2019-2020学年高中数学 第2讲 参数方程 4 渐开线与摆线课件 新人教A版选修4-4

第二讲参数方程四渐开线与摆线学习目标：1.借助教具或计算机软件，观察圆在直线上滚动时圆上定点的轨迹(平摆线)、直线在圆上滚动时直线上定点的轨迹(渐开线)，了解平摆线和渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程．(重点)2.通过阅读材料，了解其他摆线(变幅平摆线、变幅渐开线、外摆线、内摆线、环摆线)的生成过程；了解摆线在实际应用中的实例．(难点)自主探新知预习教材整理1渐开线及其参数方程阅读教材P40～P41“思考”及以上部分，完成下列问题．1．把线绕在圆周上，假设线的粗细可以忽略，拉着线头逐渐展开，保持线与圆相切，的轨迹就叫做圆的渐开线，相应的_______叫做渐开线的．基圆线头定圆2．设基圆的半径为r，圆的渐开线的参数方程是_______________________(φ为参数)．x＝rcosφ＋φsinφ，y＝rsinφ－φcosφ教材整理2摆线及其参数方程阅读教材P41～P42，完成下列问题．1．当一个圆沿着一条定直线滚动时，圆周上的一个_________的轨迹叫做，简称，又叫旋轮线．2．设圆的半径为r，圆滚动的角为φ，那么摆线的参数方程是x＝rφ－sinφ，y＝r1－cosφ(φ是参数)．摆线无滑动地定点运动平摆线r＝5φ－sinφ，y＝51－cosφ(φ为参数)表示的是()A．半径为5的圆的渐开线的参数方程B．半径为5的圆的摆线的参数方程C．直径为5的圆的渐开线的参数方程D．直径为5的圆的摆线的参数方程[解析]根据圆的渐开线与摆线的参数方程可知B正确．[答案]B合作提素养探究圆的渐开线的参数方程【例1】已知圆的直径为2，其渐开线的参数方程对应的曲线上两点A，B对应的参数分别是π3和π2，求A，B两点的距离．[思路探究]先写出圆的渐开线的参数方程，再把A，B对应的参数代入参数方程可得对应的A，B两点的坐标，然后使用两点之间的距离公式可得A，B之间的距离．[自主解答]根据条件可知圆的半径是1，所以对应的渐开线参数方程是x＝cosφ＋φsinφ，y＝sinφ－φcosφ(φ为参数)，分别把φ＝π3和φ＝π2代入，可得A，B两点的坐标分别为A3＋3π6，33－π6，Bπ2，1.那么，根据两点之间的距离公式可得A、B两点的距离为|AB|＝3＋3π6－π22＋33－π6－12＝1613－63π2－6π－363＋72.即A、B两点之间的距离为1613－63π2－6π－363＋72.根据渐开线的定义和求解参数方程的过程可知其中的字母r是指基圆的半径，参数φ是指绳子外端运动时绳子上的定点M相对于圆心的张角．1．当φ＝3π2，π2时，求出渐开线x＝cosφ＋φsinφ，y＝sinφ－φcosφ上的对应点A，B，并求出A，B的距离．[解]将φ＝3π2代入参数方程，得x＝－3π2，y＝－1.把φ＝π2代入方程，得x＝π2，y＝1.∴A－32π，－1，点Bπ2，1.因此|AB|＝π2＋32π2＋1＋12＝2π2＋1，故点A，B间的距离为2π2＋1.圆的摆线的参数方程【例2】已知一个圆的摆线过一定点(2,0)，请写出该圆的半径最大时该摆线的参数方程以及对应的圆的渐开线的参数方程．[思路探究]根据圆的摆线的参数方程x＝rφ－sinφ，y＝r1－cosφ(φ为参数)，只需把点(2,0)代入参数方程求出r的表达式，根据表达式求出r的最大值，再确定对应的摆线和渐开线的参数方程即可．[自主解答]令y＝0，可得r(1－cosφ)＝0，由于r0，即得cosφ＝1，所以φ＝2kπ(k∈Z)．代入x＝r(φ－sinφ)，得x＝r(2kπ－sin2kπ)．又因为x＝2，所以r(2kπ－sin2kπ)＝2，即得r＝1kπ(k∈Z)．又由实际可知r0，所以r＝1kπ(k∈N＋)．易知，当k＝1时，r取最大值为1π.代入即可得圆的摆线的参数方程为x＝1πφ－sinφ，y＝1π1－cosφ(φ为参数)圆的渐开线的参数方程为x＝1πcosφ＋φsinφ，y＝1πsinφ－φcosφ(φ为参数)．根据摆线的定义和求解参数方程的过程可知其中的参数φ是指圆上定点相对于定直线与圆的切点所张开的角度．2．已知一个圆的摆线方程是x＝4φ－4sinφy＝4－4cosφ，(φ为参数)，求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程．[解]首先根据摆线的参数方程可知圆的半径为4，所以面积为16π，该圆对应的渐开线的参数方程是：x＝4cosφ＋4φsinφ，y＝4sinφ－4φcosφ(φ为参数)．当堂固双基达标1．关于渐开线和摆线的叙述，正确的是()A．只有圆才有渐开线B．渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才得到了不同的图形C．正方形也可以有渐开线D．对于同一个圆，如果建立的平面直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状就不同[解析]不仅圆有渐开线，其他图形如椭圆、正方形也有渐开线；渐开线和摆线的实质是完全不一样的，因此得出的图形也不相同；对于同一个圆不论在什么地方建立平面直角坐标系，画出的图形的大小和形状都是一样的，只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同．故选C.[答案]C2．圆的渐开线x＝2cosφ＋φsinφ，y＝2sinφ－φcosφ(φ为参数)上与φ＝π4对应点的直角坐标为()A.1＋π4，1－π4B.1－π4，1＋π4C.－1－π4，1－π4D.1＋π4，－1－π4[答案]A3．圆x＝3cosθ，y＝3sinθ(θ为参数)的平摆线上一点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是()A．πB．3πC．6πD．10π[解析]根据条件可知圆的平摆线的参数方程为x＝3φ－3sinφ，y＝3－3cosφ(φ为参数)，把y＝0代入，得cosφ＝1，所以φ＝2kπ(k∈Z)．而x＝3φ－3sinφ＝6kπ(k∈Z)．[答案]C4．半径为4的圆的渐开线的参数方程是________．[解析]由圆的渐开线的参数方程x＝rcosφ＋φsinφ，y＝rsinφ－φcosφ得x＝4cosφ＋φsinφ，y＝4sinφ－φsinφ(φ为参数)．[答案]x＝4cosφ＋φsinφ，y＝4sinφ－φcosφ(φ为参数)5．给出直径为6的圆，分别写出对应的渐开线的参数方程和摆线的参数方程．[解]以圆的圆心为原点，一条半径所在的直线为x轴，建立直角坐标系．又圆的直径为6，所以半径为3，所以圆的渐开线的参数方程是x＝3cosφ＋3φsinφ，y＝3sinφ－3φcosφ(φ为参数)．以圆周上的某一定点为原点，以给定定直线所在的直线为x轴，建立直角坐标系，∴摆线的参数方程为x＝3φ－3sinφ，y＝3－3cosφ(φ为参数)．