2019-2020学年高中数学 第1章 空间几何体 1.1.2 圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征课件

数学必修②·人教A版新课标导学第一章空间几何体1.1空间几何体的结构1.1.2圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征1自主预习学案2互动探究学案3课时作业学案自主预习学案观察下列实物图，你能说明由该实物图抽象出的几何体与多面体有何不同吗？1．圆柱的结构特征定义以________的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱有关概念旋转轴叫做圆柱的______；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的________；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的________；无论旋转到什么位置，__________于轴的边都叫做圆柱侧面的母线矩形轴底面侧面不垂直图形表示法用表示它的轴的字母，即表示两底面________的字母表示，上图中的圆柱可记作圆柱__________规定________和________统称为柱体圆心O′O圆柱棱柱[归纳总结]圆柱的简单性质：(1)圆柱有无数条母线，它们互相平行且相等．(2)平行于底面的截面是与底面大小相同的圆，如图①所示．(3)过轴的截面(轴截面)都是全等的矩形，如图②所示．(4)过任意两条母线的截面是矩形，如图③所示．2．圆锥的结构特征定义以________三角形的一条__________所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥图形直角直角边有关概念如上图所示，轴为________，底面为________，SA为母线．另外，S叫做圆锥的________，OA(或OB)叫做底面⊙O的________表示法圆锥用表示它的______的字母表示，上图中的圆锥可记作圆锥________规定________与________统称为锥体SO⊙O顶点半径轴SO棱锥圆锥[归纳总结]圆锥的简单性质：(1)圆锥有无数条母线，它们有公共点即圆锥的顶点，且长度相等．(2)平行于底面的截面都是圆，如图①所示．(3)过轴的截面(轴截面)是全等的等腰三角形，如图②所示．(4)过任意两条母线的截面是等腰三角形，如图③所示．3．圆台的结构特征定义用平行于________底面的平面去截圆锥，________与________之间的部分叫做圆台图形圆锥底面截面有关概念原圆锥的底面和截面分别叫做圆台的______底面和______底面．与圆柱和圆锥一样，圆台也有轴、________、母线，如上图所示，轴为__________，AA′为母线表示法用表示轴的________表示，上图中的圆台可记作圆台__________规定________与________统称为台体下上侧面OO′字母OO′圆台棱台[归纳总结]圆台的简单性质：(1)圆台有无数条母线，且它们相等，延长后相交于一点．(2)平行于底面的截面是圆，如图①所示．(3)过轴的截面是全等的等腰梯形，如图②所示．(4)过任意两条母线的截面是等腰梯形，如图③所示．4．球定义以半圆的________所在直线为旋转轴，半圆面旋转________形成的旋转体叫做球体，简称球有关概念半圆的________叫做球的球心；半圆的________叫做球的半径；半圆的________叫做球的直径图形表示法球常用表示________的字母表示，如上图中的球记作球______直径一周圆心半径直径球心O1．下列几何体中是旋转体的是()①圆柱；②六棱锥；③正方体；④球体；⑤四面体．A．①B．①和④C．①和⑤D．③和④[解析]①④是旋转体，②③⑤是多面体，故选B.B2．如图所示的组合体，其结构特征是()A．两个圆锥B．两个圆柱C．一个棱锥和一个棱柱D．一个圆锥和一个圆柱[解析]如图所示的几何体是由一个圆锥和一个圆柱构成的组合体．D3．关于圆台，下列说法正确的是__________.①两个底面平行且全等；②圆台的母线有无数条；③圆台的母线长大于高；④两底面圆心的连线是高．[解析]圆台的上底面和下底面是两个大小不同的圆，则①不正确，②③④正确．②③④4．铅球、足球、乒乓球是球吗？[解析]球是由球面及其内部空间组成的几何体．根据球的定义，铅球是球．对于足球、乒乓球，虽然它们的名字中有“球”字，但它们是空心的，不符合球的定义，故都不是球．互动探究学案下列结论正确的是__________.①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④以等腰三角形的底边上的高所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥；⑤球面上四个不同的点一定不在同一平面内；命题方向1⇨旋转体的结构特征典例1④⑥⑧⑥球的半径是球面上任意一点和球心的连线段；⑦球面上任意三点可能在一条直线上；⑧用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面．[思路分析]准确理解旋转体的定义，在此基础上掌握各旋转体的性质，才能更好地把握它们的结构特征，以作出准确的判断．[解析]①以直角三角形的一条直角边为轴旋转一周才可以得到圆锥；②以直角梯形垂直于底边的一腰为轴旋转一周可得到圆台；③它们的底面为圆面；④正确；作球的一个截面，在截面的圆周上任意取四点，则这四点就在球面上，故⑤错误；根据球的半径定义可知⑥正确；球面上任意三点一定不共线，故⑦错误；用一个平面去截球，一定截得一个圆面，故⑧正确．『规律方法』圆柱、圆锥、圆台、球都是常见的旋转体，熟练掌握它们结构特征，弄清旋转体的性质是准确作图解题的前提．〔跟踪练习1〕下列结论：①任意平面截圆柱，截面都是圆面；②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线，其中正确的是()A．①B．②C．①②D．②③[解析]过两母线的截面为矩形，有时斜的截面为椭圆，故①错；根据母线的定义和特点，③错误，原因是圆柱的母线都是平行的，②正确，故选B.B如图，绕虚线旋转一周后形成的旋转体是由哪些简单几何体组成的？[解析]如图所示，由一个圆锥O4O5，一个圆柱O3O4及一个圆台O1O3中挖去圆锥O1O2组成的．命题方向2⇨简单组合体的结构特征典例2『规律方法』平面图形绕某条直线旋转时，要过有关顶点向轴作垂线．．．．．，然后分析旋转体的结构和组成．〔跟踪练习2〕已知AB是直角梯形ABCD中与底边垂直的一腰，如图．分别以AB、BC、CD、DA为轴旋转，试说明所得几何体的结构特征．[解析](1)以AB为轴旋转所得旋转体是圆台．如下图①所示．(2)以BC边为轴旋转所得的旋转体是一组合体：下部为圆柱，上部为圆锥．如下图②所示．(3)以CD边为轴旋转所得的旋转体为一组合体：上部为圆锥，下部为圆台，再挖去一个小圆锥．如下图③所示．(4)以AD边为轴旋转所得的组合体：一个圆柱上部挖去一个圆锥．如下图④所示．(2018·辽宁省沈阳市模拟)圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积为392cm2，母线与轴的夹角为45°，求这个圆台的高、母线长和底面半径．[思路分析]命题方向3⇨旋转体中的计算问题典例3[解析]方法一圆台的轴截面如图所示，根据题意可设圆台的上、下底面半径分别为xcm和3xcm，即A′O′＝xcm，AO＝3xcm(O′，O分别为上、下底面圆心)，过点A′作AB的垂线，垂足为D.在Rt△AA′D中，∠AA′D＝45°，AD＝AO－A′O′＝2x(cm)，所以A′D＝AD＝2xcm，又S轴截面＝12×(A′B′＋AB)×A′D＝12×(2x＋6x)×2x＝392(cm2)，所以x＝7.综上可知，圆台的高OO′＝14cm，母线长AA′＝2OO′＝142(cm)，上、下底面的半径分别为7cm和21cm.方法二圆台的轴截面如图所示，根据题意可设圆台的上、下底面半径分别为xcm和3xcm，延长AA′，BB′交OO′的延长线于点S(O′，O分别为上、下底面圆心)．在Rt△SOA中，∠ASO＝45°，所以SO＝AO＝3xcm，又SO′＝A′O′＝xcm，所以OO′＝2xcm.又S轴截面＝12×(2x＋6x)×2x＝392(cm2)，所以x＝7.综上可知，圆台的高OO′＝14cm，母线长AA′＝2OO′＝142(cm)，上、下底面半径分别为7cm和21cm.『规律方法』圆柱、圆锥、圆台基本量的计算问题的求解策略(1)解决圆柱基本量的计算问题，要抓住它的底面半径、高(母线)与轴截面矩形之间的关系，注意在轴截面矩形中一边长为圆柱的高，另一边长为圆柱的底面直径．(2)解决圆锥基本量的计算问题，要从圆锥的轴截面入手，往往利用截面中的直角三角形建立底面半径r、高h、母线长l三者之间的关系l2＝h2＋r2.(3)解决圆台基本量的计算问题，一般从圆台的轴截面(等腰梯形)入手，利用轴截面可以分割为两个全等的直角三角形和一个矩形，从而结合题目条件求解．另外，也可以将其两腰延长转化为等腰三角形，从而可以利用平行线分线段成比例、三角形相似等知识来解决．〔跟踪练习3〕如果把地球看成一个球体，则地球上北纬60°纬线长和赤道线长的比值为()A．4︰5B．3︰4C．1︰2D．1︰4C[解析]设赤道所在圆的半径为R，北纬60°所在圆的半径为r，由纬度定义可知，cos60°＝rR＝12.故所求比值即为两个圆半径之比值0.5.空间想象能力培养—卷与展典例4一圆柱的底面半径为3π，母线长为4，轴截面为ABCD，从点A拉一绳子沿圆柱侧面到相对顶点C，求最短绳长．[思路分析]绳子沿圆柱侧面由A到C且最短，故侧面展开后为A、C两点间的线段长．[解析]沿BC剪开，将圆柱体的侧面的一半展开得到矩形BADC.则AD＝4，AB＝3π·π＝3.∴AC＝32＋42＝5，即最短绳长为5.『规律方法』求多面体表面上两点间的最短距离的思路将空间图形问题转化为平面图形问题，是解决立体几何问题基本的、常用的方法．立体图形上两点之间的最短距离问题常通过把立体图形转化为平面图形，利用轴对称、平移或旋转等几何图形的变换，运用“两点之间，线段最短”来解决．具体步骤如下：(1)将几何体沿着某棱剪开后展开，画出其侧面展开图；(2)将所求问题转化为平面上的线段问题；(3)结合已知条件求得结果．〔跟踪练习4〕如图所示，正三棱锥V－ABC的侧棱长为1，∠AVB＝40°，E和F分别是VB和VC上的点，则△AEF的周长的最小值为______.3[解析]如图所示，将三棱锥沿侧棱VA剪开，并将其侧面展开在一个平面上，则线段AA1的长即为所求△AEF的周长的最小值．取AA1的中点D，连接VD，则VD⊥AA1，∠AVD＝60°.在Rt△VAD中，AD＝VA·sin60°＝32，∴AA1＝2AD＝3.故△AEF的周长的最小值为3.如图所示，它们是不是棱锥、棱台、圆柱、圆锥等几何体？[错解]图①是圆柱；图②是圆锥．[错因分析]不能只依据概念的某一结论去判断．判断几何体的形状时，要考虑周全，要满足几何体的所有特征．[正解]图①不是圆柱，因为上下两面不平行(或不是由一个矩形旋转而成)；图②不是由一个直角三角形旋转而成，故不是圆锥．旋转体的概念不清致误典例51．圆锥的母线有()A．2条B．3条C．4条D．无数条[解析]圆锥的顶点与其底面圆上任意一点的连线都是圆锥的母线．D2．圆柱的母线长为10，则其高等于()A．5B．10C．20D．不确定[解析]圆柱的母线长与高相等，则其高等于10.B3．圆台的母线()A．平行B．相等C．与高相等D．与底面平行[解析]圆台的母线延长线交于一点，则A项不正确；圆台的母线大于高，则C项不正确；圆台的母线与底面相交，则D项不正确；很明显B项正确．B4．已知圆锥的母线长为5，底面圆直径为8，则圆锥的高h＝______.3[解析]如图，∵圆锥的底面直径AB＝8，∴圆锥的底面半径R＝OA＝4，又∵SA＝5，∴圆锥的高h＝SO＝52－42＝3.