2019-2020学年高中数学 第2讲 参数方程 第4课时 椭圆的参数方程课件 新人教A版选修4-4

第4课时椭圆的参数方程椭圆的参数方程(1)中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，参数方程为______________(φ为参数)；x＝acosφ，y＝bsinφ(2)圆的参数方程x＝rcosθ，y＝rsinθ(θ为参数)中，参数θ是动点M(x，y)的________，但在椭圆的参数方程中参数φ不是动点M(x，y)的旋转角，是点M所对应的圆的半径OA(或OB)的旋转角，称为________，如图；(3)通常规定φ∈________；旋转角离心角[0,2π)(4)中心在点(m，n)的椭圆方程，如：x－m2a2＋y－n2b2＝1(a＞b＞0)的参数方程可表示为______________(φ为参数)；(5)中心在原点，焦点在y轴上的椭圆的标准方程为y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)，参数方程为__________(φ为参数)．x＝m＋acosφ，y＝n＋bsinφx＝bcosφ，y＝asinφ1．椭圆x＝5cosθ，y＝2sinθ(θ为参数)的焦距为()A．21B．221C．29D．229【答案】B【解析】由参数方程得a＝5，b＝2，所以c＝52－22＝21，焦距为2c＝221．2．曲线的参数方程为x＝2cosθ，y＝3sinθ(θ为参数)，下列点在曲线上的是()A．(2,3)B．(2,0)C．(1,3)D．0，π2【答案】B【解析】化为普通方程为y29＋x24＝1，则点(2,0)满足方程．3．椭圆x216＋y29＝1化为参数方程是________________．【答案】x＝4cosφ，y＝3sinφ(φ为参数)【解析】椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，参数方程为x＝acosφ，y＝bsinφ(φ为参数)，x216＋y29＝1中a＝4，b＝3，所以参数方程为x＝4cosφ，y＝3sinφ(φ为参数)．4．如下图，在椭圆x225＋y216＝1中内接矩形，问内接矩形的最大面积是多少？【解析】椭圆的参数方程为x＝5cosθ，y＝4sinθ(0≤θ＜2π)，设第一象限内椭圆上的点M(x，y)，由椭圆的对称性，知内接矩形的面积为S＝4xy＝4·5cosθ·4sinθ＝40sin2θ．当sin2θ＝1，即θ＝π4时，面积的最大值Smax＝40，此时x＝5cosπ4＝522，y＝4sinπ4＝22．【例1】已知椭圆的参数方程为x＝2cost，y＝4sint(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t＝π3，点O为原点，求直线OM的斜率．【解题探究】将参数的值直接代到参数方程中，即可求出对应点M的坐标，再利用斜率公式求出直线的斜率．椭圆的参数方程【解析】点M的坐标为x＝2cosπ3＝1，y＝4sinπ3＝23，直线OM的斜率为k＝yx＝231＝23．参数方程x＝2cost，y＝4sint(t为参数)化为普通方程得x24＋y216＝1，表示的曲线是中心在原点，焦点在y轴的椭圆．1．二次曲线x＝5cosθ，y＝3sinθ(θ是参数)的左焦点的坐标是________．【答案】(－4,0)【解析】题中二次曲线的普通方程为x225＋y29＝1，左焦点为(－4,0)．【例2】在平面直角坐标系xOy中，点P(x，y)是椭圆x23＋y2＝1上的一个动点，求S＝x＋y的最大值．【解题探究】由于已知条件椭圆为二次式，而所求为一次式，所以要求S＝x＋y的最大值，需要把椭圆的方程改写为参数方程，变为一次运用代入求之．椭圆的最值问题【解析】∵椭圆x23＋y2＝1的参数方程为x＝3cosφ，y＝sinφ(φ为参数)，∴可设动点的坐标为(3cosφ，sinφ)，其中φ∈[0,2π)．因此S＝x＋y＝3cosφ＋sinφ＝232cosφ＋12sinφ＝2sinπ3＋φ．所以当sinπ3＋φ＝1，即φ＝π6时，S取最大值2．在所求函数为一次，而已知为二次时，常常用曲线的参数方程求出，其实质为换元或为三角代换，目的就是降次．2.(2018年潍坊模拟)在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系.设曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的极坐标方程为ρcosθ－π4＝22.(1)写出曲线C的普通方程；(2)求曲线C上的点到直线l的最大距离.【解析】(1)由得C的普通方程为x23＋y2＝1.(2)由ρcosθ－π4＝22，得ρ(cosθ＋sinθ)＝4，∴直线l的直角坐标方程为x＋y－4＝0.在曲线C上任取一点P(3cosθ，sinθ)，则点P到直线l的距离为d＝|3cosθ＋sinθ－4|2＝2sinθ＋π3－42≤32.∴曲线C上的点到直线l的最大距离为32.【例3】已知A，B分别是椭圆x236＋y29＝1的右顶点和上顶点，动点C在该椭圆上运动，求△ABC的重心G的轨迹的普通方程．【解题探究】因点C在该椭圆上，可设为(x1，y1)，代入椭圆方程中，也可直接设(6cosθ，3sinθ)形式．椭圆的轨迹问题【解析】由题可得A(6,0)，B(0,3)，因为点C在该椭圆上运动，故可设点C的坐标为(6cosθ，3sinθ)，点G(x，y)，由重心坐标公式可得x＝6＋0＋6cosθ3＝2＋2cosθ，y＝0＋3＋3sinθ3＝1＋sinθ.又由sin2θ＋cos2θ＝1得x－224＋(y－1)2＝1，即为所求的轨迹方程．运用参数方程有时可简化解题过程．本题关键是要知道三角形重心公式：△ABC的顶点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，重心坐标为x1＋x2＋x33，y1＋y2＋y33．3．设F1，F2分别为椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点．(1)若椭圆C上的点A1，32到F1，F2距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；(2)设P是(1)中椭圆上的动点，求线段F1P的中点的轨迹方程．【解析】(1)由椭圆上点A到F1，F2的距离之和是4，得2a＝4，即a＝2.又点A1，32在椭圆上，因此14＋322b2＝1，得b2＝3，于是c2＝a2－b2＝1，所以椭圆C的方程为x24＋y23＝1，焦点坐标为F1(－1,0)，F2(1,0)．(2)由题易得椭圆C的参数方程为x＝2cosθ，y＝3sinθ(θ为参数)．设椭圆C上的动点P的坐标为(2cosθ，3sinθ)，线段F1P的中点坐标为(x，y)，则x＝2cosθ－12，y＝3sinθ＋02，所以x＋12＝cosθ，2y3＝sinθ．消去θ，得x＋122＋4y23＝1，这就是线段F1P的中点的轨迹方程．1．在利用x＝acosθ，y＝bsinθ(θ为参数)研究椭圆问题时，椭圆上的点的坐标可记作(acosθ，bsinθ)．2．椭圆的参数方程化为普通方程的主要方法：利用sin2θ＋cos2θ＝1．3．利用椭圆的参数方程形式可以求最值．4．椭圆的参数形式有多种，可通过消参转化为普通方程判断．