2019-2020学年高中数学 第1章 立体几何初步 1-5-2-1 直线与平面平行的性质课件 北师

立体几何初步第一章§5平行关系5．2平行关系的性质一直线与平面平行的性质课前自主预习直线和平面平行的性质定理1．如图，直线l∥平面α，直线a平面α，直线l与直线a一定平行吗？为什么？[答案]不一定，因为还可能是异面直线．2．如图，直线a∥平面α，直线a平面β，平面α∩平面β＝直线b，满足以上条件的平面β有多少个？直线a，b有什么位置关系？[答案]无数个．a∥b.课堂互动探究题型一线面平行的性质定理的应用【典例1】如图，用平行于四面体ABCD的一组对棱AB，CD的平面截此四面体，求证：截面MNPQ是平行四边形．[思路导引]要证明MNPQ是平行四边形，只需证明一组对边平行且相等或两组对边分别平行即可．[证明]因为AB∥平面MNPQ，平面ABC∩平面MNPQ＝MN，且AB平面ABC，所以由线面平行的性质定理，知AB∥MN.同理AB∥PQ，所以MN∥PQ.同理可得MQ∥NP.所以截面MNPQ是平行四边形．[引申探究](1)若本例条件不变，求证：BPPD＝AMMC.(2)若本例中添加条件：AB⊥CD，AB＝10，CD＝8，且BP∶PD＝1∶1，求四边形MNPQ的面积．[解](1)证明：由典例1知：PQ∥AB，∴BPPD＝AQQD.又QM∥DC，∴AQQD＝AMMC，∴BPPD＝AMMC.(2)由典例1知，四边形MNPQ是平行四边形，∵AB⊥CD，∴PQ⊥QM，∴四边形MNPQ是矩形．又BP∶PD＝1∶1，∴PQ＝5，QM＝4，∴四边形MNPQ的面积为5×4＝20.运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与平面相交的直线，然后确定线线平行，证题过程应认真领悟线线平行与线面平行的相互关系．[针对训练1]如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．[解析]∵EF∥平面AB1C，又平面ADC∩平面AB1C＝AC，EF平面ADC，∴EF∥AC，∵E是AD的中点，∴EF＝12AC＝12×22＝2.[答案]2题型二线面平行性质定理与判定定理的综合应用【典例2】求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行．[思路导引]利用线面平行的性质定理在面中找到与线平行的直线，然后利用平行公理4，证明线线平行．[证明]已知直线a、l，平面α、β满足α∩β＝l，a∥α，a∥β.求证：a∥l.如图所示，过a作平面γ交平面α于b，∵a∥α，∴a∥b.同样过a作平面δ交平面β于c，∵a∥β，∴a∥c.则b∥c.又∵bβ，cβ，∴b∥β.又∵bα，α∩β＝l，∴b∥l.又∵a∥b，∴a∥l.(1)已知线面平行，一般直接考虑应用性质，利用构造法找或“作”出经过直线的平面与已知平面相交的交线．(2)要证线线平行，可把它们转化为线面平行．[针对训练2]如图所示，在△ABC所在平面外有一点P，D，E分别是PB与AB上的点，过D，E作平面平行于BC，试画出这个平面与其他各面的交线，并说明画法的依据．[解]记过D，E的平面为α，因为BC∥α，且BC平面PBC，BC平面ABC，所以平面α与平面PBC和平面ABC的交线都与BC平行．据此作平面α如下：连接DE，过点D作DG∥BC交PC于点G，过点E作EF∥BC交AC于点F，连接GF，平面DEFG即为平面α.