2019-2020学年高中数学 第1章 立体几何初步 1-2 直观图课件 北师大版必修2

立体几何初步第一章§2直观图课前自主预习1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的规则(1)画轴：在已知图形中建立直角坐标系xOy.画直观图时，它们分别对应x′轴和y′轴，两轴交于点O′，使∠x′O′y′＝，它们确定的平面表示；(2)画线：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于和的线段；(3)取长度：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中；平行于y轴的线段，长度为原来的.45°水平平面x′轴y′轴保持原长度不变122．立体图形直观图的画法立体图形与平面图形相比多了一个z轴，其直观图中对应于z轴的是z′轴，平面x′O′y′表示，平面y′O′z′和x′O′z′表示．平行于z轴的线段，在直观图中平行性和长度都．水平平面直立平面不变判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)水平放置的正方形的直观图不可能是平行四边形．()(2)平行四边形的直观图仍是平行四边形．()(3)两条相交直线的直观图可能是平行直线．()(4)两条垂直的直线的直观图仍互相垂直．()[答案](1)×(2)√(3)×(4)×课堂互动探究题型一水平放置的平面图形的直观图【典例1】画出如图水平放置的直角梯形的直观图．[思路导引]充分利用直角梯形互相垂直的两边建系，使画直观图非常简便．[解](1)在已知的直角梯形OBCD中，以底边OB所在直线为x轴，垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系．画出相应的x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°，如图①②所示．(2)在x′轴上截取O′B′＝OB，在y′轴上截取O′D′＝12OD，过点D′作x′轴的平行线l，在l上沿x′轴正方向取点C′使得D′C′＝DC.连接B′C′，如图②.(3)所得四边形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直观图，如图③.(1)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取恰当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点．(2)画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变)，与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段．[针对训练1]按图的建系方法，画水平放置的正五边形ABCDE的直观图．[解]画法：(1)在图①中作AG⊥x轴于G，作DH⊥x轴于H.(2)在图②中画相应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°.(3)在图②中的x′轴上取O′B′＝OB，O′G′＝OG，O′C′＝OC，O′H′＝OH，y′轴上取O′E′＝12OE，分别过G′和H′作y′轴的平行线，并在相应的平行线上取G′A′＝12GA，H′D′＝12HD.(4)连接A′B′，A′E′，E′D′，D′C′，并擦去辅助线G′A′，H′D′，x′轴与y′轴，便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图A′B′C′D′E′(如图③)．题型二直观图的还原与计算角度1：由直观图还原成平面图形【典例2】如图所示，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6cm，C′D′＝2cm，则原图形是________．[思路导引]根据斜二测画法的规则还原成平面图形即可．[解析]如图所示，在原图形OABC中，应有OD＝2O′D′＝2×22＝42(cm)，CD＝C′D′＝2(cm)，∴OC＝OD2＋CD2＝422＋22＝6(cm)，∴OA＝OC，故四边形OABC是菱形．[答案]菱形由直观图还原平面图形的关键(1)平行于x′轴的线段长度不变，平行于y′轴的线段扩大为原来的2倍；(2)对于相邻两边不与x′、y′轴平行的顶点可通过作x′轴，y′轴平行线变换确定其在xOy中的位置．[针对训练2]如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图形的形状是()[解析]由斜二测画法可知，与y′轴平行的线段在原图中为在直观图中的2倍．故可判断A正确．[答案]A角度2：原图形与直观图的面积计算【典例3】一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面图形的面积为()A.24a2B．22a2C．a2D．2a2[思路导引]先还原成原图形，再计算面积．[解析]由直观图还原出原图，如图，在原图中找出对应线段长度进而求出面积．所以S＝a·22a＝22a2.[答案]B(1)求图形的面积，关键是能先正确画出图形，然后求出相应边的长度，再利用公式求解．(2)原图的面积S与直观图的面积S′之间的关系为S＝22S′.[针对训练3]如图所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图．若A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝23C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1.试画出原四边形的形状，并求出原图形的面积．[解]如图，建立直角坐标系xOy，在x轴上截取OD＝O′D1＝1，OC＝O′C1＝2.在过点D的y轴的平行线上截取DA＝2D1A1＝2.在过点A的平行x轴的平行线上截取AB＝A1B1＝2.连接BC，即得到了原图形．由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度分别为AB＝2，CD＝3，直角腰的长度AD＝2，所以面积为S＝2＋3×22＝5.题型三空间几何体的直观图的画法【典例4】用斜二测画法画出六棱锥P－ABCDEF的直观图，其中底面ABCDEF为正六边形，点P在底面的投影是正六边形的中心O(尺寸自定)．[思路导引]先画出底面的直观图，然后确定竖直方向上的点，连线成图．[解](1)画出六棱锥P－ABCDEF的底面．如图①所示，在正六边形ABCDEF中，取AD所在的直线为x轴，对称轴MN为y轴，两轴相交于O.(2)画相应的x′轴、y′轴和z′轴，三轴相交于O′，使∠x′O′y′＝45°，∠x′O′z′＝90°；在图②中，以O′为中点，在x′轴上取A′D′＝AD，在y′轴上取M′N′＝12MN；以N′点为中点画B′C′平行于x′轴，且等于BC；再以M′为中点画E′F′平行于x′轴，且等于EF；连接A′B′，C′D′，D′E′，F′A′，得正六边形ABCDEF水平放置的直观图A′B′C′D′E′F′.(3)画正六棱锥P－ABCDEF的顶点．在z′轴上取点P′，使P′O′＝PO.(4)成图．连接P′A′，P′B′，P′C′，P′D′，P′E′，P′F′，并进行整理，便得到六棱锥P－ABCDEF的直观图P′－A′B′C′D′E′F′，如图③所示．(1)画空间图形的直观图，一般先用斜二测画法画出水平放置的平面图形，再画z轴，并确定竖直方向上的相关的点，最后连点成图便可．(2)直观图画法口诀可以总结为：“横长不变，纵长减半，竖长不变，平行关系不变．”[针对训练4]用斜二测画法画棱长为2cm的正方体ABCD－A′B′C′D′的直观图．[解]画法：(1)画轴．如图①，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.(2)画底面．以点O为中心，在x轴上取线段MN，使MN＝2cm；在y轴上取线段PQ，使PQ＝1cm.分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是正方体的底面ABCD.(3)画侧棱．过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2cm长的线段AA′，BB′，CC′，DD′.(4)成图．顺次连接A′，B′，C′，D′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到正方体的直观图(如图②)．