2019-2020学年高中数学 第2讲 参数方程本讲整合提升课件 新人教A版选修4-4

第二讲参数方程本讲整合提升参数方程化为普通方程主要利用“消元法”消参，常用代入法、整体消元法，在参数方程化为普通方程时，要注意保持同解变形和分类讨论思想的应用．1曲线的参数方程与普通方程的互化专题已知参数方程x＝t＋1tsinθ，①y＝t－1tcosθ，②(t≠0)．(1)若t为常数，θ为参数，方程所表示的曲线是什么？(2)若θ为常数，t为参数，方程所表示的曲线是什么？【解】(1)当t≠±1时，由①得sinθ＝xt＋1t，由②得cosθ＝yt－1t.∴x2t＋1t2＋y2t－1t2＝1.它表示中心在原点，长轴长为2t＋1t，短轴长为2t－1t，焦点在x轴上的椭圆．当t＝±1时，y＝0，x＝±2sinθ，x∈[－2,2]，它表示在x轴上[－2,2]的一段线段．(2)当θ≠kπ2(k∈Z)时，由①得xsinθ＝t＋1t.由②得ycosθ＝t－1t.平方相减得x2sin2θ－y2cos2θ＝4，即x24sin2θ－y24cos2θ＝1，它表示中心在原点，实轴长为4|sinθ|，虚轴长为4|cosθ|，焦点在x轴上的双曲线．当θ＝kπ(k∈Z)时，x＝0，它表示y轴；当θ＝kπ＋π2(k∈Z)时，y＝0，x＝±t＋1t.∵t＋1t≥2(t0)或t＋1t≤－2(t0)，∴|x|≥2.∴方程为y＝0(|x|≥2)，它表示x轴上以(－2,0)和(2,0)为端点的向左、向右的两条射线．2圆锥曲线的参数方程及其应用专题解决与圆、椭圆、双曲线、抛物线上的点有关的问题时，常将这些点的坐标设成参数形式．这样可以减少自变量，简化解题过程．(2019·聊城期中)已知在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝2cosα，y＝2sinα(α为参数)，直线l的参数方程为x＝a－25t，y＝－25t(t为参数，a∈R)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．(1)若a＝2，求直线l以及曲线C的极坐标方程；(2)已知M，N，P，Q均在曲线C上，且四边形MNPQ为矩形，求其周长的最大值．【解】(1)把曲线C的参数方程x＝2cosα，y＝2sinα(α为参数)化为普通方程为x24＋y22＝1.∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴ρ2cos2θ4＋ρ2sin2θ2＝1，整理化简，得ρ2＝41＋sin2θ，∴曲线C的极坐标方程为ρ2＝4sin2θ＋1.当a＝2时，直线l的参数方程为x＝2－25t，y＝－25t(t为参数)，消去参数t，得x－y－2＝0，化为极坐标方程为ρcosθ－ρsinθ－2＝0，∴直线l的极坐标方程为ρcosθ－π4＝2.(2)依题意，可取点M在第一象限，设M(2cosα，2sinα)0＜α＜π2，∴矩形MNPQ的周长为8cosα＋42sinα＝46sin(α＋φ)(其中tanφ＝2)．∴矩形MNPQ的周长的最大值为46.在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为x＝cosθ，y＝sinθ(θ为参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．(1)求α的取值范围；(2)求AB中点P的轨迹的参数方程．【解】(1)⊙O的直角坐标方程为x2＋y2＝1.当α＝π2时，l与⊙O交于两点，当α≠π2时，即tanα＝k，则l的方程为y＝kx－2，即kx－y－2＝0.l与⊙O交于两点，当且仅当21＋k21，解得k－1或k1，即α∈π4，π2或α∈π2，3π4.综上，α的取值范围是π4，3π4.(2)l的参数方程为x＝tcosα，y＝－2＋tsinαt为参数，π4α3π4.设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tP＝tA＋tB2，且tA，tB满足t2－22tsinα＋1＝0.于是tA＋tB＝22sinα，tP＝2sinα.又点P的坐标(x，y)满足x＝tPcosα，y＝－2＋tPsinα，所以AB中点P的轨迹的参数方程为x＝22sin2α，y＝－22－22cos2αα为参数，π4α3π4.3直线和圆的参数方程及其应用专题由于直线的参数方程x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα(t为参数)中参数t的几何意义非常明显，应用也相当广泛，它与圆锥曲线结合，可解决有关弦长、中点等问题．(2019·衡水期中)已知在直线坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝1＋4cosθ，y＝2＋4sinθ(θ为参数)，直线l经过定点P(3,5)，倾斜角为π3.(1)写出直线l的参数方程和曲线C的标准方程；(2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|PA|·|PB|的值．【解】(1)由曲线C的参数方程x＝1＋4cosθ，y＝2＋4sinθ(θ为参数)，得曲线C的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝16.直线l经过定点P(3,5)，倾斜角为π3，直线l的参数方程为x＝3＋12t，y＝5＋32t(t为参数)．(2)将直线的参数方程代入x2＋y2－2x－4y－11＝0，整理得t2＋(2＋33)t－3＝0，设方程的两根分别为t1，t2，则t1t2＝－3，因为直线l与曲线C相交于A，B两点，所以|PA|·|PB|＝|t1t2|＝3.(2019·重庆一中期末)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是x＝1＋2cosα，y＝2sinα(α为参数)，以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为3ρsinθ－ρcosθ＋m＝0.(1)写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；(2)设点P(m,0)，直线l与曲线C相交于A，B两点，且|PA|·|PB|＝1，求实数m的值．【解】(1)x＝1＋2cosα，y＝2sinα⇒(x－1)2＋y2＝2.故曲线C的普通方程为(x－1)2＋y2＝2.直线l的直角坐标方程为3y－x＋m⇒y＝33(x－m)．(2)直线l的参数方程可以写为x＝m＋32t，y＝12t(t为参数)．设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程(x－1)2＋y2＝2，可以得到m＋32t－12＋12t2＝2，即t2＋3(m－1)t＋(m－1)2－2＝0，所以|PA|·|PB|＝|t1|·|t2|＝|(m－1)2－2|＝1⇒|m2－2m－1|＝1，解得m＝1±3或m＝0或m＝2.