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数学必修②·人教A版新课标导学第一章空间几何体1.3空间几何体的表面积与体积1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积1自主预习学案2互动探究学案3课时作业学案自主预习学案北京奥运会结束后,国家对体育场馆都进行了改造,从专业比赛场馆逐步成为公众观光、健身的综合性体育场馆,国家游泳中心也完成了上述变身,新增了内部开放面积,并建成了大型的水上乐园.经营方出于多种考虑,近几年内“水立方”外墙暂不承接商业化广告,但出于长远考虑,决定为水立方外墙订制特殊显示屏,届时“水立方”将重新焕发活力,大放异彩.能否计算出“水立方”外墙所用显示屏的面积?1.柱体的表面积(1)侧面展开图:棱柱的侧面展开图是______________,一边是棱柱的侧棱,另一边等于棱柱的____________,如图①所示;圆柱的侧面展开图是________,其中一边是圆柱的母线,另一边等于圆柱的底面周长,如图②所示.(2)面积:柱体的表面积S表=S侧+2S底.特别地,圆柱的底面半径为r,母线长为l,则圆柱的侧面积S侧=____________,表面积S表=____________________.平行四边形底面周长矩形2πrl2πr(r+l)2.锥体的表面积(1)侧面展开图:棱锥的侧面展开图是由若干个__________拼成的,则侧面积为各个三角形面积的______,如图①所示;圆锥的侧面展开图是________,扇形的半径是圆锥的________,扇形的弧长等于圆锥的____________,如图②所示.(2)面积:锥体的表面积S表=S侧+S底.特别地,圆锥的底面半径为r,母线长为l,则圆锥的侧面积S侧=__________,表面积S表=__________________.三角形和扇形母线底面周长πrlπr(l+r)3.台体的表面积(1)侧面展开图:棱台的侧面展开图是由若干个________拼接而成的,则侧面积为各个梯形面积的______,如图①所示;圆台的侧面展开图是扇环,其侧面积可由大扇形的面积减去小扇形的面积而得到,如图②所示.(2)面积:台体的表面积S表=S侧+S上底+S下底.特别地,圆台的上、下底面半径分别为r′、r,母线长为l,则侧面积S侧=____________________,表面积S表=____________________________________.梯形和π(r+r′)lπ(r2+r′2+rl+r′l)4.柱体的体积(1)棱柱(圆柱)的高是指__________之间的距离,即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线,这个点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离.(2)柱体的底面积S,高为h,其体积V=________.特别地,圆柱的底面半径为r,高为h,其体积V=____________.5.锥体的体积(1)棱锥(圆锥)的高是指从顶点向底面作垂线,________与________(垂线与底面的交点)之间的距离.(2)锥体的底面积为S,高为h,其体积V=__________.特别地,圆锥的底面半径为r,高为h,其体积V=______________.两底面Shπr2h顶点垂足13Sh13πr2h6.台体的体积(1)圆台(棱台)的高是指____________之间的距离.(2)台体的上、下底面面积分别是S′、S,高为h,其体积V=________________________.特别地,圆台的上、下底面半径分别为r、r′,高为h,其体积V=__________________________________.两个底面13(S+SS′+S′)h13π(r2+rr′+r′2)h1.圆台的上、下底面半径分别为3和4,母线长为6,则其表面积等于()A.72B.42πC.67πD.72π[解析]S表=π(32+42+3×6+4×6)=67π.C2.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.2B.4C.6D.8C[解析]由三视图可知,该几何体是一个底面是一个腰长为2的等腰直角三角形,高为3的直三棱柱.该三棱柱的体积V=Sh=12×2×2×3=6.∴选C.3.已知圆锥SO的高为4,体积为4π,则底面半径r=______.[解析]设底面半径为r,则13πr2×4=4π,解得r=3,即底面半径为3.34.圆台OO′的母线长为6,两底面半径分别为2,7,则圆台的侧面积是__________.[解析]因为圆台的上底面半径r′=2,下底面半径r=7,母线长l=6,所以圆台的侧面积S侧=π(r+r′)l=π×(7+2)×6=54π.54π互动探究学案(全国卷Ⅱ文)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为()A.20πB.24πC.28πD.32π命题方向1⇨空间几何体的表面积C典例1[解析]该几何体的表面积由圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面圆的面积组成.其中,圆锥的底面半径为2,母线长为232+22=4,圆柱的底面半径为2,高为4,故所求表面积S=π×2×4+2π×2×4+π×22=28π.『规律方法』空间几何体的表面积的求法技巧(1)多面体的表面积是各个面的面积之和.(2)组合体的表面积应注意重合部分的处理.(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面,计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算,而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.〔跟踪练习1〕(2018·广东省揭阳市高一月考)把一张4×8的矩形硬纸卷成圆柱的侧面,则圆柱的全面积为______________________.[解析](1)如图①所示,以8为圆柱的母线长,把矩形硬纸卷成圆柱的侧面,此时底面圆的周长为2π·OA=4,∴OA=2π,故两底面的面积之和为8π,S全=32+8π.(2)如图②所示,以4为圆柱的母线长,把矩形硬纸卷成圆柱的侧面,此时底面圆的周长为2π·OB=8,∴OB=4π,此时两底面的面积之和为32π,故S全=32+32π.32+8π或32+32π如图所示,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,D为棱AA1的中点,若截面BC1D是面积为6的直角三角形,则此三棱柱的体积为________.命题方向2⇨空间几何体的体积典例283[解析]设AC=a,CC1=b,则(a2+14b2)×2=a2+b2,解得b2=2a2,又△BC1D是面积为6的直角三角形,则12×32a2=6,所以a2=8,故此三棱柱的体积为12a2×32×b=34×8×4=83.『规律方法』求几何体体积的常用方法:(1)公式法:直接代入公式求解.(2)等积法:例如四面体的任何一个面都可以作为底面,只需选用底面积和高都易求的几何体即可.(3)补体法:将几何体补成易求解的几何体,如棱锥补成棱柱,棱台补成棱锥等.(4)分割法:将几何体分割成易求解的几部分,分别求体积.〔跟踪练习2〕将若干毫升水倒入底面半径为2cm的圆柱形器皿中,量得水面高度为6cm,若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中,则水面高度为()A.63cmB.6cmC.2318cmD.3312cmB[解析]由题设可知两种器皿中的水的体积相同,设圆锥内水面高度为h,圆锥的轴截面为正三角形,可设边长为a,由右图可得,h32a=r12a,∴r=33h.故V圆柱=6×π×22=24π(cm3),V圆锥=13π·(33h)2·h.又V圆柱=V圆锥,∴h=6cm.(浙江,文)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的表面积是________cm2,体积是________cm3.命题方向3⇨与三视图有关的几何体的表面积与体积80典例340[解析]由三视图可得该几何体是由一个长、宽、高分别为4、4、2的长方体和一个棱长为2的正方体组合而成的,故表面积为S=4×4×2+4×2×4+2×2×4=80(cm2),体积为V=4×4×2+2×2×2=40(cm3).『规律方法』(1)解答此类问题的关键是先由三视图还原作出直观图,然后根据三视图中的数据在直观图中求出计算体积所需要的数据.(2)若由三视图还原的几何体的直观图由几部分组成,求几何体的体积时,依据需要先将几何体分割分别求解,最后求和.〔跟踪练习3〕(北京文)某四棱柱的三视图如图所示,则该四棱柱的体积为______.[解析]通过俯视图可知该四棱柱的底面为等腰梯形,则四棱柱的底面积S=1+2×12=32,通过侧(左)视图可知四棱柱的高h=1,所以该四棱柱的体积V=Sh=32.32某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()命题方向4⇨简单组合体的体积与表面积A典例4A.13+πB.23+πC.13+2πD.23+2π[解析]由三视图可知该几何体是由一个半圆柱和一个三棱锥组成的.由图中数据可得三棱锥的体积V1=13×12×2×1×1=13,半圆柱的体积V2=12×π×12×2=π,∴V=13+π.『规律方法』求组合体的表面积与体积的方法(1)分析结构特征.(2)设计计算方法.根据组成形式,设计计算方法,特别要注意“拼接面”面积的处理.利用“切割”“补形”的方法求体积.(3)计算求值.根据设计的计算方法求值.〔跟踪练习4〕某个实心零部件的形状是如图所示的几何体,其下部是底面均为正方形,侧面为全等的等腰梯形的四棱台A1B1C1D1-ABCD,其上部是一个底面与四棱台的上底面重合,侧面是全等的矩形的四棱柱ABCD-A2B2C2D2.现需对该零部件表面进行防腐处理,已知AB=10,A1B1=20,AA2=30,AA1=13(单位:cm),若加工处理费为0.2元/cm2,则需支付加工处理费多少元?[解析]∵四棱柱ABCD-A2B2C2D2的底面是正方形,侧面是全等的矩形,∴该零部件上部的表面积S1=S四棱柱上底面+S四棱柱侧面=A2B22+4AB·AA2=102+4×10×30=1300(cm2),又四棱台A1B1C1D1-ABCD的上下底面均是正方形,侧面是全等的等腰梯形,∴该零部件下部的表面积S2=S四棱台下底面+S四棱台侧面=A1B21+4×12×(AB+A1B1)×h等腰梯形的高=202+4×12×(10+20)×132-[12×20-10]2=1120(cm2),则该实心零部件的表面积S=S1+S2=1300+1120=2420(cm2),0.2×2420=484(元),故需支付加工处理费484元.1.等积变换(1)直线a∥b(如图(1)),c是a上一点,则对于a上任一点D,有S△ABC=S△ABD.(2)若平面α∥平面ABC,且平面α经过点D,则对于平面α内任一点P,有VD-ABC=VP-ABC.转化思想在立体几何中的应用——割与补、等积变换(3)对于三棱锥A-BCD,有VA-BCD=VB-ACD=VC-ABD=VD-ABC.2.割与补当一个几何体的形状不规则时,无法直接运用体积公式求解,这时一般通过分割与补形,将原几何体分割或补形成较易计算体积的几何体,从而求出原几何体的体积,这种方法就称为割补法.如图,在多面体ABCDEF中,已知四边形ABCD是边长为1的正方形,且△ADE、△BCF均为正三角形,EF∥AB,EF=2,求多面体的体积.[思路分析]典例5[解析]如图,取AD中点M,过M作MN⊥EF于N,取BC的中点G,过G作GH⊥EF于H,则原几何体可分割为左棱锥E-ADN、右棱锥F-BCH、侧面为矩形的三棱柱ADN-BCH,且两锥高各是12,棱柱高1,连接EM,则EM=32,MN=322-122=22.∴V=12×1×22×1+2×13×12×22×1×12=24+212=23.〔跟踪练习5〕三棱台ABC-A1B1C1中,AB︰A1B1=1︰2,则三棱锥A1-ABC,B-A1B1C,C-A1B1C1的体积之比为()A.1︰1︰1B.1︰1︰2C.1︰2︰4D.1︰4︰4C[解析]设棱台的高为h,S△ABC=S,则S△A1B1C1=4S.∴VA1-ABC=13S△ABC·h=13Sh,VC-A1B1C1=13S△A1B1C1·h=43Sh,又V台=13h(S+4S+2S)=73Sh,∴VB-A1B1C=V台-VA1-ABC-VC-A1B1C1=73Sh-Sh
本文标题:2019-2020学年高中数学 第1章 空间几何体 1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积课件
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