2019-2020学年高中数学 第1章 坐标系 1 1.1 平面直角坐标系与曲线方程 1.2 平面直

第一章坐标系§1平面直角坐标系1.1平面直角坐标系与曲线方程1.2平面直角坐标轴中的伸缩变换学习目标：1.理解平面直角坐标系的作用．(重点)2.了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况．(重点)3.了解平面直角坐标系中直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等各种图形的代数表示．(易混点)自主探新知预习教材整理1平面直角坐标系与点的坐标在平面直角坐标系中，对于任意一点，都有唯一的_______________与之对应；反之，对于任意的___________________，都有唯一的点与之对应．即在平面直角坐标系中，和___________是一一对应的．有序实数对有序实数对(x，y)一个有序实数对(x，y)点判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在平面直角坐标系中，x轴上点的纵坐标都是0.()(2)在平面直角坐标系中，点和有序实数对是一一对应的．()(3)坐标(3,0)和(0,3)表示同一个点．()[解析](1)√(2)√(3)×因为(3,0)在x轴上，而(0,3)在y轴上．[答案](1)√(2)√(3)×教材整理2平面直角坐标系中曲线与方程的关系曲线可看作是的集合或轨迹，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线C上的都是方程f(x，y)＝0的；(2)以方程f(x，y)＝0的都在曲线C上．那么，方程f(x，y)＝0叫作曲线C的方程，曲线C叫作方程f(x，y)＝0的曲线．解为坐标的点解满足某些条件的点点的坐标填空：(1)x轴的直线方程为________．(2)以原点为圆心，以1为半径的圆的方程为____________．(3)方程2x2＋y2＝1表示的曲线是____________．[答案](1)y＝0(2)x2＋y2＝1(3)椭圆教材整理3平面直角坐标轴中的伸缩变换在平面直角坐标系中进行伸缩变换，即_____________________，将会对图形产生影响．改变x轴或y轴的单位长度判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果x轴的单位长度保持不变，y轴的单位长度缩小为原来的12，圆x2＋y2＝4的图形变为椭圆．()(2)平移变换既不改变形状，也不改变位置．()(3)在伸缩变换下，直线依然是直线．()[解析](1)√因为x2＋y2＝4的圆的形状变为方程x24＋y2＝1表示的椭圆．(2)×平移变换只改变位置，不改变形状．(3)√直线在平移和伸缩下依然为直线，但方程发生了变化．[答案](1)√(2)×(3)√合作提素养探究利用平面直角坐标系确定位置【例1】由甲导弹驱逐舰、乙导弹驱逐舰、丙综合补给舰组成的护航编队奔赴某海域执行护航任务，对商船进行护航．某日，甲舰在乙舰正东6千米处，丙舰在乙舰北偏西30°，相距4千米．某时刻甲舰发现商船的某种求救信号．由于乙、丙两舰比甲舰距商船远，因此4s后乙、丙两舰才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1km/s.若甲舰赶赴救援，行进的方位角应是多少？[精彩点拨]本题求解的关键在于确定商船相对于甲舰的相对位置，因此不妨用点A，B，C表示甲舰、乙舰、丙舰，建立适当坐标系，求出商船与甲舰的坐标，问题可解．[尝试解答]设A，B，C，P分别表示甲舰、乙舰、丙舰和商船．如图所示，以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，则A(3,0)，B(－3,0)，C(－5,23)．∵|PB|＝|PC|，∴点P在线段BC的垂直平分线上．kBC＝－3，线段BC的中点D(－4，3)，∴直线PD的方程为y－3＝13(x＋4)．①又|PB|－|PA|＝4，∴点P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，双曲线方程为x24－y25＝1(x≥2)．②联立①②，解得P点坐标为(8,53)．∴kPA＝538－3＝3.因此甲舰行进的方位角为北偏东30°.1．由于A，B，C的相对位置一定，解决问题的关键是如何建系，将几何位置量化，根据直线与双曲线方程求解．2．运用坐标法解决实际问题的步骤：建系→设点→列关系式(或方程)→求解数学结果→回答实际问题．1.已知某荒漠上有两个定点A，B，它们相距2km，现准备在荒漠上开垦一片以AB为一条对角线的平行四边形区域建成农艺园，按照规划，围墙总长为8km.(1)问农艺园的最大面积能达到多少？(2)该荒漠上有一条水沟l恰好经过点A，且与AB成30°的角，现要对整条水沟进行加固改造，但考虑到今后农艺园的水沟要重新改造，所以对水沟可能被农艺园围进的部分暂不加固，问：暂不加固的部分有多长？[解](1)设平行四边形的另两个顶点为C，D，由围墙总长为8km，得|CA|＋|CB|＝4|AB|＝2，由椭圆的定义知，点C的轨迹是以A，B为焦点，长轴长2a＝4，焦距2c＝2的椭圆(去除落在直线AB上的两点)．以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴，建立直角坐标系，则点C的轨迹方程为x24＋y23＝1(y≠0)．易知点D也在此椭圆上，要使平行四边形ABCD的面积最大，则C，D为此椭圆短轴的端点，此时，面积S＝23(km2)．(2)因为修建农艺园的可能范围在椭圆x24＋y23＝1(y≠0)内，故暂不需要加固水沟的长就是直线l：y＝33(x＋1)被椭圆截得的弦长，如图．因此，由y＝33x＋1，x24＋y23＝1⇒13x2＋8x－32＝0，那么弦长＝1＋k2|x1－x2|＝1＋332·－8132－4×－3213＝4813，故暂不加固的部分长4813km.平面直角坐标系中曲线方程的确定【例2】(1)已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为32，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，求椭圆G的方程；(2)在边长为2的正△ABC中，若P为△ABC内一点，且|PA|2＝|PB|2＋|PC|2，求点P的轨迹方程，并画出方程所表示的曲线．[精彩点拨]本题是曲线方程的确定与应用问题，考查建立平面直角坐标系、数形结合思想、曲线方程的求法及分析推理、计算化简技能、技巧等．解答此题中(1)需要根据已知条件用待定系数法求解；(2)需要先建立平面直角坐标系，写出各点的坐标，用直接法求解，再根据方程判定曲线类型画出其表示的曲线．[尝试解答](1)由已知设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，则2a＝12，知a＝6.又离心率e＝ca＝32，故c＝33.∴b2＝a2－c2＝36－27＝9.∴椭圆的标准方程为x236＋y29＝1.(2)以BC所在直线为x轴，BC的中点为原点，BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，设P(x，y)是轨迹上任意一点，又|BC|＝2，∴B(－1,0)，C(1,0)，则A(0，3)．∵|PA|2＝|PB|2＋|PC|2，∴x2＋(y－3)2＝(x＋1)2＋y2＋(x－1)2＋y2，化简得x2＋(x＋3)2＝4.又∵P在△ABC内，∴y0.∴P点的轨迹方程为x2＋(y＋3)2＝4(y0)．其曲线如图所示为以(0，－3)为圆心，半径为2的圆在x轴上半部分圆弧．求动点轨迹方程常用的方法有：(1)直接法：如果题目中的条件有明显的等量关系或者可以推出某个等量关系，即可直接求曲线的方程，步骤如下：①建立适当的平面直角坐标系，并用(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；②写出适合条件P的点M的集合P＝{M|P(M)}；③用坐标表示条件P(M)，写出方程f(x，y)＝0；④化简方程f(x，y)＝0；⑤检验或证明④中以方程的解为坐标的点都在曲线上，若方程的变形过程是等价的，则⑤可以省略．(2)定义法：如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可依定义写出轨迹方程．(3)代入法(相关点法)：如果动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x1，y1)，而Q(x1，y1)又在某已知曲线上，则可先列出关于x，y，x1，y1的方程组，利用x，y表示x1，y1，把x1，y1代入已知曲线方程即为所求．2．如图，四边形MNPQ是圆C的内接等腰梯形，向量CM→与PN→的夹角为120°，QC→·QM→＝2.(1)求圆C的方程；(2)求以M，N为焦点，过点P，Q的椭圆方程．[解](1)建立如图所示的平面直角坐标系，由题意得，△CQM为正三角形．∴·QM→＝r2·cos60°＝2，∴圆C的半径为2.又圆心为(0,0)，∴圆C的方程为：x2＋y2＝4.(2)由(1)知M(2,0)，N(－2,0)，Q(1，3)，∴2a＝|QN|＋|QM|＝23＋2，∴a＝3＋1，c＝2，∴b2＝a2－c2＝23，∴椭圆方程为：x24＋23＋y223＝1.平面直角坐标系中的伸缩变换[探究问题]1．在平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，直线变为什么图形？圆、椭圆、双曲线和抛物线呢？[提示]在平面经过伸缩变换，直线伸缩后仍为直线；圆伸缩后可能是圆或椭圆；椭圆伸缩后可能是椭圆或圆；双曲线伸缩后仍为双曲线；抛物线伸缩后仍为抛物线．2．平移变换与伸缩变换的区别是什么？[提示]平移变换区别于伸缩变换的地方就是：图形经过平移后只改变了位置，不会改变它的形状．3．在伸缩变换中，若x轴上的单位长度为y轴上单位长度的k倍后，变换后的坐标(x′，y′)与原坐标(x，y)有什么关系？[提示]一般地，在平面直角坐标系xOy中：使x轴上的单位长度为y轴上单位长度的k倍(k0)，则当k＝1时，x轴与y轴具有相同的单位长度；即为x′＝x，y′＝y的伸缩变换，当k1时，相当于x轴上的单位长度保持不变，y轴上的单位长度缩小为原来的1k，即为x′＝x，y′＝1ky的伸缩变换，当0k1时，相当于y轴上的单位长度保持不变，x轴上的单位长度缩小为原来的k倍，即为x′＝kx，y′＝y的伸缩变换．【例3】在下列平面直角坐标系中，分别作出x225＋y29＝1的图形：(1)x轴与y轴具有相同的单位长度；(2)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的2倍；(3)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的12倍．[精彩点拨]先按要求改变x轴或y轴的单位长度，建立平面直角坐标系，再在新坐标系中作出图形．[尝试解答](1)建立平面直角坐标系，使x轴与y轴具有相同的单位长度，则x225＋y29＝1的图形如图①.(2)如果x轴上的单位长度保持不变，y轴上的单位长度缩小为原来的12，则x225＋y29＝1的图形如图②.(3)如果y轴上的单位长度保持不变，x轴上的单位长度缩小为原来的12，则x225＋y29＝1的图形如图③.在平面直角坐标系中，改变x轴或y轴的单位长度会对图形产生影响，本题2中即为的伸缩变换，本题3中即为的伸缩变换.3．本例中，x225＋y29＝1不变，试在下列平面直角坐标系中，分别作出其图形：(1)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的53倍；(2)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的35倍．[解](1)如果x轴上的单位长度保持不变，y轴上的单位长度缩小为原来的35，则x225＋y29＝1的图形如图①.(2)如果y轴上的单位长度保持不变，x轴上的单位长度缩小为原来的35，则x225＋y29＝1的图形如图②.当堂固双基达标1．曲线C的方程为y＝x(1≤x≤5)，则下列四点中在曲线C上的是()A．(0,0)B.15，15C．(1,5)D．(4,4)[解析]将答案代入验证知D正确．[答案]D2．直角坐标系中到两坐标轴距离之差等于1的点的轨迹方程是()A．|x|－|y|＝1B．|x－y|＝1C．||x|－|y||＝1D．|x±y|＝1[解析]由题知C正确．[答案]C3．已知一椭圆的方程为x216＋y24＝1，如果x轴上的单位长度为y轴上单位长度的12，则该椭圆的形状为()[解析]如果y轴上单位长度不变，x轴的单位长度变为原来的12倍，则方程变为x2＋y2＝4，故选B.[答案]B4．将圆x2＋y2＝1经过伸缩变换x′＝4x，y′＝3y后的曲线方程为________．[解析]由x′＝4x，y′＝3y，得x＝x′4，y＝y′3.代入到x2＋y2＝1，得x′216＋y′29＝1.∴变换后的曲线方程为x216＋y29＝1.