2019-2020学年高中数学 第1章 立体几何初步 1.1 空间几何体 1.1.2 圆柱、圆锥、圆

1．1.2圆柱、圆锥、圆台和球预习课本P8～11，思考并完成下列问题1．数学中常见的旋转体圆柱、圆锥、圆台、球是如何形成的？2．类比棱柱、棱锥、棱台的生成过程，思考圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征，圆柱与圆锥和圆台之间有何联系？类比圆的定义，思考球面的概念有什么相同之处？[新知初探]1．圆柱、圆锥、圆台的概念将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕着它的、__________、_______________所在的直线旋转一周，形成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台．如图所示：一边一直角边垂直于底边的腰2．球的概念半圆绕着它的旋转一周所形成的曲面叫做球面，球面围成的几何体叫做______(简称球)．如图所示：直径所在的直线球体3．旋转面与旋转体一条平面曲线绕它所在平面内的旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体称为．圆柱、圆锥、圆台和球都是特殊的旋转体．一条定直线旋转体4．圆柱、圆锥、圆台之间的联系圆柱的底面退缩为该底面的时就形成了圆锥．用圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的几何体就是．圆心平行于圆台[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)一个直角三角形绕着其一边所在直线旋转一周所形成的几何体是圆锥．()(2)空间到定点的距离等于定长的点的轨迹形成的图形是球．()(3)圆台的母线一定相交．()(4)圆锥和圆台的侧面展开图都是扇形．()××√×2．用一个平面任意截一个几何体，所得的截面都是圆面．则这个几何体一定是.答案：球3．圆柱的轴截面是边长为2的正方形，AA1是它的一条母线，一只蚂蚁从A点出发，沿着圆柱的侧面爬行两圈后到达A1处，则蚂蚁所爬行的最短路程为________．答案：24π2＋1旋转体的基本概念[典例]判断下列说法是否正确？为什么？(1)以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转所得的几何体是圆台；(2)圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；(3)用一个平面去截圆锥．得到一个圆锥和一个圆台；(4)圆柱上底面上一点与下底面的连线是圆柱的一条母线．[解](1)不正确．以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为旋转轴可得到圆台．(2)不正确．它们的底面是圆面．(3)不正确．用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，可得到一个圆锥和一个圆台．用不平行于圆锥底面的平面截去圆锥不能得到一个圆锥和圆台．(4)不正确，圆柱的母线平行于轴．判断旋转体的形状关键是看平面图形绕哪条直线旋转所得，同一个平面图形绕不同的轴旋转所得旋转体不同．[活学活用]1．下列关于圆柱的说法中不正确的是()A．圆柱的所有母线长都相等B．用平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是与底面全等的圆面C．用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是一个圆面D．一个矩形以其对边中点的连线为旋转轴，旋转180°所形成的几何体是圆柱解析：根据圆柱的定义和结构特征，易知选项C不正确．答案：C2．给出以下说法：①球的半径是球面上任意一点与球心所连线段的长；②用一个平面截一个球，得到的截面可以是一个正方形；③过圆柱轴的平面截圆柱所得截面是矩形．其中正确说法的序号是________．解析：根据球的定义知，①正确；②不正确，因为球的任何截面都是圆；③正确．答案：①③旋转体中的基本计算[典例]已知圆台的上、下底面半径的比是1∶4，母线长为10cm，则截得此圆台的圆锥的母线长为________cm.[解析]延长圆台的轴截面的两条母线AA1，BB1交于S点，如图，∵O1B1∶OB＝1∶4，∴SB1∶SB＝1∶4，即SB－BB1SB＝14.∴SB－10SB＝14，解得SB＝403.故截得此圆台的圆锥的母线长为403cm.[答案]403(1)旋转体中的基本量都集中在经过轴的截面内(简称轴截面)，研究旋转体的轴截面是解题的关键，平面截旋转体所得的截面形状的判断，最好能够结合实物或模型进行准确判断．(2)解决几何体之间的“接”与“切”问题的基本策略是应使所取的截面图形中能建立起所求量与已知之间的联系，这样就把立体问题转化为平面几何来解决量与量之间的关系来处理．[活学活用]1．一个圆台的母线长为12cm，两底面面积分别为4πcm2和25πcm2.求：(1)圆台的高；(2)截得此圆台的圆锥的母线长．解：(1)如图所示，设圆台的轴截面是等腰梯形ABCD，作AM⊥BC于M，延长BA，CD交于S.由已知得上底面半径O1A＝2cm，下底面半径OB＝5cm，且腰长AB＝12cm，∴圆台的高AM＝122－5－22＝315(cm)．(2)设截得此圆台的圆锥的母线长为lcm，则由△SAO1∽△SBO，得l－12l＝25，解得l＝20.即截得此圆台的圆锥的母线长为20cm.2．一个圆柱恰好有一个内切球，若该球的半径为R，求圆柱的表面积．解：因为圆柱恰好有一个内切球的半径为R，作出圆柱的轴截面，其为正方形，恰好球的截面过球心(球的大圆)为正方形的内切圆，所以圆柱的底面直径和高都是2R,所以圆柱的表面积为2πR2＋2R·2πR＝6πR2.复杂旋转体的结构分析[典例]如图所示的平面图形绕轴l旋转一周后，形成的几何体是由哪些简单几何体构成？[解]过原图中的折点向旋转轴引垂线，这样便可得到三个规则图形：矩形、直角梯形、直角三角形，旋转后的图形如图所示，由一个圆柱O1O2、一个圆台O2O3和一个圆锥OO3组成．1．关于平面图形绕固定轴旋转后得到的几何体的组成问题，可采用如下方法解决：2．组合体的结构特征有两种：(1)是由简单几何体拼接而成；(2)是由简单几何体截去一部分构成．要仔细观察组合体的组成，柱、锥、台、球是最基本的几何体．[活学活用]如图，AB为圆弧BC所在圆的直径，∠BAC＝45°.将这个平面图形绕直线AB旋转一周，得到一个组合体，试说明这个组合体的结构特征．解：如图所示，这个组合体是由一个圆锥和一个半球体拼接而成的．