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立体几何初步第一章复习课(一)立体几何初步课前自主预习一、几何体的三视图及其应用三视图能够帮助我们从不同侧面、不同角度认识几何体的结构特征,进而研究几何体的有关性质.由空间几何体的直观图可以画出它的三视图,同样由空间几何体的三视图可以想象并画出这个几何体的直观图.另外,三视图也常结合简单几何体的表面积与体积进行考查.1.由几何体的三视图识别几何体【典例1】如下图,网格纸的小正方形的边长是1,在其上用粗线画出了某多面体的三视图,则这个多面体最长的一条棱的长为________.[解析]由主视图和俯视图可知几何体是正方体切割后的一部分(四棱锥C1-ABCD),还原在正方体中,如图.多面体最长的一条棱即为正方体的体对角线,由正方体棱长AB=2知最长棱的长为23.[答案]23由三视图还原几何体时,要根据几何体的主视图、左视图、俯视图的几何特征,想象整个几何体的特征,从而判断三视图所描述的几何体.2.由几何体的三视图计算几何体的表面积或体积【典例2】(1)已知某几何体的三视图如图所示,其中主视图、左视图均是由三角形与半圆构成,俯视图由圆与内接三角形构成,根据图中的数据可得此几何体的体积为()A.2π3+12B.4π3+16C.2π6+16D.2π3+12(2)一个半径为2的球体经过切割后,剩余部分几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为________.[解析](1)由已知的三视图可知原几何体的上方是三棱锥,下方是半球,∴V=13×12×1×1×1+43π223×12=16+2π6,故选C.(2)该几何体是从一个球体中挖去14个球体后剩余的部分,所以该几何体的表面积为34×(4π×22)+2×π×222=16π.[答案](1)C(2)16π(1)求几何体的表面积,注意组合体的各个面.(2)本例(2)是一个锥体与半球体的组合体,应分别求出体积再求和.二、球的问题球与多面体的位置关系问题突出考查了立体几何的核心能力——空间想象力,在其求解过程中,除了用到球体与多面体的性质外,还要用到平面几何的知识,综合性很强,是高考试题命题者青睐的一个考点.【典例3】已知在半径长为2的球面上有A,B,C,D四点,若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为()A.233B.433C.23D.833[解析]如图,设O为球心,OA,OB,OC,OD四条线段把四面体ABCD分成四个三棱锥,且三棱锥B-ODC与A-ODC同底,三棱锥D-AOB与C-AOB同底.在三棱锥B-ODC和A-ODC中,底面积为34×22=3,高分别为B到平面ODC的距离与A到平面ODC的距离,只有AB⊥平面ODC时,两距离之和才能取得最大值2,所以其体积和最大值为13×3×2=233.同理可得三棱锥D-AOB与C-AOB的体积和的最大值为233.所以四面体ABCD的体积的最大值为433.[答案]B求球体与多面体的组合体问题的关键是将空间问题转化为平面问题解决.三、空间中的平行关系在证明线与线、线与面、面与面的平行关系时,从“看到结论想判定定理,看到条件想性质定理”来分析题意和寻求证明思路,往往要根据定理的条件,通过构造辅助线或辅助面来解决问题.【典例4】如图所示,四边形ABCD是平行四边形,PB⊥平面ABCD,MA∥PB,PB=2MA.在线段PB上是否存在一点F,使平面AFC∥平面PMD?若存在,请确定点F的位置;若不存在,请说明理由.[解]当点F是PB的中点时,平面AFC∥平面PMD,证明如下:如图连接AC和BD交于点O,连接FO,则PF=12PB.∵四边形ABCD是平行四边形,∴O是BD的中点,∴OF∥PD.又OF⊆/平面PMD,PD平面PMD,∴OF∥平面PMD.又MA∥PB且MA=12PB,∴PF∥MA且PF=MA,∴四边形AFPM是平行四边形,∴AF∥PM.又AF⊆/平面PMD,PM平面PMD,∴AF∥平面PMD.又AF∩OF=F,AF平面AFC,OF平面AFC,∴平面AFC∥平面PMD.(1)判断线面平行的两种常用方法①利用线面平行的判定定理.②利用面面平行的性质,即当两平面平行时,其中一平面内的任一直线平行于另一平面.(2)判断面面平行的常用方法①利用面面平行的判定定理.②面面平行的传递性(α∥β,β∥γ⇒α∥γ).③利用线面垂直的性质(l⊥α,l⊥β⇒α∥β).四、空间中的垂直关系空间中的各种垂直关系是高中数学的重要内容.在高考中着重考查线线垂直、线面垂直、面面垂直的证明,这就需要利用线面垂直、面面垂直的判定定理及其性质,运用三者之间的转化关系.【典例5】如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD,E和F分别是CD和PC的中点,求证:(1)PA⊥底面ABCD;(2)BE∥平面PAD;(3)平面BEF⊥平面PCD.[证明](1)因为平面PAD⊥底面ABCD,平面PAD∩底面ABCD=AD,PA平面PAD,PA⊥AD,所以PA⊥底面ABCD.(2)因为AB∥CD,CD=2AB,E为CD的中点,所以AB∥DE,且AB=DE.所以四边形ABED为平行四边形,所以BE∥AD.又因为BE⊆/平面PAD,AD平面PAD,所以BE∥平面PAD.(3)因为AB⊥AD,而且四边形ABED为平行四边形,所以BE⊥CD,AD⊥CD.由(1)知PA⊥底面ABCD,所以AP⊥CD.又因为AP∩AD=A,AP,AD平面PAD,所以CD⊥平面PAD,所以CD⊥PD.因为E和F分别是CD和PC的中点,所以PD∥EF,所以CD⊥EF.又因为CD⊥BE,EF∩BE=E,EF,BE平面BEF,所以CD⊥平面BEF.又CD平面PCD,所以平面BEF⊥平面PCD.(1)判定线面垂直的方法①线面垂直定义(一般不易验证任意性).②线面垂直的判定定理(a⊥b,a⊥c,bα,cα,b∩c=M⇒a⊥α).③平行线垂直平面的传递性质(a∥b,b⊥α⇒a⊥α).④面面垂直的性质(α⊥β,α∩β=l,aβ,a⊥l⇒a⊥α).⑤面面平行的性质(a⊥α,α∥β⇒a⊥β).⑥面面垂直的性质(α∩β=l,α⊥γ,β⊥γ⇒l⊥γ).(2)判定面面垂直的方法①面面垂直的定义.②面面垂直的判定定理.五、折叠问题处理翻折问题的关键是对翻折前的平面图形与翻折后的立体图形进行对比,有哪些位置关系和相关量发生了变化,如果发生变化,那么发生了怎样的变化,哪些没有发生变化,切不可混淆不清,特别是翻折前的线线垂直、线面垂直、面面垂直在翻折后是否发生了变化.【典例6】如图,在平行四边形ABCM中,AB=AC=3,∠ACM=90°.以AC为折痕将△ACM折起,使点M到达点D的位置,且AB⊥DA.(1)证明:平面ACD⊥平面ABC;(2)Q为线段AD上一点,P为线段BC上一点,且BP=DQ=23DA,求三棱锥Q-ABP的体积.[解](1)证明:由已知可得,∠BAC=90°,BA⊥AC.又BA⊥AD,且AC平面ACD,AD平面ACD,AC∩AD=A,所以AB⊥平面ACD.又AB平面ABC,所以平面ACD⊥平面ABC.(2)由已知可得,DC=CM=AB=3,DA=32.又BP=DQ=23DA,所以BP=22.作QE⊥AC,垂足为E,则QE綊13DC.由已知及(1)可得DC⊥平面ABC,所以QE⊥平面ABC,QE=1.因此,三棱锥Q-ABP的体积为VQ-ABP=13×QE×S△ABP=13×1×12×3×22sin45°=1.解决折叠问题的策略(1)抓住折叠前后的变量与不变量,一般情况下,在折线同侧的量,折叠前后不变,“跨过”折线的量,折叠前后可能会发生变化,这是解决这类问题的关键.(2)在解题时仔细审视从平面图形到立体图形的几何特征的变化情况,注意相应的点、直线、平面间的位置关系,线段的长度,角度的变化情况等.
本文标题:2019-2020学年高中数学 第1章 立体几何初步复习课课件 北师大版必修2
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