2019-2020学年高中数学 第1章 计数原理 3.1 二项式定理课件 新人教A版选修2-3

第一章计数原理1．3二项式定理1．3.1二项式定理梳理知识夯实基础自主学习导航1．能用计数原理证明二项式定理．2．掌握二项式定理和二项展开式的通项公式．3．能解决与二项式定理有关的简单问题．‖知识梳理‖二项式定理(a＋b)n＝__________________________________________________，其展开式共有__________项，其中各项的系数__________(k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数，式子中的__________叫做二项展开式的通项，用________表示，即展开式的第__________项，即_________________.C0nan＋C1nan－1b＋C2nan－2b2＋…＋Crnan－rbr＋…＋Cnnbnn＋1CknCrnan－rbrTr＋1r＋1Tr＋1＝Crnan－rbr解剖难点探究提高重点难点突破二项式定理是一个恒等式，左边是二项式幂的形式，右边是二项式的展开式，各项的次数都等于二项式的幂的次数n，字母a按降幂排列，次数由n递减到0，字母b按升幂排列，次数由0递增到n，展开式共有n＋1项，其中二项展开式的通项Tr＋1＝Crnan－rbr表示二项展开式中的任意项，只要n与r确定，该项也随之确定．归纳透析触类旁通课堂互动探究题型一二项式定理的应用(1)求x＋1x6的展开式；(2)化简(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)．【思路探索】对于(1)直接利用二项式定理展开；对于(2)可根据式子的特点，逆用二项式定理求解．【解】(1)x＋1x6＝C06(x)6＋C16(x)51x＋C26(x)4·1x2＋C36(x)3·1x3＋C46(x)2·1x4＋C56x·1x5＋C661x6＝x3＋6x2＋15x＋20＋15x＋6x2＋1x3.(2)原式＝C05(x－1)5＋C15(x－1)4＋C25(x－1)3＋C35(x－1)2＋C45(x－1)＋C5515－1＝(x－1＋1)5－1＝x5－1.[名师点拨](a＋b)n展开式有如下特点：(1)共有n＋1项；(2)a，b的指数和为n，字母a的指数由n递减到0，同时，字母b的指数由0递增到n；(3)二项式系数满足下标为n，上标由0递增到n.若(1－2)5＝a＋b2(a，b为有理数)，则a＋b＝()A．32B．12C．0D．－1解析：(1－2)5＝C05＋C15(－2)＋C25(－2)2＋C35(－2)3＋C45(－2)4＋C55(－2)5＝1－52＋20－202＋20－42＝41－292，∴a＝41，b＝－29，∴a＋b＝41－29＝12，故选B.答案：B题型二求展开式中的特定项及系数已知3x－123xn的展开式中，第6项为常数项．(1)求n；(2)求含x2项的系数及二项式系数；(3)求展开式中所有的有理项．【思路探索】利用二项展开式的通项公式求解．【解】(1)由题意得Tr＋1＝Crn(3x)n－r·－123xr＝(－1)r·12rCrn·(r＝0,1,2，…，n)．∴T6＝T5＋1＝(－1)5·125C5n·，又第6项为常数项，∴n－103＝0，∴n＝10.(2)由(1)知Tr＋1＝(－1)r·12r·Cr10·，令10－2r3＝2，得r＝2.∴x2的系数为(－1)2·122·C210＝454.含x2这一项的二项式系数为C210＝45.(3)由题意得10－2r3为整数，其中0≤r≤10，r∈Z.∴10－2r＝0或10－2r＝6或10－2r＝－6，得r＝5或r＝2或r＝8.∴有理项为T3＝C210122·x2＝454x2，T6＝C510－125＝－638，T9＝C810－128·x－2＝45256x－2.[名师点拨]利用二项展开式的通项解决问题时要注意以下几点：(1)(a＋b)n展开式的通项是Tr＋1＝Crnan－rbr，如T6＝T5＋1＝C5nan－5b5，代入公式时，千万不要代错；(2)常数项中不含字母；(3)注意系数与二项式系数的区别，系数是指未知数前面的数，包括正负号，而二项式系数是特指Crn.(2019·湖南省四校高三摸底调研)2x2－1x9的展开式中的常数项为()A．672B．－672C．84D．－84解析：2x2－1x9的展开式的通项公式为Tr＋1＝Cr9(2x2)9－r·－1xr＝(－1)r·29－r·Cr9·x18－3r，由18－3r＝0，得r＝6，所以该二项式的常数项为(－1)6×23×C69＝672，故选A.答案：A题型三利用二项式定理解决整除问题或余数问题(2019·日照一中高二月考)求证：32n＋2－8n－9(n∈N*)能被64整除．【思路探索】注意到32n＋2＝9n＋1＝(8＋1)n＋1，利用二项展开式可得．【证明】32n＋2－8n－9＝9n＋1－8n－9＝(8＋1)n＋1－8n－9＝8n＋1＋C1n＋18n＋C2n＋18n－1＋…＋Cn－1n＋182＋Cnn＋18＋1－8n－9＝82(8n－1＋C1n＋18n－2＋C2n＋18n－3＋…＋Cn－1n＋1)＋8(n＋1)＋1－8n－9＝64(8n－1＋C1n＋18n－2＋C2n＋18n－3＋…＋Cn－1n＋1)．∵n∈N*，∴8n－1＋C1n＋18n－2＋C2n＋18n－3＋…＋Cn－1n＋1是整数，∴32n＋2－8n－9(n∈N*)能被64整除．[名师点拨]利用二项式定理解决整除问题或余数问题，通常是将底数化成两数的和或差的形式，利用二项展开式求解.设a∈Z，且0≤a13，若512018＋a能被13整除，则a＝()A．0B．1C．11D．12解析：512018＝(52－1)2018＝C02018522018＋C12018522017·(－1)＋C22018522016·(－1)2＋…＋C2017201852·(－1)2017＋C20182018(－1)2018.∵52能被13整除，∴展开式的第一项至倒数第二项均能被13整除，只余下最后一项1，∴要使512018＋a能被13整除，a的值应为12，故选D.答案：D即学即练稳操胜券课堂基础达标1．在x2－13x8的展开式中，常数项是()A．－28B．－7C．7D．28解析：Tr＋1＝Cr8x28－r·－13xr＝Cr8128－r(－1)rx8－r－r3＝Cr8128－r(－1)rx8－4r3，∴8－4r3＝0，∴r＝6，∴T7＝C68122(－1)6＝7，故选C.答案：C2．(2019·全国卷Ⅲ)(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为()A．12B．16C．20D．24解析：展开式中含x3的项可以由“1与x3”和“2x2与x”的乘积组成，则x3的系数为C34＋2C14＝4＋8＝12.答案：A3．(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为()A．10B．20C．30D．60解析：在(x2＋x＋y)5的5个因式中，2个取因式中x2，剩余的3个因式中1个取x，其余因式取y，故x5y2的系数为C25C13C22＝30，故选C.答案：C4．已知(1＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，则a8＝________.解析：∵(1＋x)10＝(－1－x)10＝[(－2)＋(1－x)]10，(1＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，∴[(－2)＋(1－x)]10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，∴a8＝C810×(－2)2＝180.答案：1805．在2x＋1x26的展开式中，求：(1)第4项的二项式系数；(2)常数项．解：(1)因为Tr＋1＝Cr6(2x)6－r1x2r＝Cr6·26－rx6－3r，所以第4项的二项式系数为C36＝20.(2)令6－3r＝0，r＝2，所以常数项为C26·24＝240.