2019-2020学年高中数学 第1章 计数原理章末复习方案课件 新人教A版选修2-3

返回目录计数原理第一章返回目录章末复习方案返回目录章末·核心归纳章末·考法整合返回目录章末·核心归纳考点分布命题趋势1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理，会利用两个原理分析和解决一些简单的实际问题【内容特点】(1)高考对两个计数原理的考查，多是两个原理结合在一起应用，注意分类与分步的区别．(2)有限制的排列、组合问题多涉及：选择问题、抽样问题、几何问题、分组问题，可能与概率问题结合．(3)二项式定理的应用及二项式系数的性质也是常考点．【题型形式】一般以选择题、填空题形式出现，通常二项式定理较简单，排列组合稍难.2.理解排列、组合的概念，并能推导排列数公式和组合数公式3.能利用排列、组合解决简单的实际问题4.能用计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题返回目录章末·考法整合利用计数原理解决问题的步骤：第一步，由于计数问题一般是解决实际问题，故首先要审清题意，弄清完成的事件是怎样的；考法一两个计数原理的综合应用返回目录第二步，分析完成这件事应采用分类、分步、先分类后分步、先分步后分类四类中哪一种；第三步，弄清在每一类或每一步中的方法种数；第四步，根据分类加法计数原理或分步乘法计数原理计算出完成这件事的方法种数．返回目录【真题1】如图所示，从A→B→C，有______种不同的走法；从A→C，有______种不同的走法．返回目录解析A→B→C分两步．第一步：A→B，有2种走法；第二步：B→C，有2种走法．所以A→B→C共有2×2＝4种走法．A→C分两类．第一类：A→B→C共有4种走法；第二类：A→C(不经过B)有2种走法．所以A→C共有4＋2＝6种走法．答案46返回目录排列作为计数问题的一种重要解决方法，在高考中主要考查有限制条件的排列问题、元素对应问题，难度不大．多以选择题或填空题的形式出现，有时也作为求分布列或概率的步骤之一使用．考法二有限制条件的排列问题返回目录对于有限制条件的排列问题，第一步，先弄清分类或分步的主体，即是从元素还是从位置入手进行分类或分步，其原则是谁“特殊”谁优先；第二步，若需分类，先建立恰当的分类标准，若分步，则建立恰当的步骤顺序；第三步，对每一类或每一步利用排列的相关知识计算方法种数；第四步，根据分类加法或分步乘法计数原理，最后计算出完成这件事的方法种数．返回目录【真题2】两个女生和三个男生站成一排照相，两个女生要求相邻，男生甲不站在两端，不同排法的种数为________.解析先把2个女生放在一起看作一个复合元素，再和另外的2个男生全排列形成了2个空(不包含两端)，将男生甲插入到其中，故有A22A33A12＝24种．答案24返回目录组合作为计数问题的一种重要解决方法，在高考中主要考查有限制条件的组合问题、分组分配问题，难度不大．多以选择题或填空题的形式出现，有时也作为求分布列或概率的步骤之一使用．考法三有限制条件的组合问题返回目录组合问题的限制条件主要体现在取出的元素中“含”与“不含”某些元素，在解答时可用直接法，也可以用间接法．用直接法求解时，要注意合理地分类或分步；用间接法求解时，要注意题目中“至少”“至多”等关键词的含义，做到不重不漏．返回目录【真题3】(2018·全国卷Ⅰ)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种(用数字填写答案)．解析从6人中任选3人，不同的选法有C36＝20种，从6人中任选3人都是男生，不同的选法有C34＝4种，所以至少有1位女生入选的不同的选法有20－4＝16种．答案16返回目录解决分组与分配问题，第一，要弄清分配问题与分组问题的不同；第二，解决分配问题，应先分组再分配；第三，弄清分组问题的几种情况及其解决方案．考法四分组与分配问题返回目录【真题4】将2名教师、4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方法共有()A．12种B．10种C．9种D．8种返回目录答案A解析先从4名学生中选2人安排到甲地，有C24种不同的方法；再从2名老师中选1人安排到甲地，有C12种不同的方法；其余2名学生和1名老师安排到乙地只有一种方法，根据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有C24C12＝12种．故选A项．返回目录解决排列组合的综合问题应遵循计数问题的四种基本原则：(1)特殊优先原则：在有限制的排列组合问题中，若以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；若以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置．考法五排列与组合的综合问题返回目录(2)先组合后排列原则：对于有限制条件的排列组合问题，常可分步进行，先组合后排列，即先取出元素再安排元素，这是分步乘法计数原理的典型应用．(3)正难则反原则：若从正面直接解决问题有困难，则考虑事件的对立事件，从不适合题目要求的情况入手，再整体排除．(4)策略针对原则：针对一些如相邻问题、不相邻问题、定序问题等计数问题，常常有一些固定的模式可遵循．返回目录【真题5】(2018·浙江卷)从1,3,5,7,9中任取2个数字，从0,2,4,6中任取2个数字，一共可以组成________个没有重复数字的四位数(用数字作答)．返回目录解析若取的4个数字不包括0，则可以组成的四位数的个数为C25C23A44；若取的4个数字包括0，则可以组成的四位数的个数为C25C13C13A33.综上，一共可以组成的没有重复数字的四位数的个数为C25C23A44＋C25C13C13A33＝720＋540＝1260.答案1260返回目录考法六求与特定项相关的量求与特定项相关的量的常见类型及其解决方法：(1)求解形如(a＋b)n(n∈N*)的式子中与特定项相关的量(求常数项、参数值、特定项)的解决方法第一步，利用二项式定理写出展开式的通项公式Tr＋1＝Crnan－rbr，常把字母和系数分离开(注意符号不要出错)；返回目录第二步，根据题目中的相关条件(如常数项等特定项的指数需要满足的条件，或者其系数需要满足的条件等)先列出相应方程(组)或不等式(组)，求解出r；第三步，把r代入通项公式中，即可求出Tr＋1，有时还需要先求n，再求r，才能求出Tr＋1或者其他量．返回目录(2)求形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的式子中与特定项相关的量第一步，根据二项式定理把(a＋b)m与(c＋d)n分别展开，并写出其通项公式；第二步，根据特定项的次数，分析特定项可由(a＋b)m与(c＋d)n的展开式中的哪些项相乘得到；第三步，把相乘后的项相加减即可得到特定项．返回目录(3)求形如(a＋b＋c)n(n∈N*)的式子中与特定项相关的量第一步，把三项的和(a＋b＋c)看作(a＋b)与c两项的和；第二步，根据二项式定理求出[(a＋b)＋c]n的展开式的通项；第三步，对特定项的次数进行分析，弄清特定项是由(a＋b)n－r展开式和cr的展开式中的哪些项相乘得到；第四步，把相乘后的项相加减即可得到特定项．返回目录【真题6】(1)(2018·全国卷Ⅲ)x2＋2x5的展开式中x4的系数为()A．10B．20C．40D．80(2)(2018·天津卷)在x－12x5的展开式中，x2的系数为________.返回目录解析(1)Tr＋1＝Cr5(x2)5－r2xr＝Cr52rx10－3r，由10－3r＝4，得r＝2，所以x4的系数为C25×22＝40.(2)x－12x5的展开式的通项Tr＋1＝Cr5x5－r－12xr＝Cr5x5－3r2－12r，令5－32r＝2，得r＝2，所以x2的系数为C25－122＝52.答案(1)C(2)52返回目录考法七二项展开式中的系数和问题求展开式中所有项的系数和关键是给字母赋值，一般情况下，是对被展开的二项式中的所有字母都赋值为1，因为展开式中的每一项都是由系数和含字母的代数式组成的，若所有字母都为1，则展开式的和即为系数之和；有时针对不同问题，对字母所赋的值可能不同，但其原则是使展开式中与系数相乘的式子的值为1即可．返回目录【真题7】已知(2x＋3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝________.解析令x＝1，得(2＋3)4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4；令x＝－1，得(3－2)4＝a0－a1＋a2－a3＋a4.所以(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(a0＋a2＋a4＋a1＋a3)(a0＋a2＋a4－a1－a3)＝(2＋3)4·(3－2)4＝(－1)4＝1.答案1返回目录