2019-2020学年高中数学 第2讲 直线与圆的位置关系 第2课时 圆内接四边形的性质与判定定理课

第2课时圆内接四边形的性质与判定定理1．圆内接四边形的性质定理1：圆的内接四边形的对角______．2．圆内接四边形的性质定理2：圆的内接四边形的外角______它的内角的对角．3．圆内接四边形的判定定理：如果一个四边形的对角______，那么这个四边形的四个顶点共圆．4．推论：如果四边形的一个外角______它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．互补等于互补等于1．已知四边形ABCD是圆内接四边形，下列结论中正确的有()①如果∠A＝∠C，则∠A＝90°；②如果∠A＝∠B，则四边形ABCD是等腰梯形；③∠A的外角与∠C的外角互补；④如果AB∥CD，则四边形ABCD是矩形．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B2．圆内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是()A．4∶2∶3∶1B．4∶3∶1∶2C．4∶1∶3∶2D．以上都不对【答案】B3．若BE和CF是△ABC的边AC和AB边上的高，则____________四点共圆．【答案】B，C，E，F4．若圆内接四边形中3个相邻的内角比为5∶6∶4，则这个四边形中最大的内角为________，最小的内角为________．【答案】120°60°【例1】如图所示，四边形ABCD为圆O的内接四边形，点E为AB延长线上一点，∠CBE＝40°，求∠AOC的度数．【解题探究】利用圆内接四边形的性质和圆心角定理求解．圆内接四边形的性质【解析】∵四边形ABCD为圆O的内接四边形，∴由圆内接四边形的性质定理，可知∠D＝∠CBE＝40°.由圆心角定理，可得∠AOC＝2∠D＝80°.圆内接四边形的对角互补，圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．涉及圆的角度计算一般都要联系圆周角定理和圆心角定理．1．如图所示，四边形ABCD是圆O的内接四边形，过C作CE∥AB交AD的延长线于E，那么下列各角中与∠BCE互补的是()A．∠BADB．∠ADCC．∠CDED．∠DEC【答案】C【解析】由CE∥AB，可知∠BCE与∠ABC互补．由圆内接四边形的性质可知∠ABC＝∠CDE.所以∠CDE与∠BCE互补．【例2】如图所示，AD是△ABC的BC边上的高，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F为垂足．求证：E，B，C，F四点共圆．【解题探究】利用圆内接四边形的判定定理或其推论证明．圆内接四边形的判定【解析】方法一：如图所示，连接EF.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED＋∠AFD＝90°＋90°＝180°.∴A，E，D，F四点共圆．∴∠DEF＝∠DAF.∴∠BEF＋∠C＝∠BED＋∠DEF＋∠C＝∠BED＋∠DAF＋∠C＝90°＋90°＝180°.∴E，B，C，F四点共圆．方法二：如图所示，连接EF.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED＋∠AFD＝90°＋90°＝180°.∴A，E，D，F四点共圆．∴∠DEF＝∠DAF.∵∠AEF＝90°－∠DEF＝90°－∠DAF＝∠C，∴E，B，C，F四点共圆．证明四点共圆的一般方法是证明四边形的对角互补或证明某一个外角等于其内对角．2．(2015年兰州模拟)如图，在正△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上且BD＝13BC，CE＝13CA，AD，BE相交于点P.求证：四点P，D，C，E共圆．【解析】在△ABC中，由BD＝13BC，CE＝13CA，AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠BCA＝60°，∴△ABD≌△BCE.∴∠ADB＝∠BEC，即∠ADC＋∠BEC＝180°.∴四点P，D，C，E共圆.【例3】如图所示，已知AP是⊙O的切线，P为切点，AC是⊙O的割线，与⊙O交于B，C两点，圆心O在∠PAC的内部，点M是BC的中点．(1)求证：A，P，O，M四点共圆；(2)求∠OAM＋∠APM的大小．【解题探究】利用圆内接四边形的判定定理或其推论证明．圆内接圆边形的综合问题【解析】(1)证明：如图所示，连接OP，OM.因为AP与⊙O相切于点P，所以OP⊥AP.因为M是⊙O的弦BC的中点，所以OM⊥BC．于是∠OPA＋∠OMA＝180°.由圆心O在∠PAC的内部，可知四边形APOM的对角互补，所以A，P，O，M四点共圆．(2)由(1)知A，P，O，M四点共圆，所以∠OAM＝∠OPM.由(1)得OP⊥AP，由圆心O在∠PAC的内部，可知∠OPM＋∠APM＝90°，所以∠OAM＋∠APM＝90°.第(2)问往往要利用(1)的结果，只要想到同弧所对的圆周角相等，即∠OAM＝∠OPM即可．3．(2016年衡水月考)如图所示，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC的顶点重合．已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2－14x＋mn＝0的两个根．(1)求证：C，B，D，E四点共圆；(2)若∠A＝90°，m＝4，n＝6，求C，B，D，E所在圆的半径．【解析】(1)证明：连接DE，根据题意在△ADE和△ACB中，AD×AB＝mn＝AE×AC，即ADAC＝AEAB.又∠DAE＝∠CAB，从而△ADE∽△ACB，因此∠ADE＝∠ACB，所以C，B，D，E四点共圆．(2)m＝4，n＝6时，方程x2－14x＋mn＝0的两根为x1＝2，x2＝12.故AD＝2，AB＝12.如图所示，取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH.因为C，B，D，E四点共圆，所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH.由于∠A＝90°，故GH∥AB，HF∥AC．所以HF＝AG＝5，DF＝12×(12－2)＝5.所以DH＝52.故C，B，D，E四点所在圆的半径为52.1．由圆内接四边形的判定和性质，可知不是所有的四边形都有外接圆．2．除圆内接四边形的判定定理及其推论外，还可以用以下方法判定圆的内接四边形：(1)如果一个四边形的四个顶点与某定点等距离，那么这个四边形内接于以该点为圆心的一个圆．(2)若有两个同底的三角形，另一顶点都在底的同旁且顶角相等，那么这两个三角形有公共的外接圆．