2019-2020学年高中数学 第1章 立体几何初步 1.3 空间几何体的表面积与体积 1.3.1

1．3.1空间几何体的表面积1.3空间几何体的表面积和体积预习课本P53～55，思考并完成下列问题1．直棱柱、正棱锥、正棱台定义是什么？2．直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积与全面积的计算公式是什么？3．圆柱、圆锥、圆台的侧面积的计算公式是什么？[新知初探]1．几种特殊的多面体(1)直棱柱：和底面的棱柱．(2)正棱柱：底面为的直棱柱．(3)正棱锥：底面是，并且顶点在底面的正投影是的棱锥．(4)正棱台：被平行于底面的平面所截，____和之间的部分．侧棱垂直正多边形正多边形底面中心正棱锥截面底面2．几个特殊的多面体的侧面积公式(1)S直棱柱侧＝ch(h为直棱柱的高)；(2)S正棱锥侧＝12ch′(h′为斜高)；(3)S正棱台侧＝12(c＋c′)h′(h′为斜高)．[点睛](1)柱、锥、台的侧面积的求法要注意柱、锥、台的几何特性，必要时要展开．(2)柱、锥、台的表面积即全面积应为侧面积与底面积的和．(3)正棱柱、正棱锥、正棱台侧面积之间的关系：S正棱柱侧――――→h′＝hc′＝cS正棱台侧――――→c′＝0S正棱锥侧.3．几种旋转体的侧面积公式(1)S圆柱侧＝＝_______.(2)S圆锥侧＝12ch＝.(3)S圆台侧＝12(c＋c′)h＝.clπrlπ(r＋r′)l[点睛]圆柱、圆锥、圆台表面积之间的关系：S圆柱侧S圆台侧――→r1＝0S圆锥侧.r1＝r22πrl[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)棱柱的侧面展开图是矩形．()(2)圆台的侧面展开图为扇环．()×√2．若正三棱锥的斜高是高的233倍，则该正三棱锥的侧面积是底面积的________倍．答案：23．一个正四棱柱的对角线的长是9cm，全面积等于144cm2，则这个棱柱的侧面积________cm2.答案：112求多面体的侧面积和表面积[典例]正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，高是3，求它的表面积．[解]如图，设PO＝3，PE是斜高，∵S侧＝2S底，∴4·12·BC·PE＝2BC2.∴BC＝PE.在Rt△POE中，PO＝3，OE＝12BC＝12PE.∴9＋PE22＝PE2.∴PE＝23.∴S底＝BC2＝PE2＝(23)2＝12.S侧＝2S底＝2×12＝24.∴S表＝S底＋S侧＝12＋24＝36.(1)求棱锥、棱台及棱柱的侧面积和表面积的关键是求底面边长，高，斜高，侧棱．求解时要注意直角三角形和梯形的应用．(2)正棱柱、正棱锥、正棱台的所有侧面都全等，因此求侧面积时，可先求一个侧面的面积，然后乘以侧面的个数．(3)棱台是由棱锥所截得到的，因此棱台的侧面积也可由大小棱锥侧面积作差得到．[活学活用]正四棱台的高是12cm，两底面边长之差为10cm，表面积为512cm2，求底面的边长．解：如图，设上底面边长为xcm，则下底面边长为(x＋10)cm，在Rt△E1FE中，EF＝x＋10－x2＝5(cm)．∵E1F＝12cm，∴斜高E1E＝13cm.∴S侧＝4×12(x＋x＋10)×13＝52(x＋5)，S表＝52(x＋5)＋x2＋(x＋10)2＝2x2＋72x＋360.∵S表＝512cm2，∴2x2＋72x＋360＝512.解得x1＝－38(舍去)，x2＝2.∴x2＋10＝12.∴正四棱台的上、下底面边长分别为2cm、12cm.求旋转体的侧面积和表面积[典例]圆台的上、下底面半径分别是10cm和20cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°，那么圆台的表面积是多少？[解]如图所示，设圆台的上底面周长为c，因为扇环的圆心角是180°，故c＝π·SA＝2π×10，所以SA＝20，同理可得SB＝40，所以AB＝SB－SA＝20，∴S表面积＝S侧＋S上＋S下＝π(r1＋r2)·AB＋πr21＋πr22＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1100π(cm2)．故圆台的表面积为1100πcm2.(1)求圆柱、圆锥和圆台的侧面积和表面积，只需求出上、下底半径和母线长即可，求半径和母线长时常借助轴截面．(2)解答旋转体的侧面积与表面积问题可先把空间问题转化为平面问题，即在展开图内求母线的长，再进一步代入侧面积公式求出侧面积，进而求出表面积．(3)旋转体的轴截面是化空间问题为平面问题的重要工具，因为在轴截面中集中体现了旋转体的“关键量”之间的关系．在推导这些量之间的关系时要注意比例性质的应用．[活学活用]一个直角梯形的上、下底的半径和高的比为1∶2∶3，求它绕垂直于上、下底的腰旋转后形成的圆台的上底面积、下底面积和侧面积的比．解：如图所示，设上、下底的半径和高分别为x,2x，3x，则母线长l＝2x－x2＋3x2＝2x，∴S上底＝πx2，S下底＝π(2x)2＝4πx2，S侧＝π(x＋2x)·2x＝6πx2，∴圆台的上底面积、下底面积和侧面积之比为1∶4∶6.组合体的侧面积和表面积问题[典例]牧民居住的蒙古包的形状是一个圆柱与圆锥的组合体，尺寸如图所示(单位：m)，请你帮助算出要搭建这样的一个蒙古包至少需要多少平方米的篷布？(精确到0.01m2)[解]上部分圆锥体的母线长为1.22＋2.52，其侧面积为S1＝π×52×1.22＋2.52.下部分圆柱体的侧面积为S2＝π×5×1.8.∴搭建这样的一个蒙古包至少需要的篷布为S＝S1＋S2＝π×52×1.22＋2.52＋π×5×1.8≈50.04(m2)．(1)组合体的侧面积和表面积问题，首先要弄清楚它是由哪些简单几何体组成，然后再根据条件求各个简单组合体的基本量，注意方程思想的应用．(2)在实际问题中，常通过计算物体的表面积来研究如何合理地用料，如何节省原材料等，在求解时应结合实际，明确实际物体究竟是哪种几何体，哪些面计算在内，哪些面实际没有．[活学活用]有两个相同的直棱柱，高为2a，底面三角形的边长分别为3a,4a,5a(a0)．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，表面积最小的是一个四棱柱，求a的取值范围．解：两个相同的直棱柱拼成一个三棱柱或四棱柱，有四种情况：四棱柱有一种，边长为5a的边重合在一起，表面积为24a2＋28.三棱柱有三种，边长为4a的边重合在一起，表面积为24a2＋32；边长为3a的边重合在一起，表面积为24a2＋36；两个相同的直三棱柱竖直放在一起，表面积为12a2＋48.最小的是一个四棱柱，即24a2＋2812a2＋48，即a253，又a0，∴0a153.∴a的取值范围为0，153.