2019-2020学年高中数学 第1章 导数及其应用 1.7.1 定积分在几何中的应用课件 新人教A

第一章导数及其应用1.7定积分的简单应用1.7.1定积分在几何中的应用梳理知识夯实基础自主学习导航目标导学1．体会定积分在解决几何问题中的作用．2．会通过定积分求两条或三条曲线围成的图形的面积．‖知识梳理‖若一平面图形是由y＝f1(x)，y＝f2(x)及x＝a，x＝b(a＜b)所围成，且在[a，b]上，f1(x)≤f2(x)，则该平面图形的面积为S＝_________________________________.ab[f2(x)－f1(x)]dx解剖难点探究提高重点难点突破求一条曲线y＝f(x)与直线x＝a，x＝b(a＜b)及y＝0所围成的平面图形的面积S，若f(x)＞0，abf(x)dx＞0；若f(x)＜0，abf(x)dx＜0，则S＝abfxdx＝－abf(x)dx；若当a＜x＜c时，f(x)＜0，c＜x＜b时，f(x)＞0，则S＝acfxdx＋cbf(x)dx＝－acf(x)dx＋cbf(x)dx.由两条曲线y＝f(x)和y＝g(x)，直线x＝a，x＝b(a＜b)所围成的图形的面积为S；当f(x)＞g(x)＞0时，S＝ab[f(x)－g(x)]dx；当f(x)＞0，g(x)＜0时，S＝abf(x)dx＋abgxdx＝ab[f(x)－g(x)]dx.归纳透析触类旁通课堂互动探究题型一求曲边多边形的面积求由抛物线y＝x2－4与直线y＝－x＋2所围成的图形的面积．【思路探索】画出图形，利用定积分求面积．【解】由y＝x2－4，y＝－x＋2，得x＝－3，y＝5，或x＝2，y＝0.∴直线y＝－x＋2与抛物线y＝x2－4的交点为(－3,5)和(2,0)，图中阴影部分即所求图形的面积为S，[名师点拨]求曲边多边形的面积的步骤：(1)画出图形，确定图形范围．即借助几何知识将所求图形的面积问题转化为求两个曲边梯形的面积问题．(2)确定积分上、下限．即通过解方程组求出交点的横坐标，确定积分上、下限．(3)确定被积函数，特别要注意分清被积函数的上、下位置．(4)写出平面图形面积的定积分表达式，运用微积分基本定理计算定积分，从而求出平面图形的面积.(2019·哈尔滨师大附中高二月考)从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x，y)，则点M取自阴影部分的概率为________．解析：阴影部分的面积为S阴影＝013x2dx＝x310＝1，所以点M取自阴影部分的概率为P＝S阴影S长方形＝13×1.答案：13题型二求较复杂图形的面积求由y＝4x与直线x＋y－12＝0及y＝0所围成图形的面积．【思路探索】首先画出图形，明确所求的面积，利用定积分求解．【解】由y＝4x，x＋y－12＝0，得x＝4，y＝8.[名师点拨]对于比较复杂的图形，求面积时，可根据图象对各个区段分别求面积进而求和.(2019·南城县二中高二月考)在下面所给图形的面积S及相应表达式中，正确的有()A．①③B．②③C．①④D．③④解析：①应是S＝ab[f(x)－g(x)]dx，②应是S＝0822xdx－48(2x－8)dx，③和④正确，故选D.答案：D题型三定积分的综合应用如图，直线y＝kx分抛物线y＝x－x2与x轴所围图形为面积相等的两部分，则k的值为()A．1－342B．1－322C．1－332D.1－32【解析】抛物线y＝x－x2与x轴两交点的横坐标为x1＝0，x2＝1，所以抛物线与x轴所围图形的面积为S＝01(x－x2)dx＝x22－13x310＝16，由y＝x－x2，y＝kx可得抛物线y＝x－x2与y＝kx两交点的横坐标为x3＝0，x4＝1－k，所以S2＝01－k(x－x2－kx)dx＝1－k2x2－13x31－k0＝16(1－k)3.又知S＝16，∴16(1－k)3＝112，∴(1－k)3＝12，∴k＝1－342，故选A.【答案】A[名师点拨]由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间段内位于上方或下方的函数有所变化时，可通过解方程组求出曲线的交点坐标，将积分区间进行细化，然后再根据图象对各个区间段分别求面积进而求和，每个区段上被积函数均是由上减下.若曲线y＝ax(a0)与直线x＝a，y＝0所围成的封闭图形的面积为6，则a＝________.解析：答案：3即学即练稳操胜券课堂基础达标1．求由y＝ex，x＝2，y＝1围成的曲边梯形的面积时，若选择x为积分变量，则积分区间为()A．[0,1]B．[0，e2]C．[1,2]D.[0,2]答案：D2．图中所表示的阴影部分的面积为()A.acf(x)dxB.abf(x)dx＋bcf(x)dxC.abf(x)dx－bcf(x)dxD.ab|f(x)|dx＋bcf(x)dx答案：D3．(2019·佛山三中高二段考)直线x＝－1，x＝1，y＝0与偶函数y＝f(x)的图象围成平面图形的面积表示为①-11f(x)dx；②-11f(|x|)dx；③-11|f(x)|dx；④012|f(x)|dx.其中，正确表示的个数为()A．0B．1C．2D.3解析：由于偶函数y＝f(x)的图象关于y轴对称，当f(x)≥0时，平面图形的面积为-11f(x)dx＝012f(x)dx；当f(x)0时，平面图形的面积为－-11f(x)dx＝－012f(x)dx.故③④正确．答案：C4．由直线x＝－π3，x＝π3，y＝0与曲线y＝sinx所围成的封闭图形的面积为()A.3B．0C．1D.2解析：选C∵函数y＝sinx是奇函数，∴由直线x＝－π3，x＝π3，y＝0与y＝sinx围成的封闭图形的面积2(－cosπ3＋cos0)＝1，故选C.答案：C5.设点P在曲线y＝x2上，从原点向A(2,4)移动，如果直线OP，曲线y＝x2及直线x＝2所围成的面积分别记为S1，S2.(1)当S1＝S2时，求点P的坐标；(2)当S1＋S2有最小值时，求点P的坐标和最小值．解：(1)设点P的横坐标为t(0t2)，则P点的坐标为(t，t2)，直线OP的方程为y＝tx.S1＝0t(tx－x2)dx＝16t3，S2＝t2(x2－tx)dx＝83－2t＋16t3.因为S1＝S2，所以t＝43，点P的坐标为43，169.(2)S＝S1＋S2＝16t3＋83－2t＋16t3＝13t3－2t＋83，S′＝t2－2，令S′＝0得t2－2＝0.因为0t2，所以t＝2，因为0t2时，S′0；2t2时，S′0.所以，当t＝2时，S1＋S2有最小值83－423，此时点P的坐标为(2，2)．