2019-2020学年高中数学 第1章 三角函数 8 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像与性质（2）

第一章三角函数§8函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像与性质(2)自主学习梳理知识课前基础梳理|学习目标|能根据正弦函数的有关性质来正确地研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质，并会熟练应用.函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质如下定义域______值域_____________周期T＝2πω奇偶性由______终边所在位置决定；当φ＝_____(k∈Z)时，为奇函数，当φ＝_____________(k∈Z)时为偶函数R[－A，A]φ角kπkπ＋π2单调性增区间：由__________________________(k∈Z)求得；减区间：由__________________________(k∈Z)求得对称轴由方程_________________(k∈Z)解得对称中心由_________________(k∈Z)求得横坐标2kπ－π2≤ωx＋φ≤2kπ＋π22kπ＋π2≤ωx＋φ≤2kπ＋3π2ωx＋φ＝kπ＋π2ωx＋φ＝kπ练一练(1)下列函数中，图像关于直线x＝π3对称的是()A．y＝sin2x－π3B．y＝sin2x－π6C．y＝sin2x＋π6D．y＝sinx2＋π6(2)函数f(x)＝2sin2x－π4的一个单调减区间是()A．5π8，9π8B．－π8，3π8C．3π8，7π8D．π8，5π8解析：(1)当x＝π3时，y＝sin2×π3－π6＝sinπ2＝1，∴y＝sin2x－π6的图像关于直线x＝π3对称．(2)2kπ＋π2≤2x－π4≤2kπ＋32π，k∈Z，kπ＋38π≤x≤kπ＋78π，令k＝0，得38π≤x≤78π.答案：(1)B(2)C1．求正弦函数的周期、单调区间、最值、对称轴或对称中心问题的一般思路是什么？答：可先将函数转化为y＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式，然后令ωx＋φ＝u，套用y＝sinu的一系列性质，就可顺利解决．2．求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间应注意什么？答：对于y＝Asin(ωx＋φ)的单调性而言，A与ω的正负影响单调性，如果ω＜0，可以利用诱导公式sin(－α)＝－sinα将负号转化到函数符号外，再求相应单调区间．典例精析规律总结课堂互动探究1求最值(值域)问题类型求函数y＝2sin2x＋π3－π6≤x≤π6的最大值和最小值．【解】∵－π6≤x≤π6，∴0≤2x＋π3≤2π3，∴0≤sin2x＋π3≤1.∴当sin2x＋π3＝1时，ymax＝2；当sin2x＋π3＝0时，ymin＝0.【方法总结】求三角函数的值域或最大值、最小值问题主要利用sinx的有界性，以及复合函数的有关性质．注意结合y＝sinx的图像．求函数y＝2sin2x＋π4，x∈0，π2的值域．解：∵0≤x≤π2，∴0≤2x≤π.∴π4≤2x＋π4≤5π4.∴－22≤sin2x＋π4≤1.∴－1≤2sin2x＋π4≤2.即－1≤y≤2.所以函数y＝2sin2x＋π4，x∈0，π2的值域为[－1，2].2求函数的周期类型求下列函数的周期：(1)y＝sin2x＋π3(x∈R)；(2)y＝|sin2x|(x∈R)．【解】(1)T＝2π2＝π.(2)作出y＝|sin2x|的图像如图：由图像知，y＝|sin2x|的周期为π2.【方法总结】1.利用周期函数的定义求三角函数的周期，关键是抓住变量“x”增加到“x＋T”，函数值重复出现，T是函数的一个周期这一理论依据．2．对于形如函数y＝Asin(ωx＋φ)，ω≠0时的周期求法通常用公式T＝2π|ω|来求解．3．对于形如y＝|Asinωx|的周期常结合图像来解决．(1)已知函数y＝2sinωx＋π6(ω＞0)，在曲线y＝f(x)与直线y＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3，则f(x)的最小正周期为()A．π2B．2π3C．πD．2π解析：由题意知f(0)＝2sinπ6＝2×12＝1，fπ3－f(0)＝2sinπ3ω＋π6－1＝0，∴sinπ3ω＋π6＝12.∴π3ω＋π6＝π6或5π6.∵ω0，∴ω＝2.∴f(x)的最小正周期T＝2πω＝π.答案：C(2)求下列函数的周期：f(x)＝|sinx|＋sinx.解：作出y＝|sinx|＋sinx＝2sinx，2kπ＜x≤2kπ＋π，k∈Z，0，2kπ－π≤x≤2kπ，k∈Z的图像．由图像可知y＝|sinx|＋sinx的周期为2π.3奇偶性与对称性类型已知f(x)＝sin(ωx＋φ)(0＜ω＜1,0＜φ＜π)是R上的偶函数且其图像关于点M3π4，0对称，求ω、φ.【解】∵f(x)在R上是偶函数，∴当x＝0时，f(x)取得最大值或最小值．即sinφ＝±1，得φ＝kπ＋π2，k∈Z，又0φπ，∴φ＝π2.由图像关于M3π4，0对称可知，sin3π4ω＋π2＝0，解得ω＝43k－23，k∈Z.又0＜ω＜1，∴k＝1时，ω＝23，∴ω＝23，φ＝π2.【方法总结】1.判断函数的奇偶性时，必须先检查其定义域是否关于原点对称，如果是，再验证f(－x)是否等于－f(x)或f(x)，进而判断函数的奇偶性；如果不是，那么该函数必为非奇非偶函数．2．对于y＝Asin(ωx＋φ)的对称性要有整体思想，即令ωx＋φ＝kπ或ωx＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)可求对称中心坐标及对称轴方程．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)其中ω＞0，φ＜π2图像相邻对称轴的距离为π2，一个对称中心为－π6，0，为了得到g(x)＝cosωx的图像，则只要将f(x)的图像()A．向右平移π6个单位B．向右平移π12个单位C．向左平移π6个单位D．向左平移π12个单位解析：由题意得T＝2×π2＝π，∴2πω＝π，∴ω＝2，∴f(x)＝sin(2x＋φ)．又∵对称中心为－π6，0，∴f－π6＝sin2×－π6＋φ＝0，∴φ－π3＝kπ，k∈Z，∴φ＝kπ＋π3.又∵|φ|＜π2，∴令k＝0得φ＝π3，∴f(x)＝sin2x＋π3，把f(x)向左平移π12个单位得y＝sin2x＋π12＋π3＝sin2x＋π2＝cos2x.∴选D．答案：D4函数单调性及应用类型求函数y＝2sinπ4－x的递增区间．【解】∵y＝2sinπ4－x＝－2sinx－π4，∴函数y＝2sinπ4－x的递增区间就是函数u＝2sinx－π4的递减区间．∴2kπ＋π2≤x－π4≤2kπ＋3π2(k∈Z)，得2kπ＋3π4≤x≤2kπ＋7π4(k∈Z)，∴函数y＝2sinπ4－x的递增区间为2kπ＋3π4，2kπ＋7π4(k∈Z)．【方法总结】求y＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)的单调区间时，首先把x的系数化为正的，再利用整体代换，即把ωx＋φ代入相应不等式中，求解相应的变量x的范围．将函数f(x)＝cos2x的图像向右平移π4个单位后得到函数g(x)，则g(x)具有性质()A．最大值为1，图像关于直线x＝π2对称B．在0，π4上单调递增，为奇函数C．在－3π8，π8上单调递增，为偶函数D．周期为π，图像关于点3π8，0对称解析：由题意得g(x)＝fx－π4＝cos2x－π4＝cos2x－π2＝cosπ2－2x＝sin2x，当x∈0，π4时，2x∈0，π2，∴g(x)在0，π4上单调递增，且为奇函数．答案：B【错解】因为1π∈(0,1)，所以只要求y＝2sinx＋π4的递减区间即可．由2kπ＋π2≤x＋π4≤2kπ＋3π2，k∈Z得，2kπ＋π4≤x≤2kπ＋5π4，k∈Z.所以该函数的单调递增区间为2kπ＋π4，2kπ＋5π4，k∈Z.试求函数y＝log1π2sinx＋π4的单调递增区间．【错因分析】在考虑单调性时未注意到函数的定义域．【正解】因为1π∈(0,1)，所以只需求y＝2sinx＋π40的递减区间，由2kπ＋π2≤x＋π4≤2kπ＋32π，2kπx＋π42kπ＋π定义域，得2kπ＋π4≤x2kπ＋3π4，k∈Z.所以该函数的单调递增区间为2kπ＋π4，2kπ＋3π4，k∈Z.即学即练稳操胜券基础知识达标知识点一对称性1．函数y＝2sin3x－π4－1的图像的一个对称中心坐标是()A．π12，0B．π4，0C．π4，－1D．π12，－1解析：3x－π4＝kπ(k∈Z)，x＝π12＋kπ3(k∈Z)，令k＝0，则x＝π12，把x＝π12代入y＝2sin3x－π4－1得y＝－1，∴对称中心为π12，－1.答案：D2．函数y＝sin2x＋5π2的图像的一条对称轴方程是()A．x＝－π2B．x＝－π4C．x＝π8D．x＝5π4解析：对称轴方程对应的函数值必为最值．当x＝－π2时，y＝sin2－π2＋5π2＝sin3π2＝－1.∴x＝－π2是图像的一条对称轴方程．答案：A知识点二单调性3．(2018·天津卷)将函数y＝sin2x＋π5的图像向右平移π10个单位长度，所得图像对应的函数()A．在区间3π4，5π4上单调递增B．在区间3π4，π上单调递减C．在区间5π4，3π2上单调递增D．在区间3π2，2π上单调递减解析：由函数图像平移变换的性质可知，将y＝sin2x＋π5的图像向右平移π10个单位长度之后的解析式为y＝sin2x－π10＋π5＝sin2x.则函数的单调递增区间满足：2kπ－π2≤2x≤2kπ＋π2(k∈Z)，即kπ－π4≤x≤kπ＋π4(k∈Z)，令k＝1可得一个单调递增区间为3π4，5π4.函数的单调递减区间满足：2kπ＋π2≤2x≤2kπ＋3π2(k∈Z)，即kπ＋π4≤x≤kπ＋3π4(k∈Z)，令k＝1可得一个单调递减区间为5π4，7π4.故选A．答案：A知识点三奇偶性4．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)在x＝1处取得最大值，则()A．函数f(x－1)一定是奇函数B．函数f(x－1)一定是偶函数C．函数f(x＋1)一定是奇函数D．函数f(x＋1)一定是偶函数解析：由题意得sin(ω＋φ)＝1，∴ω＋φ＝2kπ＋π2，k∈Z.∴f(x＋1)＝Asin[ω(x＋1)＋φ]＝Asin(ωx＋ω＋φ)＝Asinωx＋2kπ＋π2＝Acosωx.∴f(x＋1)一定是偶函数．答案：D知识点四求值域5．设f(x)＝2sin2x－π4.(1)解不等式f(x)≥0；(2)若x∈0，π2，求f(x)的值域．解：(1)∵f(x)≥0，∴2kπ≤2x－π4≤2kπ＋π，k∈Z.∴kπ＋π8≤x≤kπ＋5π8，k∈Z.∴不等式f(x)≥0的解集为xkπ＋π8≤x≤kπ＋5π8，k∈Z.(2)∵0≤x≤π2，∴0≤2x≤π，∴－π4≤2x－π4≤3π4，∴－22≤sin2x－π4≤1，∴－1≤2sin2x－π4≤2.即f(x)的值域是[－1，2]．