2019-2020学年高中数学 第2讲 参数方程 第3课时 参数方程和普通方程的互化课件 新人教A版

第3课时参数方程和普通方程的互化参数方程化为普通方程的常见方法(1)代入法：利用解方程的技巧求出参数t，然后代入消去参数；(2)三角法：利用三角恒等式消去参数；(3)整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去．1．方程x＝t2＋1，y＝t2－1(t为参数)表示的曲线是()A．抛物线B．直线C．射线D．线段【答案】C【解析】消去参数t得x－y－2＝0，x＝t2＋1≥1，所以表示的是一条射线．2．方程x＝sinθ，y＝cos2θ(θ为参数)所表示的曲线上的一个点的坐标是()A．(2，－7)B．(1,1)C．12，12D．12，－12【答案】C【解析】将参数方程化为普通方程得y＝1－2x2，x∈[－1，1]，代入验证得C满足．3.(2018年桂林期中)在平面直角坐标系中，曲线C：(t为参数)的普通方程为.4．设y＝t＋1，t为参数，把曲线的普通方程y2－x－2y＋1＝0化为参数方程．【解析】将y＝t＋1代入y2－x－2y＋1＝0得(t＋1)2－x－2(t＋1)＋1＝0，解得x＝t2，所求参数方程为x＝t2，y＝t＋1(t为参数)．【例1】把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线：(1)x＝3cosθ，y＝3sinθ0≤θ≤π2；(2)x＝1－3t，y＝4t(t为参数)．【解题探究】正余弦一般都利用sin2θ＋cos2θ＝1消参．将参数方程化为普通方程【解析】(1)∵x＝3cosθ，y＝3sinθ，两式平方相加，得x2＋y2＝9，又0≤θ≤π2，∴0≤cosθ≤1，即0≤x≤3，0≤sinθ≤1，即0≤y≤3.∴曲线是以原点为圆心，3为半径的圆的14部分．(2)∵x＝1－3t，y＝4t，∴由t＝y4代入x＝1－3t，得x＝1－3·y4．∴4x＋3y－4＝0．∴它表示过0，43和(1,0)的一条直线．一定要注意参数的范围，要在消参后使变量的范围不发生改变．1．把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线．(1)x＝1＋12t，y＝2＋32t(t为参数)；(2)x＝1＋t2，y＝2＋t(t为参数)．【解析】(1)由x＝1＋12t，得t＝2x－2．所以y＝2＋32(2x－2)，即3x－y＋2－3＝0，此方程表示直线．(2)由y＝2＋t，得t＝y－2．所以x＝1＋(y－2)2，即(y－2)2＝x－1，此方程表示抛物线．【例2】将普通方程4x2＋y2－16x＋12＝0化为参数方程．【解题探究】可先观察方程特点，再选择参数．将普通方程化为参数方程【解析】解法一：原方程可化为x2＋y24－4x＋3＝0，即(x－2)2＋y24＝1，令x－2＝cosθ，y＝2sinθ，则参数方程为x＝2＋cosθ，y＝2sinθ(0≤θ＜2π)．解法二：在曲线上取一点(1,0)，设过此点的直线方程为y＝k(x－1)，将y＝k(x－1)代入已知方程得(x－1)[(4＋k2)x－(12＋k2)]＝0，当x≠1时，x＝12＋k24＋k2，将其代入y＝k(x－1)中得y＝8k4＋k2．又因为(1,0)点也在曲线上，所以所求的参数方程是x＝12＋k24＋k2，y＝8k4＋k2(k为参数，k∈R)和x＝1，y＝0.解法一是根据方程的特征选择参数，称为直接法；解法二是给出x，y，k的关系式，代入方程将x，y分别用k表示出来，称为间接法．解法一明显简单很多．2．选取适当参数，把直线方程y＝2x＋3化为参数方程．【解析】选t＝x，则y＝2t＋3，由此得直线的参数方程x＝t，y＝2t＋3(t为参数，t∈R)．也可选t＝x＋1，则y＝2t＋1，参数方程为x＝t－1，y＝2t＋1(t为参数)．答案不唯一．【例3】已知曲线C1：x＝cosθ，y＝sinθ(θ为参数)，曲线C2：x＝22t－2，y＝22t(t为参数)．参数方程与普通方程的互化(1)指出C1，C2各是什么曲线，并说明C1与C2公共点的个数；(2)若把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C′1，C′2.写出C′1，C′2的参数方程．C′1，C′2公共点的个数和C1与C2公共点的个数是否相同？说明你的理由．【解题探究】可以通过消参数，求得曲线的普通方程判断．并由参数方程进行图象的变换，得到曲线C′1，C′2，再将其方程化为普通方程解方程组判断其交点的个数．【解析】(1)C1是圆，C2是直线．C1的普通方程为x2＋y2＝1，圆心C1(0,0)，半径r＝1．C2的普通方程为x－y＋2＝0．因为圆心C1到直线x－y＋2＝0的距离为1，所以C2与C1只有一个公共点．(2)压缩后的参数方程分别为C′1：x＝cosθ，y＝12sinθ(θ为参数)；C′2：x＝22t－2，y＝24t(t为参数)．化为普通方程为C′1：x2＋4y2＝1，C′2：y＝12x＋22，联立消元得2x2＋22x＋1＝0，其判别式Δ＝(22)2－4×2×1＝0，所以压缩后的直线C′2与椭圆C′1仍然只有一个公共点，和C1与C2公共点个数相同．本题较为综合的考查了参数方程和普通方程之间的转化，在研究图象的伸缩变换时用参数方程比较容易得到．而判断两曲线的位置关系则用普通方程通过解方程组得到较好．3．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x＝3＋12t，y＝32t(t为参数)．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝23sinθ．(1)写出C的直角坐标方程；(2)P为直线l上一动点，求点P到圆心C的最小距离．【解析】(1)由ρ＝23sinθ，得ρ2＝23ρsinθ，∴x2＋y2＝23y．∴圆C的直角坐标方程为x2＋(y－3)2＝3．(2)∵直线l的参数方程为x＝3＋12t，y＝32t(t为参数)，∴t＝2x－3，t＝233y，即直线l的方程为y＝3x－33．∵点P到圆心C的最小距离就是圆心到直线的距离，∴点P到圆心C的最小距离为d＝|0－3－33|32＋12＝23．【解析】(1)由ρ＝23sinθ，得ρ2＝23ρsinθ，∴x2＋y2＝23y．∴圆C的直角坐标方程为x2＋(y－3)2＝3．1．参数方程化为普通方程的过程就是消参过程．2．化参数方程为普通方程为F(x，y)＝0，在消参过程中注意变量x，y取值范围的一致性，必须根据参数的取值范围，确定f(t)和g(t)的值域，从而得x，y的取值范围．3．常见曲线的参数方程要熟悉，如：圆、椭圆、双曲线、抛物线以及过一已知点的直线，并明确各参数所表示的含义．在研究直线与它们的位置关系时常用的技巧是转化为普通方程解答．