BD1⊥B1C．又AC∩B1C＝C，所以BD1⊥平面AB1C．因为EF⊥AC，EF⊥A1D，又A1D∥B1C，所以EF⊥B1C．又AC∩B1C＝C，所以EF⊥平面AB1C．所以EF∥BD1．『规律方法』当题中垂直条件很多，但又需证两直线平行关系时，就要考虑直线和平面垂直的性质定理，从而完成垂直向平行的转化．〔跟踪练习1〕如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，B为垂足，直线a⊂β，a⊥AB.求证：a∥l．[解析]∵EB⊥β，a⊂β，∴EB⊥a．又∵a⊥AB，AB∩EB＝B，∴a⊥平面ABE．∵α∩β＝l，∴l⊂α，l⊂β．∵EA⊥α，EB⊥β，∴EA⊥l，EB⊥l．又∵EA∩EB＝E，∴l⊥平面ABE．∴a∥l．命题方向2⇨利用线面垂直的性质证明垂直问题已知α∩β＝AB，PQ⊥α于Q，PO⊥β于O，OR⊥α于R．求证：QR⊥AB．[思路分析]证AB与QR所在的平面垂直，再根据线面垂直的定义，即可证明QR⊥AB．典例2[解析]如图所示，因为α∩β＝AB，PO⊥β于O，所以PO⊥AB．因为PQ⊥α于Q，所以PQ⊥AB．因为PO∩PQ＝P，所以AB⊥平面PQO．因为OR⊥α于R，所以PQ∥OR．因为PQ与OR确定平面PQRO．又因为QR⊂平面PQRO，AB⊥平面PQRO，所以AB⊥QR．『规律方法』要证线线垂直，只需证线面垂直，可利用线面垂直的定义或判定定理证明，从而得出所需结论．因此，在解题时，要充分体现线面关系的相互转化在解题中的灵活应用．线面垂直性质判定线线垂直．〔跟踪练习2〕如图，已知矩形ABCD，SA⊥平面AC，AE⊥SB于E，EF⊥SC于F．(1)求证：AF⊥SC；(2)若SD交平面AEF于G，求证：AG⊥SD．[解析](1)因为SA⊥平面AC，BC⊂平面AC，所以SA⊥BC．因为ABCD是矩形，所以AB⊥BC．又SA∩AB＝A，所以BC⊥平面SAB.因为AE⊂平面SAB，所以BC⊥AE．又SB⊥AE，SB∩BC＝B，所以AE⊥平面SBC．因为SC⊂平面SBC，所以AE⊥SC．又EF⊥SC，EF∩AE＝E，所以SC⊥平面AEF．所以AF⊥SC．(2)因为SA⊥平面AC，所以SA⊥DC．又AD⊥DC，SA∩AD＝A，所以DC⊥平面SAD.因为AG⊂平面SAD，所以DC⊥AG．又由(1)有SC⊥平面AEF，AG⊂平面AEF．所以SC⊥AG.又SC∩DC＝C，所以AG⊥平面SDC．因为SD⊂平面SCD，所以AG⊥SD．在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB．(1)已知AB＝BC，AE＝EC．求证：AC⊥FB；(2)已知G，H分别是EC和FB的中点．求证：GH∥平面ABC．典例3转化思想在线线、线面垂直中的应用[解析](1)连接ED，因为AB＝BC，AE＝EC，D为AC的中点，所以AC⊥DE，AC⊥DB，DE∩DB＝D，又EF∥DB，所以E，F，B，D四点共面，所以AC⊥平面EFBD，所以AC⊥FB．(2)取FC中点I，连接GI，HI，则有GI∥EF，HI∥BC，又EF∥DB，所以GI∥BD，又GI∩HI＝I，BD∩BC＝B，所以，平面GHI∥平面ABC，因为GH⊂平面GHI，所以GN∥平面ABC．〔跟踪练习3〕如图，△ABC是正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE＝AB＝2a，CD＝a，F是BE的中点．求证：(1)DF∥平面ABC；(2)AF⊥BD．[解析](1)取AB的中点G，连接FG、CG，可得FG∥AE，FG＝12AE．∵CD⊥平面ABC，AE⊥平面ABC，∴CD∥AE．又∵CD＝12AE，∴FG∥CD，FG＝CD．∵FG⊥平面ABC，∴四边形CDFG是矩形，DF∥CG，又CG⊂平面ABC，DF⊄平面ABC，∴DF∥平面ABC．(2)由(1)知CG⊥GF，又CG⊥AB，∴CG⊥平面ABE，∴CG⊥AF，DF∥CG，∴AF⊥DF，在Rt△ABE中，AE＝AB，F为AE中点，AF⊥BE，∴AF⊥平面BDF，∴AF⊥BD．已知a⊄α，a⊥b，b⊥α，求证a∥α．[错解]∵b⊥α，a⊥b，∴a⊂α或a∥α．又∵a⊄α，∴a∥α．[错因分析]推理过程逻辑不严密，理由与结论衔接不恰当．[思路分析]本题垂直关系比较分散，不能按平面几何的方法进行论证，应将其集中到一个平面内，然后用平面几何知识解决．典例4推理过程不严密，张冠李戴，理由与结论衔接不恰当[正解]如图，在a上任取一点A，过点A作直线b′∥b.设b′∩α＝B，过直线a，b′作平面β，β∩α＝l．∵b⊥α，∴b⊥l．又∵b⊥a，b∥b′，∴b′⊥a，b′⊥l．又∵a，l同在β内，∴a∥l．又∵a⊄α，l⊂α，∴a∥α．1．△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l、m的位置关系是()A．相交B．平行C．异面D．不确定[解析]∵AB⊂α，AC⊂α，l⊥AB，l⊥AC，AB∩AC＝A，∴l⊥α．又∵BC⊂α，m⊥BC，m⊥AC，BC∩BC＝C，∴m⊥α，∴l∥m．B2．已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，如图所示，且AF＝DE，AD＝6，则EF＝_____．[解析]因为AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，所以AF∥DE，又AF＝DE，所以四边形AFED是平行四边形，所以EF＝AD＝6．63．如图，α∩β＝l，PA⊥α，PB⊥β，垂足分别为A、B，a⊂α，a⊥AB．求证：a∥l．[证明]∵PA⊥α，l⊂α，∴PA⊥l，同理PB⊥l．∵PA∩PB＝P，∴l⊥平面PAB．∵PA⊥α，a⊂α，∴PA⊥a．∵a⊥AB，PA∩AB＝A，∴a⊥平面PAB．∴a∥l．