2019-2020学年高中数学 第2讲 讲明不等式的基本方法 第1课时 比较法课件 新人教A版选修4

第1课时比较法1．利用a＞b⇔__________，将证明a＞b转化为证明差值__________．2．利用________且________，则________，将证明a＞b，b＞0转化为证明比值__________．a－b＞0a－b＞0a＞bb＞0ab＞1ab＞11．已知下列不等式：(1)x2＋3＞2x(x∈R)；(2)a2＋b2≥2(a－b－1)(a，b∈R)；(3)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)．其中正确的个数为()A．1个B．2个C．3个D．0个【答案】C【解析】(1)x2＋3－2x＝(x－1)2＋2≥2＞0，∴x2＋3＞2x.(2)a2＋b2－2(a－b－1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，故a2＋b2≥2(a－b－1)(a，b∈R)．(3)a2＋b2＋c2－ab－bc－ca＝12[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]≥0，∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋cA．2．log23与log34的大小关系是()A．log23＞log34B．log23＜log34C．log23＝log34D．无法确定【答案】A【解析】显然log23＞0，log34＞0，又log34log23＝log34·log32＜log34＋log3222＝log3822＜log3922＝1，所以log23＞log34.3．已知b千克盐水中含盐a千克(b＞a)，现再加盐m(m＞0)千克，若加盐前盐水的浓度为M，加盐后盐水的浓度为N，则M，N大小关系是__________________．【答案】M＜N【解析】由已知得M＝ab，N＝a＋mb＋m，所以M－N＝ab－a＋mb＋m＝a－bmbb＋m.又b＞a，m＞0，所以a－bmbb＋m＜0，即M－N＜0.所以M＜N.4．给出函数f(x)＝x2，对任意x1，x2∈R，且x1≠x2，试比较12[f(x1)＋f(x2)]与fx1＋x22的大小关系．【解析】设y1＝12[f(x1)＋f(x2)]＝12(x21＋x22)，y2＝fx1＋x22＝x1＋x222，∴y1－y2＝12(x21＋x22)－x1＋x222＝x21－2x1x2＋x224＝x1－x224≥0.∵x1≠x2，∴12[f(x1)＋f(x2)]＞fx1＋x22.【例1】设A＝1＋2x4，B＝2x3＋x2，x∈R，比较A，B的大小．【解题探究】注意到A，B都是多项式，比较其大小宜用作差比较法．多项式大小的比较【解析】∵A－B＝1＋2x4－(2x3＋x2)＝2x3(x－1)－(x2－1)＝(x－1)(2x3－x－1)＝(x－1)(x3－1＋x3－x)＝(x－1)2(2x2＋2x＋1)＝(x－1)2[x2＋(x＋1)2]≥0，∴A≥B.作差比较的关键是变形，一般来说变形要“到位”，同时尽可能是积的结构或一次因式的形式．1．已知a0，b0，a≠b，求证：a3＋b3＞a2b＋ab2.【证明】(作差法)a3＋b3－(a2b＋ab2)＝(a＋b)(a2－ab＋b2)－ab(a＋b)＝(a＋b)(a2－2ab＋b2)＝(a＋b)(a－b)2.∵a，b∈R＋，a≠b，∴a＋b＞0，(a－b)2＞0.∴(a＋b)(a－b)2＞0，即a3＋b3＞(a2b＋ab2)．【例2】已知a＞2，求证：loga(a－1)＜log(a＋1)A．【解题探究】由于不等式两边对数的底数不同，故不宜采用作差比较法，适合用作商比较法．作商比较法证明不等式【解析】∵a＞2，∴a－1＞1，loga(a－1)＞0，log(a＋1)a＞0.∴logaa－1loga＋1a＝loga(a－1)·loga(a＋1)＜logaa＋1＋logaa－122＝logaa2－122.∵a＞2，∴0＜loga(a2－1)＜logaa2＝2.∴logaa2－122＜logaa222＝1.又log(a＋1)a＞0，∴loga(a－1)＜log(a＋1)A．通常幂指型或不是同底的对数型宜用作商比较法．2．已知a＞b＞c＞0，求证：aabbcc＞(abc)13(a＋b＋c)．【证明】(作商法)aabbccabc13(a＋b＋c)＝a2a－b－c3·b2b－a－c3c2c－b－a3＝aa-b3＋a-c3·bb-a3＋b-c3·cc-a3＋c-b3＝aba-b3·aca-c3·bcb-c3.∵a＞b＞0，∴ab＞1，aba-b3＞1.同理可证aca-c3＞1，bcb-c3.＞1.∴aabbccabc13(a＋b＋c)＞1，即aabbcc＞(abc)13(a＋b＋c)．【例3】设f(x)＝1＋logx3，g(x)＝2logx2(x＞0，x≠1)，试比较f(x)与g(x)的大小．【解题探究】注意到是同底的对数采用作差比较法．作差比较法证明不等式【解析】∵f(x)－g(x)＝logx3x－logx4＝logx3x4，(1)当x＞1，3x4＞1或0＜x＜1，0＜3x4＜1，即x＞43或0＜x＜1时，logx3x4＞0，∴f(x)＞g(x)．(2)当x＞1，0＜3x4＜1或0＜x＜1，3x4＞1，即1＜x＜43时，logx3x4＜0，∴f(x)＜g(x)．(3)当x＝43时，logx3x4＝0，∴f(x)＝g(x)．故当x＞43或0＜x＜1时，f(x)＞g(x)；当1＜x＜43时，f(x)＜g(x)；当x＝43时，f(x)＝g(x)．因对数的底数大小没有确定，所以要分类讨论．注意讨论要全面．3．设a＞0，b＞0，求证：a2b＋b2a≥a＋b.【证明】(作差法)a2b＋b2a－(a＋b)＝a3＋b3－aba＋bab＝a＋ba－ab＋b－aba＋bab＝a＋ba－2ab＋bab＝a＋ba－b2ab.∵a＞0，b＞0，∴a＋b＞0，(a－b)2≥0，ab＞0.∴a2b＋b2a－(a＋b)≥0，即a2b＋b2a≥(a＋b)．1．作差法证明不等式的关键是作差后变形，通常是通过配方、因式分解、通分或有理化等进行恒等变形，尽可能使得变形后结果是积的结构且是一次因式的形式，得到一个明显能确定其符号的代数式．2．作商比较法即把不等式两边相除，转化为比较所得商式与1的大小关系．