2019-2020学年高中数学 第1章 立体几何初步 1-7-2 柱、锥、台的体积课件 北师大版必修

立体几何初步第一章§7简单几何体的再认识7．2柱、锥、台的体积课前自主预习柱体、锥体、台体的体积公式(1)棱柱和圆柱的体积公式V柱体＝(S为柱体的底面积，h为柱体的高)．(2)棱锥和圆锥的体积公式V锥体＝(S为锥体的底面积，h为锥体的高)．(3)棱台和圆台的体积公式V台体＝(S上，S下分别为台体的上、下底面积，h为台体的高)．Sh13Sh13(S上＋S下＋S上·S下)h1．对于三棱锥在求体积时，底面固定吗？怎样确定哪个面为底面？[答案]不固定，三棱锥的任何一个面都可以作为它的底面，关键是哪个底面的面积和相应的高容易求出，就选哪个面为底面．2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)锥体的体积等于底面积与高之积．()(2)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．()[答案](1)×(2)√课堂互动探究题型一棱柱、棱锥、棱台的体积【典例1】(1)如图所示，已知三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1－ABC1的体积为()A.312B.34C.612D.64(2)棱台的上、下底面面积分别是2,4，高为3，则该棱台的体积是()A．18＋62B．6＋22C．24D．18[思路导引](1)三棱锥B1－ABC1的体积等于三棱锥A－B1BC1的体积，分别求A到平面B1BC1的距离及三角形B1BC1的面积，然后代入体积公式．(2)直接代入棱台的体积公式即可．[解析](1)三棱锥B1－ABC1的体积等于三棱锥A－B1BC1的体积，三棱锥A－B1BC1的高为32，底面积为12，故其体积为13×12×32＝312.(2)V＝13(S＋SS′＋S′)h＝13×(2＋2×4＋4)×3＝6＋22.故选B.[答案](1)A(2)B(1)常见的求几何体体积的方法①公式法：直接代入公式求解．②等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可．③分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．(2)求几何体体积时需注意的问题柱、锥、台体的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算．[针对训练1](1)如图所示，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，用截面截下一个棱锥C－A′DD′，求棱锥C－A′DD′的体积与剩余部分的体积之比．(2)已知一个三棱台上、下底面分别是边长为20cm和30cm的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和体积．[解](1)设AB＝a，AD＝b，AA′＝c，∴VC－A′D′D＝13CD·S△A′D′D＝13a·12bc＝16abc，∴剩余部分的体积为VABCD－A′B′C′D′－VC－A′D′D＝abc－16abc＝56abc，∴棱锥C－A′DD′的体积与剩余部分的体积之比为1∶5.(2)如图，在三棱台ABC－A′B′C′中，取上、下底面的中心分别为O′，O，BC，B′C′的中点分别为D，D′，则DD′是梯形BCC′B′的高．所以S侧＝3×12×(20＋30)×DD′＝75DD′.又因为A′B′＝20cm，AB＝30cm，则上、下底面面积之和为S上＋S下＝34×(202＋302)＝3253(cm2)．由S侧＝S上＋S下，得75DD′＝3253，所以DD′＝1333(cm)，O′D′＝36×20＝1033(cm)，OD＝36×30＝53(cm)，所以棱台的高h＝O′O＝D′D2－OD－O′D′2＝13332－53－10332＝43(cm)．由棱台的体积公式，可得棱台的体积为V＝h3(S上＋S下＋S上·S下)＝433×34×202＋34×302＋34×20×30＝1900(cm3)．题型二圆柱、圆锥、圆台的体积【典例2】(1)一个圆锥的轴截面(过圆锥顶点和底面直径的截面)是面积为3的等边三角形，则该圆锥的体积为()A．3πB.33πC.3D.32π(2)已知某圆台的上、下底面面积分别是π，4π，侧面积是6π，则这个圆台的体积是________．[思路导引](1)通过题设条件分别求出圆锥的底面半径及高，进而求体积．(2)通过题设条件分别求出圆台的高是本题的关键．[解析](1)设圆锥底面圆的半径为r，则圆锥的高为3r.由题意，得34×(2r)2＝3，得r＝1，所以该圆锥的体积V＝13π×12×3＝33π.(2)设圆台的上、下底面半径分别为r和R，母线长为l，高为h，则S上＝πr2＝π，S下＝πR2＝4π，∴r＝1，R＝2，S侧＝π(r＋R)l＝6π，∴l＝2，∴h＝3，∴V＝13π(12＋22＋1×2)×3＝733π.[答案](1)B(2)733π棱(圆)柱、棱(圆)锥和棱(圆)台的体积或表面积计算，首先明确它们的底面、斜高(母线)和高等，而这些量往往需要根据问题的条件，从侧棱(母线)、斜高、底面边长(半径)、高等基本量的关系中获得．[针对训练2]如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都相等，这时圆柱、圆锥的体积之比为________．[解析]设圆柱和圆锥的底面半径为R，则V柱＝πR2·2R＝2πR3，V锥＝13πR2·2R＝23πR3，故V柱∶V锥＝2πR3∶23πR3＝3∶1.[答案]3∶1题型三与三视图有关的表面积和体积【典例3】某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是________cm2，体积是________cm3.[思路导引]先由三视图还原作出直观图，再代入公式计算，注意锥体与柱体两者的体积公式的区别．[解析]由三视图可得该几何体是由一个长、宽、高分别为4、4、2的长方体和一个棱长为2的正方体组合而成的，故表面积为S＝4×4×2＋4×2×4＋2×2×4＝80(cm2)，体积为V＝4×4×2＋2×2×2＝40(cm3)．[答案]8040解答此类问题的关键是先由三视图还原作出直观图，然后根据三视图中的数据在直观图中求出计算体积所需要的数据．[针对训练3]某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A．180B．200C．220D．240[解析]几何体为直四棱柱，其高为10，底面是上底为2，下底为8，高为4，腰为5的等腰梯形，故两个底面面积的和为12×(2＋8)×4×2＝40，四个侧面面积的和为(2＋8＋5×2)×10＝200，所以直四棱柱的表面积为S＝40＋200＝240.[答案]D