2019-2020学年高中数学 第1章 立体几何初步 1-6-2 垂直关系的性质课件 北师大版必修2

立体几何初步第一章§6垂直关系6．2垂直关系的性质课前自主预习1．直线和平面垂直的性质定理2.平面和平面垂直的性质定理判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两条平行直线中的一条垂直于一个平面，另一条也垂直于这个平面．()(2)垂直于同一平面的两个平面平行．()(3)如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．即α⊥β，A∈α，A∈b，b⊥β⇒bα.()(4)如果平面α⊥平面β，那么平面α内的所有直线都垂直于平面β.()[答案](1)√(2)×(3)√(4)×课堂互动探究题型一直线与平面垂直的性质定理【典例1】如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.求证：AE∥MN.[思路导引]由MN⊥AB，MN⊥PC，可推出MN⊥平面PCD，要证AE∥MN，只需证明AE⊥平面PCD即可．[证明]因为AB⊥平面PAD，AE平面PAD，所以AE⊥AB，又AB∥CD，所以AE⊥CD.因为AD＝AP，E是PD的中点，所以AE⊥PD.又CD∩PD＝D，所以AE⊥平面PCD.因为MN⊥AB，AB∥CD，所以MN⊥CD.又因为MN⊥PC，PC∩CD＝C，所以MN⊥平面PCD，所以AE∥MN.证明线线平行的常用方法(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点．(2)利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线．(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行．(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直．(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行．[针对训练1]如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，直线aβ，a⊥AB.求证：a∥l.[证明]因为EA⊥α，α∩β＝l，即lα，所以l⊥EA.同理l⊥EB.又EA∩EB＝E，所以l⊥平面EAB.因为EB⊥β，aβ，所以EB⊥a，又a⊥AB，EB∩AB＝B，所以a⊥平面EAB.由线面垂直的性质定理，得a∥l.题型二平面与平面垂直的性质定理及应用【典例2】如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.求证：BC⊥AB.[思路导引]由PA⊥平面ABC得PA⊥BC，要证BC⊥AB，只需证明BC⊥平面PAB.[证明]如图，在平面PAB内，作AD⊥PB于D.∵平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC＝PB.∴AD⊥平面PBC.又BC平面PBC，∴AD⊥BC.又∵PA⊥平面ABC，BC平面ABC，∴PA⊥BC，又∵PA∩AD＝A，∴BC⊥平面PAB.又AB平面PAB，∴BC⊥AB.证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理．本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理．利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线．[针对训练2]如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G为AD边的中点．求证：(1)BG⊥平面PAD；(2)AD⊥PB.[证明](1)平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD.∴BG⊥平面PAD.(2)由(1)可知BG⊥AD，由题意知△PAD为正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD.又BG∩PG＝G，∴AD⊥平面PBG，又PB平面PBG，∴AD⊥PB.题型三垂直关系的综合应用【典例3】如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，求证：(1)DE＝DA；(2)平面BDM⊥平面ECA；(3)平面DEA⊥平面ECA.[思路导引](1)设出BD，分别求出DE、DA的长度或证明DM⊥AE，即证DM为AE的中垂线即可．(2)(3)只需证明DM⊥平面ECA即可．[证明](1)设BD＝a，如图，作DF∥BC交CE于F，则CF＝DB＝a.因为CE⊥平面ABC，所以BC⊥CF，DF⊥EC，所以DE＝EF2＋DF2＝5a.又因为DB⊥平面ABC，所以DA＝DB2＋AB2＝5a，所以DE＝DA.(2)取CA的中点N，连接MN，BN，则MN綊12CE綊DB.所以四边形MNBD为平行四边形，所以MD∥BN.又因为EC⊥平面ABC，所以EC⊥BN，EC⊥MD.又DE＝DA，M为EA的中点，所以DM⊥AE，AE∩EC＝E.所以DM⊥平面AEC，所以平面BDM⊥平面ECA.(3)由(2)知DM⊥平面AEC，而DM平面DEA，所以平面DEA⊥平面ECA.垂直关系的互化及解题策略(1)空间中的垂直关系有线线垂直、线面垂直、面面垂直，这三种关系不是孤立的，而是相互关联的．它们之间的转化关系如下：线线垂直判定定理线面垂直定义线面垂直判定定理性质定理面面垂直(2)空间问题化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则，解题时，要抓住几何图形自身的特点，如等腰(边)三角形的三线合一、中位线定理、菱形的对角线互相垂直等．还可以通过解三角形，产生一些题目所需要的条件，对于一些较复杂的问题，注意应用转化思想解决问题．[针对训练3]如图，在三棱锥V－ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC＝BC＝2，O，M分别为AB，VA的中点．(1)求证：VB∥平面MOC；(2)求证：平面MOC⊥平面VAB.[证明](1)∵O，M分别为AB，VA的中点，∴OM∥VB.∵VB平面MOC，OM平面MOC，∴VB∥平面MOC.(2)∵AC＝BC，O为AB的中点，∴OC⊥AB.又∵平面VAB⊥平面ABC，且平面VAB∩平面ABC＝AB，OC平面ABC，∴OC⊥平面VAB.∵OC平面MOC，∴平面MOC⊥平面VAB.