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第8课时渐开线与摆线1.圆的渐开线把一条没有弹性的细绳绕在一个固定不动的圆盘的侧面上,把绳拉紧逐渐展开,绳的外端点随之移动,且绳的拉直部分始终和圆相切,绳的端点移动的轨迹就是一条圆的渐开线,相应的定圆称为渐开线的基圆.圆的渐开线的参数方程__________________(φ是参数).x=rcosφ+φsinφ,y=rsinφ-φcosφ2.摆线的参数方程________________(φ是参数).x=rφ-sinφ,y=r1-cosφ1.关于渐开线和摆线的叙述,正确的是()A.只有圆才有渐开线B.渐开线和摆线的定义是一样的,只是绘图的方法不一样,所以才得到了不同的图形C.正方形也可以有渐开线D.对于同一个圆,如果建立的直角坐标系的位置不同,画出的渐开线形状就不同【答案】C【解析】不仅圆有摆线,其他图形如:椭圆、正方形都有渐开线;渐开线和摆线的定义虽然从字面上有相似之处,但实质上完全不一样,所以图形也不同;对于同一个圆不管在什么地方建立直角坐标系,画出的图形的大小和形状是一样的,只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同.2.半径为3的圆的摆线上某点的纵坐标为0,那么它的横坐标可能是()A.πB.2πC.12πD.14π【答案】C【解析】将y=0代入摆线的参数方程得cosφ=1,所以φ=2kπ(k∈Z),而x=3φ-3sinφ=6kπ(k∈Z).故选C.3.圆的渐开线方程的参数方程是x=cosφ+φsinφ,y=sinφ-φcosφ(φ是参数),则此渐开线对应的基圆的直径是________,当参数φ=π4时对应的曲线上的点的坐标为________.【答案】222+28π,22-28π【解析】r=1,∴2r=2.将φ=π4代入曲线的参数方程得x=22+28π,y=22-28π.4.已知一个圆的摆线方程是x=4φ-4sinφ,y=4-4cosφ(φ是参数),求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程.【解析】根据圆的摆线方程可知圆的半径为4,所以面积S=16π.该圆对应的渐开线的参数方程为x=4cosφ+φsinφ,y=4sinφ-φcosφ(φ是参数).【例1】已知圆的直径为2,其渐开线的标准参数方程对应的曲线上两点A,B对应的参数分别是π3,π2,求A,B两点的坐标.圆的渐开线的参数方程【解题探究】根据圆的直径可知渐开线的参数方程,将φ=π3,π2代入参数方程即可求得对应的A,B两点的坐标.【解析】由题意知r=1,得圆的渐开线的参数方程为x=cosφ+φsinφ,y=sinφ-φcosφ(φ是参数).当φ=π3时,x=cosπ3+π3sinπ3=12+36π,y=sinπ3-π3cosπ3=32-π6,∴A12+36π,32-π6.当φ=π2时,x=cosπ2+π2sinπ2=π2,y=sinπ2-π2cosπ2=1,∴Bπ2,1.由于渐开线的参数方程较为复杂,所以在计算时需仔细.由于渐开线的参数方程较为复杂,所以在计算时需仔细.1.给出某渐开线的参数方程x=3cosφ+3φsinφ,y=3sinφ-3φcosφ(φ为参数),根据参数方程可以看出该渐开线的基圆半径是____,当参数φ取π2时对应的曲线上的点的坐标是________.【答案】3π2,3【解析】本题考查对渐开线参数方程的理解.根据一般情况下基圆半径为r的渐开线的参数方程x=rcosφ+φsinφ,y=rsinφ-φcosφ(φ为参数)进行对照可知,这里的r=3,即基圆半径是3.然后把φ=π2分别代入x和y,可得x=3π2,y=3,即得对应的点的坐标.【例2】已知一个圆的摆线过一定点(1,0),写出该摆线的参数方程.【解题探究】只需求出圆的半径,即可知道摆线的参数方程,即摆线的参数方程由圆的半径唯一确定.可先把点(1,0)代入参数方程中求出半径r,再代入参数方程中求出方程的表达式.圆的摆线的参数方程【解析】令r(1-cosφ)=0,可得cosφ=1,所以φ=2kπ(k∈Z),代入可得,x=r(2kπ-sin2kπ)=1,所以r=12kπ.又根据实际情况,可知r是圆的半径,故r>0,所以应有k>0且k∈Z,即k∈N*.所以所求摆线的参数方程是x=12kπφ-sinφ,y=12kπ1-cosφ(φ是参数)(其中k∈N*).本题易错点是误把点(1,0)中的1或0当成φ的值,代入参数方程中求出x和y的值;或者在求出cosφ=1后,直接得出φ=0,从而导致答案不全面.2.已知一个圆的摆线过一定点(2,0),请写出当圆的半径最大时该摆线的参数方程和对应的圆的渐开线的标准方程.【解析】令y=0,得r(1-cosφ)=0,即得cosφ=1,所以φ=2kπ(k∈Z).代入得x=r(2kπ-sin2kπ)=2,即得r=1kπ(k∈Z).又因为r0,所以r=1kπ(k∈N*),易知,当k=1时,r最大值为1π.代入即可得,圆的摆线的参数方程是x=1πφ-sinφ,y=1π1-cosφ(φ为参数),圆的渐开线的参数方程是x=1πcosφ+φsinφ,y=1πsinφ-φcosφ(φ为参数).【例3】已知A是圆的渐开线x=2cosφ+φsinφ,y=2sinφ-φcosφ(φ是参数)上一动点,B(8π,8π),求AB的中点C的参数方程.【解题探究】巧妙地利用点A在圆的渐开线上是本题的关键.通过参数方程求轨迹方程【解析】设A(2(cosφ+φsinφ),2(sinφ-φcosφ)),C(x,y),则x=8π+2cosφ+φsinφ2=4π+cosφ+φsinφ,y=8π+2sinφ-φcosφ2=4π+sinφ-φcosφ,所以点C的参数方程为x=4π+cosφ+φsinφ,y=4π+sinφ-φcosφ(φ为参数).利用已知参数方程求动点的轨迹方程较为简单.3.我们知道关于直线y=x对称的两个函数互为反函数,则圆的摆线x=rφ-sinφ,y=r1-cosφ(φ为参数)关于直线y=x对称的曲线的参数方程为________.【答案】x=r1-cosφ,y=rφ-sinφ(φ为参数)【解析】关于直线y=x对称的函数互为反函数,而求反函数的过程主要体现了x与y的互换.所以要写出摆线方程关于直线y=x的对称曲线方程,只需把其中的x与y互换.在圆的渐开线和摆线的参数方程中,r是指圆的半径,φ是相应的参数值,在解题过程中,当给足r和φ值时,代入相应的参数方程,可求出点的坐标方程.
本文标题:2019-2020学年高中数学 第2讲 参数方程 第8课时 渐开线与摆线课件 新人教A版选修4-4
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