2019-2020学年高中数学 第1章 三角函数 1 周期现象 2 角的概念的推广课件 北师大版必修

第一章三角函数§1周期现象§2角的概念的推广自主学习梳理知识课前基础梳理|学习目标|1．了解周期现象．2．理解并掌握任意角的概念，特别是终边相同的角的表示，象限角、终边在坐标轴上的角的定义与表示．3．掌握正角、负角、零角的概念.1．周期现象某种动作或现象每隔一段时间就会______出现的现象称为周期现象．2．角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．重复3．角的分类类型定义图示正角按________方向旋转形成的角负角按________方向旋转形成的角零角射线从起始位置_______________，终止位置与起始位置______，称这样的角为零角逆时针顺时针没有作任何旋转重合4.象限角在平面直角坐标系内，使角的______与原点重合，角的______与x轴的非负半轴重合．这时，角的______(除端点外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．顶点始边终边练一练(1)在①148°，②475°，③－960°，④－1601°四个角中，属于第二象限角的是()A．①B．①②C．①②③D．①②③④答案：C5．终边相同的角一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝________________________，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与______________的和．{β|β＝α＋k×360°，k∈Z}周角的整数倍练一练(2)与－263°角终边相同的角的集合是()A．{α|α＝k·360°＋250°，k∈Z}B．{α|α＝k·360°＋197°，k∈Z}C．{α|α＝k·360°＋63°，k∈Z}D．{α|α＝k·360°－263°，k∈Z}答案：D1．如何理解终边相同的角？答：(1)终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍；(2)终边相同的角的表示不唯一；(3)k·360°与α之间用“＋”号，k·360°－α可理解为k·360°＋(－α)；(4)角α是任意角；(5)k∈Z即k为整数这一条件不可少．2．怎样理解象限角？答：(1)若角的顶点不与坐标原点重合，或者角的始边不与x轴的正半轴重合，则没有象限角的概念．(2)终边落在坐标轴上的角不属于任何一个象限．典例精析规律总结课堂互动探究下面是一个古希腊的哲学家、数学家、天文学家毕达哥拉斯的故事：有一次毕达哥拉斯处罚学生，让他来回数黛安娜神庙的七根柱子(这七根柱子的标号分别为A，B，C…，G)，如图所示，一直到指出第1999次数的柱子的标号是哪一个才能够停止．你能帮助这名学生尽快结束这个处罚吗？1周期现象类型ABCDEFG12345671312111098141516171819252423222120………………………………【解】通过观察可发现规律：数“2,3,4，…，1997，1998，1999”按标号为“B，C，D，E，F，G，F，E，D，C，B，A”这12个字母循环出现，因此周期是12.先把1去掉，(1999－1)÷12＝166……6，因此第1999次数的柱子的标号与第167个周期的第6个数的标号相同，故数到第1999次数的柱子的标号是G.【方法总结】1.判断某种现象是否有周期现象，关键要分析该现象是否每隔相同时间就重复出现．2．分析时可根据数据作出散点图，或分析研究数据规律特点，从而得出结论．如图所示，游乐场里的摩天轮匀速旋转，旋转一周需要20分钟，则某游客从摩天轮的最低点上去，25分钟时，他在摩天轮的左侧还是右侧？解：旋转一周需要20分钟，则25分钟可旋转一周，还余5分钟．由于摩天轮是匀速旋转，在最低点经过10分钟才可到最高点，则游客25分钟时在摩天轮的左侧.2角的概念类型下列各命题正确的是()A．终边相同的角一定相等B．第一象限的角都是锐角C．锐角都是第一象限的角D．小于90°的角都是锐角【解析】解法一：对于A，－60°和300°是终边相同的角，但它们并不相等，则应排除A；对于B,390°是第一象限的角，但它不是锐角，则应排除B；对于D，－60°是小于90°的角，但它不是锐角，则应排除D．综上知，应选C．解法二：因为锐角的集合是{α|0°＜α＜90°}，第一象限角的集合是{α|k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z}，当k＝0时，两集合相等，所以锐角是第一象限的角．【答案】C【方法总结】注意区分以下各角的不同：1．锐角α：0°＜α＜90°；2．小于90°的角α：α＜90°；3．第一象限的角α：{α|k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z}．下列结论：①钝角都是第二象限角；②第一象限角一定不是负角；③第二象限角是钝角；④小于180°的角是钝角、直角或锐角．其中正确的序号为________(把正确结论的序号都写上)．解析：①钝角是大于90°且小于180°的角，终边落在第二象限，故是第二象限角，所以①正确；②－330°角是第一象限角，但它是负角，所以②不正确；③480°角是第二象限角，但它不是钝角，所以③不正确；④0°角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故④不正确．答案：①3终边相同的角类型在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相同的角：(1)－1530°；(2)－36°48′.【解】(1)与－1530°终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－1530°，k∈Z}．由0°≤β＜360°得0°≤k·360°－1530°＜360°，解得414≤k＜514，∵k∈Z，∴k＝5.当k＝5时，β＝－1530°＋5×360°＝270°∈{α|0°≤α＜360°}．(2)与－36°48′终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－36°48′，k∈Z}．由0°≤β＜360°得0°≤k·360°－36°48′＜360°，解得23225≤k123225.∵k∈Z，∴k＝1.当k＝1时，β＝360°－36°48′＝323°12′∈{α|0°≤α＜360°}．【方法总结】将任意角化为α＋k·360°(k∈Z，且0°≤α＜360°)的形式，关键是确定k.可用观察法(α的绝对值较小时适用)，也可用除以360°的方法．要注意：正角除以360°，按通常的除法进行，负角除以360°，商是负数，且余数为正值．若角α的终边在函数y＝－x的图像上，试写出角α的集合．解：y＝－x的图像是第二、四象限的平分线，∴在0°～360°范围内对应的两个角分别为135°及315°，从而角α的集合为S＝{α|α＝k·360°＋135°或α＝k·360°＋315°，k∈Z}＝{α|α＝2k·180°＋135°或α＝(2k＋1)·180°＋135°，k∈Z}，即S＝{α|α＝k·180°＋135°，k∈Z}.4象限角类型(1)写出终边落在第一象限和第二象限内的角的集合；(2)已知角α是第二象限角，确定2α、α2的终边所在的位置．【解】(1)根据终边相同的角一定是同一象限的角，又可以先写出第一象限锐角范围和第二象限钝角的范围，再加上360°的整数倍即可．所以表示为：第一象限角的集合：S＝{β|β＝k·360°＋α，0°＜α＜90°，k∈Z}，或S＝{β|k·360°＜β＜k·360°＋90°，k∈Z}．第二象限角的集合：S＝{β|β＝k·360°＋α，90°＜α＜180°，k∈Z}，或S＝{β|k·360°＋90°＜β＜k·360°＋180°，k∈Z}．(2)∵α是第二象限角，∴k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°，k∈Z，①∵2k·360°＋180°＜2α＜2k·360°＋360°，∴2α终边在第三或第四象限或终边在y轴的非正半轴上．②∵k·180°＋45°＜α2＜k·180°＋90°，∴当k＝2n，n∈Z时，n·360°＋45°＜α2＜n·360°＋90°，即α2是第一象限角；当k＝2n＋1，n∈Z时，n·360°＋225°＜α2＜n·360°＋270°，即α2是第三象限角，∴α2终边在第一或第三象限．【方法总结】解决此类问题，明确α的范围之后，进一步确定出mα或αm的范围，再根据k与m的关系进行讨论在(例题中确定α2时出现了45°＋k·180°＜α2＜90°＋k·180°，其中k有两种关系，即k为奇数或偶数.同理，确定α3时，k有三种关系，即k＝3n，k＝3n＋1，k＝3n＋2).已知α为第一象限角，则α2所在的象限是()A．第一或第二象限B．第二或第三象限C．第一或第三象限D．第二或第四象限解析：∵k·360°α90°＋k·360°，k∈Z，∴k·180°α245°＋k·180°，k∈Z.当k＝2n，n∈Z时，n·360°α245°＋n·360°，α2在第一象限；当k＝2n＋1，n∈Z时，n·360°＋180°α2n·360°＋225°，α2在第三象限．∴α2在第一或第三象限．答案：C从0时整到1时15分，钟表面上的时针和分针各转过的度数是多少？【错解】∵1小时15分＝54小时＝75分钟，∴从0时整到1时15分，钟表面上的时针转过的度数为360°12×54＝37.5°.从0时整到1时15分，钟表面上的分针转过的度数是360°60×75＝450°.【错因分析】时钟的时针、分针、秒针都是按顺时针旋转的．因此，它们所转过的角应为负角，不能写成正角．【正解】∵1小时15分＝54小时＝75分钟，∴从0时整到1时15分，钟表面上的时针转过的度数为－360°12×54＝－37.5°.从0时整到1时15分，钟表面上的分针转过的度数为－360°60×75＝－450°.即学即练稳操胜券基础知识达标知识点一角的概念1．下列说法中正确的是()A．第一象限角一定不是负角B．－831°是第四象限角C．钝角一定是第二象限角D．终边与始边均相同的角一定相等答案：C知识点二终边相同的角2．集合M＝{x|x是第二象限角}，N＝{x|x是钝角}，P＝{x|x是大于90°的角}，则下列关系式中正确的是()A．M＝N＝PB．M∩P＝NC．NM∩PD．NMP答案：C3．与435°角终边相同的角是()A．k·360°－75°，k∈ZB．k·360°－435°，k∈ZC．k·360°＋75°，k∈ZD．k·180°＋75°，k∈Z答案：C知识点三象限角4．以下说法，其中正确的有________(填写序号)．①－65°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角．解析：∵－90°－65°0°，∴－65°在第四象限，故①正确；∵225°＝180°＋45°，∴225°在第三象限，故②正确；∵475°＝360°＋115°，∴475°在第二象限，故③正确；∵－315°＝－360°＋45°，∴－315°在第一象限，故④正确．答案：①②③④5.已知，如图所示．(1)分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．解：(1)终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝45°＋90°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝k·360°＋135°，k∈Z}．终边落在OB位置上的角的集合为{β|β＝k·360°－30°，k∈Z}．(2)由图可知，阴影部分的角的集合是{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．